В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Âåêòîðû Fττ = Fτè Fnn = Fn íàçûâàþò òàíãåíöèàëüíîé è íîðìàëüíîé ñîñòàâëÿþùèìè ñèëû F(ðèñ. 3.12). Óðàâíåíèÿìè (3.24) óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ â òîì ñëó÷àå, êîãäà èçâåñòíà òðàåêòîðèÿ äâèæóùåéñÿ òî÷êè.Òðåòèé çàêîí Íüþòîíà. Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî êîãäà îäíî òåëî äåéñòâóåò íàäðóãîå, òî ýòî äðóãîå òåëî, â ñâîþ î÷åðåäü, äåéñòâóåò íà ïåðâîå. Åñëè äâà ÷åëîâåêà âñòàíóò íà òåëåæêè è íà÷íóò âûòÿãèâàòü âåðåâêó, çà êîíöû êîòîðîé îíèäåðæàòñÿ, òî êòî áû ýòî íè äåëàë, îáà áóäóò äâèãàòüñÿ íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó.Ðàññìîòðèì îïûò ñ äâóìÿ òåëåæêàìè íà ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè, èìåþùèìè ðàçíûå ìàññûm1 è m2 (ðèñ. 3.13). Ïóñòü òåëåæêè ñîåäèíåíû íèòüþ, óäåðæèâàþùåé ïðóæèííûå áóôåðû òåëåæåê âäåôîðìèðîâàííîì ñîñòîÿíèè.
Ïîñëå ïåðåæèãàíèÿíèòè òåëåæêè ïðèõîäÿò â äâèæåíèå, ïðè÷åì îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñêîðîñòè òåëåæåê îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíû èõ ìàññàì, òàê ÷òî èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå:Ðèñ. 3.1251èëèv1m= 2,v2m1(3.25)m1v1 = −m2v2,(3.26)ãäå v1 è v2 ñêîðîñòè, ïðèîáðåòàåìûåòåëåæêàìè ïîñëå òîãî, êàê áóôåðû ïåðåñòàíóò ñîïðèêàñàòüñÿ. Ýòè ñêîðîñòèìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåv1 = a1Δt;Ðèñ.
3.13v2 = a2Δt,(3.27)ãäå à1 è à2 ñðåäíèå óñêîðåíèÿ òåëåæåê âî âðåìÿ äåéñòâèÿ óïðóãîé ñèëû; Δt âðåìÿ äåéñòâèÿ ýòîé ñèëû, îäíî èòî æå äëÿ îáåèõ òåëåæåê.Èç (3.26) è (3.27) ñëåäóåò, ÷òîm1a1 = −m2a2,(3.28)F21 = −F12.(3.29)èëèãäå F21 = m1a1 ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ïåðâóþ òåëåæêó ñî ñòîðîíû âòîðîé;F12 = m2a2 ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà âòîðóþ òåëåæêó ñî ñòîðîíû ïåðâîé.Ñîîòíîøåíèå (3.29) ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì âûðàæåíèåì III çàêîíà Íüþòîíà, êîòîðûé êðàòêî íàçûâàþò «çàêîíîì ðàâåíñòâà äåéñòâèÿ è ïðîòèâîäåéñòâèÿ».  ôîðìóëèðîâêå ñàìîãî Íüþòîíà, «äåéñòâèþ âñåãäà åñòü ðàâíîå è ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííîå ïðîòèâîäåéñòâèå, èíà÷å ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿäâóõ òåë äðóã íà äðóãà ðàâíû ïî âåëè÷èíå è íàïðàâëåíû â ïðîòèâîïîëîæíûåñòîðîíû». Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ýòîãî çàêîíà çàêëþ÷åí â ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèÿõ: 1) ñèëû âîçíèêàþò ïàðàìè è èìåþò îäèíàêîâóþ ïðèðîäó; îíè ïðèëîæåíûê ðàçíûì òåëàì; 2) ýòè ñèëû ðàâíû ïî âåëè÷èíå; 3) îíè äåéñòâóþò âäîëüîäíîé ïðÿìîé â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ.Çàìåòèì, ÷òî ñîãëàñíî III çàêîíó Íüþòîíà, îáå ñèëû äîëæíû áûòü ðàâíûïî âåëè÷èíå â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè íåçàâèñèìî îò äâèæåíèÿ âçàèìîäåéñòâóþùèõ òåë.
Äðóãèìè ñëîâàìè, åñëè â ñèñòåìå èç äâóõ âçàèìîäåéñòâóþùèõòåë èçìåíèòü ïîëîæåíèå îäíîãî èç òåë, òî ýòî èçìåíåíèå ìãíîâåííî ñêàæåòñÿíà äðóãîì òåëå, êàê áû äàëåêî îíî íè íàõîäèëîñü. Íà ñàìîì äåëå ñêîðîñòüðàñïðîñòðàíåíèÿ âçàèìîäåéñòâèé êîíå÷íà; îíà íå ìîæåò ïðåâçîéòè ñêîðîñòüñâåòà â âàêóóìå. Ïîýòîìó III çàêîí Íüþòîíà èìååò îïðåäåëåííûå ïðåäåëû ïðèìåíèìîñòè. Îäíàêî â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå, ïðè ìàëûõ ñêîðîñòÿõ âçàèìîäåéñòâóþùèõ òåë, îí âûïîëíÿåòñÿ ñ áîëüøîé òî÷íîñòüþ.Ñèëû â ìåõàíèêå. Äëÿ òîãî ÷òîáû ðåøàòü óðàâíåíèå äâèæåíèÿ (3.21), íåîáõîäèìî çíàòü çàêîíû äåéñòâóþùèõ íà òåëî ñèë. Ôóíäàìåíòàëüíûå ñèëû, èìåþùèåîòíîøåíèå ê ìåõàíèêå, ýòî ãðàâèòàöèîííûå è ýëåêòðîìàãíèòíûå. Íàñ áóäóòèíòåðåñîâàòü çàêîíû äåéñòâèÿ ýòèõ ñèë â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå, êîãäà âçàèìîäåéñòâóþùèå ÷àñòèöû ïîêîÿòñÿ èëè äâèæóòñÿ ñ íåðåëÿòèâèñòñêèìè ñêîðîñòÿìè.Ãðàâèòàöèîííàÿ ñèëà.
 ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ ñèëàãðàâèòàöèîííîãî ïðèòÿæåíèÿ ìåæäó äâóìÿ ìàòåðèàëüíûìè òî÷êàìè ïðîïîðöèîíàëüíà ïðîèçâåäåíèþ ìàññ m1 è m2 òî÷åê, îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà êâàä52ðàòó ðàññòîÿíèÿ r12 ìåæäó íèìè è íàïðàâëåíà âäîëü ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùåé ýòèòî÷êèF12 = −F21 = −Gm1m2 r12mm= −G 1 3 2 r12 ,r122 r12r12(3.30)ãäå F12 ñèëà, ñ êîòîðîé ìàññà m1 äåéñòâóåò íà ìàññó m2; F21 ñèëà, ñêîòîðîé ìàññà m2 äåéñòâóåò íà ìàññó m1 (ýòè ñèëû ðàâíû ïî âåëè÷èíå, íîïðîòèâîïîëîæíû ïî íàïðàâëåíèþ); r12 ðàäèóñ-âåêòîð, ïðîâåäåííûé îò òî÷êè 1 ê òî÷êå 2 ; G ≈ 6,67 ⋅ 10−11 Í ⋅ ì2/êã2 ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ. ñëó÷àå ìàêðîñêîïè÷åñêèõ òåë ïðîèçâîëüíîé ôîðìû ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íàêàæäîå èç íèõ, íà îñíîâàíèè ïðèíöèïà ñóïåðïîçèöèè ðàâíà âåêòîðíîé ñóììåñèë, äåéñòâóþùèõ íà êàæäóþ èç ýëåìåíòàðíûõ ìàññ, ñîñòàâëÿþùèõ ýòî òåëî,ñî ñòîðîíû âñåõ òàêèõ ìàññ, ñîñòàâëÿþùèõ äðóãîå òåëî.  ÷àñòíîì ñëó÷àå ìàêðîñêîïè÷åñêèõ òåë ñî ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íûì ðàñïðåäåëåíèåì ìàññû (íàïðèìåð, äëÿ äâóõ îäíîðîäíûõ øàðîâ) ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ îïðåäåëÿåòñÿ òàêæå, êàê è äëÿ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, ò.
å. ïî ôîðìóëå (3.30), â êîòîðîé r12 ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè òàêèõ øàðîâ.Ìàññû m1 è m2, ôèãóðèðóþùèå â (3.30), â ëèòåðàòóðå èíîãäà íàçûâàþò ãðàâèòàöèîííûìè, â îòëè÷èå îò èíåðòíîé ìàññû, ââåäåííîé íàìè ðàíåå è âõîäÿùåéâî II çàêîí Íüþòîíà (3.21). Ìîæíî, îäíàêî, ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîêàçàòü, ÷òîýòè ìàññû ïðîïîðöèîíàëüíû äðóã äðóãó. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè òåëî íàõîäèòñÿ óïîâåðõíîñòè Çåìëè, òî íà íåãî äåéñòâóåò ñèëà ãðàâèòàöèîííîãî ïðèòÿæåíèÿF =Gmã M ã,RÇ2(3.31)ãäå mã ãðàâèòàöèîííàÿ ìàññà òåëà; Mã ãðàâèòàöèîííàÿ ìàññà Çåìëè; RÇ ðàäèóñ Çåìëè.Ïîä äåéñòâèåì ýòîé ñèëû òåëî ïðèîáðåòàåò óñêîðåíèå (óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ)g =FmMm= G ã2 ã = A ã ,mRÇ mm(3.32)Mã âåëè÷èíà ïîñòîÿííàÿ; m èíåðòíàÿ ìàññà òåëà.RÇ2Èç îïûòà èçâåñòíî, ÷òî óñêîðåíèå g äëÿ âñåõ òåë ó ïîâåðõíîñòè Çåìëè îäèmãíàêîâî, ïîýòîìó= const, ò.
å. mã : m. Ñîîòâåòñòâóþùèì âûáîðîì G ýòèmìàññû ìîæíî ñäåëàòü ðàâíûìè äðóã äðóãó, ò. å.ãäå A = Gmã = m.(3.33) íàñòîÿùåå âðåìÿ ïîíÿòèå «ãðàâèòàöèîííàÿ ìàññà» ïî ñóùåñòâó èìååò ÷èñòî èñòîðè÷åñêèé õàðàêòåð, è ìû åãî óïîòðåáëÿòü íå áóäåì.Çàìåòèì, ÷òî åñëè íåêîòîðàÿ ñèñòåìà îòñ÷åòà äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî äðóãîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà ñ ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì à, òî ÿâëåíèÿâ íåé â ïðåäåëàõ îãðàíè÷åííîãî âðåìåíè è â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà ïðîèñõîäÿò òàê, êàê åñëè áû èìåëîñü ïîëå òÿãîòåíèÿ ñ óñêîðåíèåì53ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g′ = −a.
Ïðè÷åì ýòî êàñàåòñÿ íå òîëüêî ìåõàíè÷åñêèõ, íî èâîîáùå âñåõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé.  ýòîì ñîñòîèò ïðèíöèï ýêâèâàëåíòíîñòè Ýéíøòåéíà.Êóëîíîâñêàÿ ñèëà.  ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì Êóëîíà, äâà íåïîäâèæíûõ òî÷å÷íûõ ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäà q1 è q2 â âàêóóìå âçàèìîäåéñòâóþò ñ ñèëîéF12 = −F21 =1 q1q2 r121 q1q2=r12 ,24 πε0 r12 r12 4 πε0 r123(3.34)ãäå F12 ñèëà, ñ êîòîðîé çàðÿä q1 äåéñòâóåò íà çàðÿä q2; F21 ñèëà, ñ êîòîðîéçàðÿä q2 äåéñòâóåò íà çàðÿä q1; r12 ðàäèóñ-âåêòîð, ïðîâåäåííûé îò çàðÿäà 1 êçàðÿäó 2; ε0 ≈ 8,85 ⋅ 10−12 Ô/ì ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ. çàâèñèìîñòè îò çíàêîâ çàðÿäîâ ñèëû F12 è F21 ìîãóò áûòü ñèëàìè êàê ïðèòÿæåíèÿ, òàê è îòòàëêèâàíèÿ.Åñëè çàðÿäû äâèæóòñÿ, òî ñèòóàöèÿ íåñêîëüêî óñëîæíÿåòñÿ.  ýòîì ñëó÷àåïîÿâëÿåòñÿ åùå ìàãíèòíàÿ ñèëà, çàâèñÿùàÿ îò äâèæåíèÿ çàðÿäîâ.
Îäíàêî ïðèìàëûõ ñêîðîñòÿõ (L= c) ìàãíèòíàÿ ñèëà ñîñòàâëÿåò íè÷òîæíóþ ÷àñòü îò ýëåêòðè÷åñêîé, òàê ÷òî ñ äîñòàòî÷íîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ çàêîíîì (3.34).Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ î äâèæåíèè çàðÿæåííûõ ÷àñòèö â ýëåêòðîìàãíèòíîìïîëå ââîäÿò âåêòîðíûå õàðàêòåðèñòèêè ýòîãî ïîëÿ: íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E è ìàãíèòíóþ èíäóêöèþ Â. Ïðè ýòîì ýëåêòðè÷åñêóþ ñèëó, äåéñòâóþùóþ íà çàðÿä, ìîæíî çàïèñàòü â âèäå Fý = q E, à ìàãíèòíóþ ñèëó â âèäåFì = q v × B, ãäå q âåëè÷èíà çàðÿäà, v åãî ñêîðîñòü.Ãðàâèòàöèîííîå è ýëåêòðîìàãíèòíîå âçàèìîäåéñòâèÿ ïî ñóùåñòâó ëåæàò âîñíîâå âñåõ ìåõàíè÷åñêèõ ÿâëåíèé.
Îäíàêî âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ èñõîäèòü íåïîñðåäñòâåííî èç çàêîíîâ (3.30) è (3.34) îêàçûâàåòñÿ ÷ðåçâû÷àéíî ñëîæíî, àïîä÷àñ è íåâîçìîæíî. Ïîýòîìó ïðè ðàññìîòðåíèè ðàçíûõ âèäîâ âçàèìîäåéñòâèé ìàêðîñêîïè÷åñêèõ òåë ââîäÿò äðóãèå, ïðèáëèæåííûå çàêîíû äåéñòâèÿñèë, ïîëó÷åííûå â ðåçóëüòàòå îáîáùåíèÿ îïûòíûõ äàííûõ, à ñàìè ýòè ñèëûíàçûâàþò óæå íå ãðàâèòàöèîííûìè èëè ýëåêòðîìàãíèòíûìè, à ñèëàìè òÿæåñòè, óïðóãîñòè, òðåíèÿ è ò. ä.Ðàññìîòðèì ýòè îñíîâíûå âèäû ñèë, ââîäèìûå ïðè îïèñàíèè ìåõàíè÷åñêèõÿâëåíèé.Ñèëà òÿæåñòè. Ýòà ñèëà ÿâëÿåòñÿ ñèëîé ãðàâèòàöèîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ(3.30). Ïðè ýòîì îïåðèðóþò ñ óñêîðåíèåì ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g:F = m g.(3.35)Åñëè òåëî íàõîäèòñÿ ó ïîâåðõíîñòè Çåìëè, òî ìîæíî çàïèñàòü:mg = GmMÇ,RÇ2(3.36)MÇ≈ 9,8 ì/ñ2 .RÇ2Ñ óâåëè÷åíèåì âûñîòû óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ óìåíüøàåòñÿ îáðàòíîïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó ðàññòîÿíèÿ îò öåíòðà Çåìëè.
Ïðè ïîäúåìå íà 3 êìãäå ÌÇ ìàññà Çåìëè; RÇ åå ðàäèóñ, îòêóäà g = G54íàä óðîâíåì ìîðÿ g óáûâàåò ïðèìåðíî íà 0,001 ñâîåé âåëè÷èíû. Íà âûñîòå h =100 êì îíî cîñòàâëÿåòg (h) = GMÇGM Ç ⎛2h ⎞≈≈ 9,5 ì/ñ2 ,1−(RÇ + h)2RÇ2 ⎜⎝RÇ ⎟⎠ò. å. óáûâàåò âñåãî íà 3 %. Ïîýòîìó ïðè ðàññìîòðåíèè äâèæåíèé, ïðîèñõîäÿùèõâáëèçè ïîâåðõíîñòè Çåìëè, ìîæíî ñ÷èòàòü g ≈ const.Ïðè âçâåøèâàíèè òåë, à òàêæå â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ èõ äâèæåíèÿ âìåñòå ñîïîðîé âîçíèêàåò ïîíÿòèå âåñà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
