В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 8
Текст из файла (страница 8)
2.30). Ýòî âåêòîðû, ïîñòîÿííûå ïî âåëè÷èíå (| er | = | eϕ | = 1), íî ïåðåìåííûå ïî íàïðàâëåíèþ, òàê êàê îíè «ïðèâÿçàíû»ê äâèæóùåéñÿ òî÷êå M.Ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè M ìîæíî çàïèñàòü â âèäår(t ) = r(t ) er (t ).32(2.52)Ðèñ. 2.31Ðèñ. 2.30Ñêîðîñòü òî÷êè Mv(t ) =d r drde=er + r r .dt dtdt(2.53)d erÒàêèì îáðàçîì, äëÿ îïðåäåëåíèÿ v(t) íåîáõîäèìî çíàòü ïðîèçâîäíóþdtd eϕ(à äëÿ îïðåäåëåíèÿ óñêîðåíèÿ, êàê ìû óâèäèì íèæå, åùå è).dtd eϕd erÄëÿ âû÷èñëåíèÿèîáðàòèìñÿ ê ðèñ. 2.30, ãäå èçîáðàæåíû ïîëîæådtdtíèÿ îðòîâ er è eϕ â ìîìåíòû âðåìåíè t è t + dt, è ðèñ. 2.31, ãäå â óâåëè÷åííîìâèäå ïîêàçàíû ñîîòâåòñòâóþùèå ïðèðàùåíèÿ der è deϕ.Êàê âèäíî èç ðèñ.
2.31,|der | = |er | ⋅ dϕ = dϕ,(2.54)à ñàì âåêòîð der íàïðàâëåí ïî eϕ .Àíàëîãè÷íî|deϕ| = |eϕ| ⋅ dϕ = dϕ,(2.55)à ñàì âåêòîð deϕ íàïðàâëåí ïðîòèâ er. Òàêèì îáðàçîì,d er= ϕ& eϕ ;dtd eϕ= −ϕ& er .dt(2.56)Âîçâðàùàÿñü ê (2.53), îïðåäåëèì òåïåðü ñêîðîñòü òî÷êè â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ:v=d r drde=er + r r = r&er + r ϕ& e ϕ .dt dtdt(2.57)Ïåðâîå ñëàãàåìîå íàçûâàåòñÿ ðàäèàëüíîé vðàä, à âòîðîå òðàíñâåðñàëüíîé(ïîïåðå÷íîé) vòð ñîñòàâëÿþùåé ñêîðîñòè (ðèñ. 2.32). Ìîäóëü ñêîðîñòè22+ L òð= r& 2 + r 2ϕ& 2 .L = L ðàä(2.58)33Ðèñ. 2.33Ðèñ.
2.32Óñêîðåíèå â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ íàõîäèì äèôôåðåíöèðîâàíèåì (2.57)ñ ó÷åòîì (2.56):a=dedvde&&e ϕ + r ϕ& ϕ == r&&e r + r& r + r&ϕ& e ϕ + r ϕdtdtdt&&e ϕ + r ϕ& (−ϕ& er ) = (r&& − r ϕ& 2 )er + (r ϕ&& + 2r&ϕ& )e ϕ .= r&&er + r&ϕ& e ϕ + r&ϕ& e ϕ + r ϕ(2.59)Ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïîñëåäíåé ñòðîêå (2.59) (r&& − r ϕ& 2 )e r ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéðàäèàëüíîå óñêîðåíèå, íàïðàâëåííîå âäîëü ðàäèóñà-âåêòîðà. Ýòî óñêîðåíèå ñîñòîèò èç r&& óñêîðåíèÿ òî÷êè âñëåäñòâèå åå äâèæåíèÿ ïî ðàäèóñó-âåêòîðó, èr ϕ& 2 öåíòðîñòðåìèòåëüíîãî óñêîðåíèÿ, ñâÿçàííîãî ñ ïîâîðîòîì ðàäèóñà&& + 2r&ϕ& )e ϕ ýòî òðàíñâåðñàëüíîå, èëè ïîïåðå÷íîåâåêòîðà. Âòîðîå ñëàãàåìîå (r ϕ&&, ñâÿçàííîãî ñ óñêîðåííûì âðàùåíèåì ðàäèóñàóñêîðåíèå. Îíî ñîñòîèò èç r ϕâåêòîðà, è 2r&ϕ& ïîâîðîòíîãî, èëè êîðèîëèñîâà óñêîðåíèÿ, âîçíèêàþùåãîïðè äâèæåíèè òî÷êè âäîëü ïîâîðà÷èâàþùåãîñÿ ðàäèóñà-âåêòîðà. Åãî ñìûñëáóäåò îáúÿñíåí â ëåêöèè 6.n Ïðèìåð 1.
Òî÷êà Ì äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ L0 âäîëü ïðÿìîé OA,êîòîðàÿ, â ñâîþ î÷åðåäü, ïîâîðà÷èâàåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω0âîêðóã íà÷àëà êîîðäèíàò O â ïëîñêîñòè ðèñ. 2.33; â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 òî÷êàíàõîäèëàñü â íà÷àëå êîîðäèíàò.  ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êèèìååò âèär = L0t;(2.60)ϕ = ω0t.(2.61)Èñêëþ÷àÿ t, íàõîäèì óðàâíåíèå òðàåêòîðèèr =L0ω0ϕ.(2.62)Ýòî òàê íàçûâàåìàÿ àðõèìåäîâà ñïèðàëü, «ðàñêðó÷èâàþùàÿñÿ» âîêðóã íà÷àëà îòñ÷åòà (ðèñ.
2.34).Ñêîðîñòü òî÷êè ñ òå÷åíèåì âðåìåíè âîçðàñòàåò ïîçàêîíóÐèñ. 2.3434L = r&2 + r 2ϕ& 2 = L0 1 + ω02t 2 .(2.63)Ðèñ. 2.35Ðèñ. 2.36Óñêîðåíèå à òàêæå óâåëè÷èâàåòñÿ:&& + 2r&ϕ& )2 = L 02 ω04t 2 + 4L 02 ω02 = L 0 ω0 4 + ω02t 2 .a = (r&& − r ϕ& 2 )2 + (r ϕ(2.64)n Ïðèìåð 2. Ñîãëàñíî çàêîíàì Êåïëåðà, ïëàíåòà Ï äâèæåòñÿ ïî ýëëèïñó, âîäíîì èç ôîêóñîâ êîòîðîãî íàõîäèòñÿ Ñîëíöå C (ðèñ. 2.35), ïðè÷åì çà ðàâíûåïðîìåæóòêè âðåìåíè ðàäèóñ-âåêòîð ïëàíåòû «çàìåòàåò» ðàâíûå ïëîùàäè.Ïëîùàäü dS, «çàìåòàåìàÿ» ðàäèóñîì-âåêòîðîì ïëàíåòû çà âðåìÿ dt, îïðåäåëÿåò ñåêòîðíóþ ñêîðîñòü σσ=dS dS d ϕ 1 2 2== r ϕ& ,dtd ϕ dt2(2.65)1r ⋅ rd ϕ (ðèñ. 2.36). Ïîñêîëüêó σ = const, òî îðáèòàëüíàÿ2ñêîðîñòü L ′ ïëàíåòû â íàèáîëåå óäàëåííîé îò Ñîëíöà òî÷êå îðáèòû (àôåëèè)äîëæíà áûòü ìåíüøå ñêîðîñòè L ′′ â íàèáîëåå áëèçêîé ê Ñîëíöó òî÷êå (ïåðèãåëèè).
Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ðàâåíñòâå ïëîùàäåé ñåêòîðîâ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ.2.37, ó÷àñòîê MM ′ òðàåêòîðèè êîðî÷å ó÷àñòêà MM ′′, íî ïîñêîëüêó ýòè ó÷àñòêèïðîõîäÿòñÿ çà îäíî è òî æå âðåìÿ, òî L ′<L ′′.ãäå ó÷òåíî, ÷òî dS = çàêëþ÷åíèå äàííîãî ðàçäåëà ïðèâåäåì áåç âûâîäà âûðàæåíèÿ äëÿ ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ òî÷êè â öèëèíäðè÷åñêèõ è ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ.Äëÿ ñêîðîñòè â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ áóäåì èìåòüv = ρ& e ρ + ρϕ& eϕ + z e z ,(2.66)ãäå eρ, eϕ, ez åäèíè÷íûå âåêòîðû, ñîîòâåòñòâóþùèå öèëèíäðè÷åñêèì êîîðäèíàòàìρ, ϕ, z.  äàííîì ñëó÷àå eρ = eρ(t), eϕ = eϕ(t),ez = const. ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõv = r&er + r θ& eθ + r ϕ& sin θ eϕ ,(2.67)ãäå er , eθ, eϕ åäèíè÷íûå âåêòîðû, ñîîòâåòñòâóþùèå ñôåðè÷åñêèì êîîðäèíàòàì r, θ, ϕ.Âñå ýòè îðòû ïðè ïðîèçâîëüíîì äâèæåíèèòî÷êè èçìåíÿþòñÿ ñî âðåìåíåìer = er(t); eθ = eθ(t); eϕ = eϕ(t).
(2.68)Ðèñ. 2.3735Âûðàæåíèÿ äëÿ óñêîðåíèé èìåþò âèäâ öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ&& + 2ρϕ& & ) eϕ + z&&e z ;ρ − ρϕ& 2 ) eρ + (ρϕa = (&&(2.69)â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõθ + 2r&θ& − r ϕ& 2 sin θ cos θ) eθ +a = (r&& − r θ& 2 − r ϕ& 2 sin 2 θ) er + (r &&&& sin θ + 2r&ϕ& sin θ + 2r ϕθ& & cos θ) eϕ .+ (r ϕ(2.70)Òåîðåìà î ñëîæåíèè ñêîðîñòåé. Åñëè èçâåñòíî äâèæåíèå òî÷êè îòíîñèòåëüíîíåêîòîðîé ñèñòåìû K1 è äâèæåíèå ñèñòåìû K1 îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé äðóãîéñèñòåìû K (óñëîâíî áóäåì ñ÷èòàòü åå íåïîäâèæíîé), òî ìîæíî îïðåäåëèòüäâèæåíèå òî÷êè è ïî îòíîøåíèþ ê ýòîé ñèñòåìå K. Òàêîé ñèñòåìîé, â ÷àñòíîñòè, ìîæåò áûòü ñèñòåìà, ñâÿçàííàÿ ñ íàáëþäàòåëåì. Äâèæåíèå òî÷êè ïî îòíîøåíèþ ê ïîäâèæíîé ñèñòåìå K1 íàçûâàþò îòíîñèòåëüíûì, à ïî îòíîøåíèþ êíåïîäâèæíîé ñèñòåìå K àáñîëþòíûì. Äâèæåíèå ëþáîé òî÷êè ñèñòåìû K1 ïîîòíîøåíèþ ê ñèñòåìå Ê íàçûâàþò ïåðåíîñíûì.Ïóñòü çà âðåìÿ Δt íåêîòîðàÿ òî÷êà M ñìåñòèëàñü îòíîñèòåëüíî òåëà îòñ÷åòà, ñ êîòîðûì ñâÿçàíà ïîäâèæíàÿ ñèñòåìà K1, èç ïîëîæåíèÿ A â ïîëîæåíèå B(ðèñ.
2.38). Îäíîâðåìåííî ñèñòåìà K1 çà âðåìÿ Δt ïåðåìåñòèòñÿ (ïî îòíîøåíèþê ñèñòåìå K ) â íîâîå ïîëîæåíèå K1′, ïðè ýòîì èñõîäíîå A è êîíå÷íîå B ïîëîæåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé íàìè äâèæóùåéñÿ òî÷êè M ïåðåìåñòÿòñÿ íà ïîçèöèèñîîòâåòñòâåííî A ′ è B ′.Îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòüþ òî÷êè, îïðåäåëÿåìîé â ñèñòåìå K1, íàçûâàåòñÿâåëè÷èíàv îòí = limΔt →0AB.Δt(2.71)Ïåðåìåùåíèå íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ òî÷êè M çàäàåòñÿ âåêòîðîì AA′. Ýòîïåðåìåùåíèå îïðåäåëÿåò ïåðåíîñíóþ ñêîðîñòü òî÷êè Mv ïåð = limΔt →0A A′.ΔtÐèñ. 2.3836(2.72)Î÷åâèäíî, ÷òî ïåðåíîñíàÿ ñêîðîñòü òî÷êè M â ìîìåíò âðåìåíè t ýòîñêîðîñòü òîé òî÷êè ñèñòåìû K1, ñ êîòîðîé â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè ñîâïàäàåò äâèæóùàÿñÿ òî÷êà M. Ïî îòíîøåíèþ ê îñíîâíîé ñèñòåìå K òî÷êà M ñîâåðøèò çà âðåìÿ Δt ïåðåìåùåíèå AB ′.
Âåëè÷èíóv àáñ = limΔt → 0AB′Δt(2.73)íàçûâàþò àáñîëþòíîé ñêîðîñòüþ òî÷êè M.Èç ðèñ. 2.38 âèäíî, ÷òîAB′ = A′B′ + A A′.(2.74)Ðàçäåëèì îáå ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà íà Δt è ïåðåéäåì ê ïðåäåëó ïðè Δt → 0.Òàê êàêA ′B′= v îòí ,Δt → 0 Δtlim(2.75)â èòîãå ïîëó÷èì ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå ìåæäó ñêîðîñòÿìèvàáñ = vîòí + vïåð.(2.76)Òàêèì îáðàçîì, ñêîðîñòü àáñîëþòíîãî äâèæåíèÿ òî÷êè ðàâíà âåêòîðíîéñóììå îòíîñèòåëüíîé è ïåðåíîñíîé ñêîðîñòåé.n Ïðèìåð 1. Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå (2.76), ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå (2.57)äëÿ ñêîðîñòè òî÷êè â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ. Äåéñòâèòåëüíî, äâèæåíèå òî÷êèM âäîëü ðàäèóñà (ñì.
ðèñ. 2.32) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îòíîñèòåëüíîå ñîñêîðîñòüþ L îòí = r&. Ïåðåíîñíàÿ ñêîðîñòü áóäåò ðàâíà ñêîðîñòè òîé òî÷êè ðàäèóñà-âåêòîðà, ãäå â äàííûé ìîìåíò íàõîäèòñÿ òî÷êà M: L ïåð = r ϕ& . ðåçóëüòàòå ïîëó÷èìv àáñ ≡ v = r&er + r ϕ& eϕ ,(2.77)÷òî ñîâïàäàåò ñ (2.57).n Ïðèìåð 2. Äâèæåíèå òî÷êè íà îáîäå êàòÿùåãîñÿ êîëåñà (àáñîëþòíîå äâèæåíèå) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðåçóëüòàò ñëîæåíèÿ äâóõ äâèæåíèé: ïîñòóïàòåëüíîãî ñî ñêîðîñòüþ L0 îñè êîëåñà (ïåðåíîñíîå äâèæåíèå) è âðàùàòåëüíîãî âîêðóã ýòîé îñè (îòíîñèòåëüíîå äâèæåíèå).
Ïðè îòñóòñòâèè ïðîñêàëüçûâàíèÿ êîëåñà â òî÷êå B ìîäóëè âåêòîðîâ ñêîðîñòè ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ L0 è ëèíåéíîé ñêîðîñòè Lëèí âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ðàâíû äðóãäðóãó (ðèñ. 2.39).Ðèñ. 2.3937Èç ïðîñòûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé ñëåäóåò, ÷òî âåêòîð ïîëíîé ñêîðîñòè vA ïðîèçâîëüíîé òî÷êè A íà îáîäå êîëåñà íàïðàâëåí âäîëü ïðÿìîé, êîòîðàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà õîðäå AB è ïðîõîäèò ÷åðåç âåðõíþþ òî÷êó êàòÿùåãîñÿêîëåñà (ðèñ.
2.39).Òðàåêòîðèåé äâèæåíèÿ òî÷êè A ÿâëÿåòñÿ èçâåñòíàÿ êðèâàÿ ïðîñòàÿ öèêëîèäà, óðàâíåíèå êîòîðîé â ïàðàìåòðè÷åñêîé ôîðìå (ïàðàìåòð âðåìÿ t)èìååò ñëåäóþùèé âèä (ñì. ðèñ. 2.39):L⎛Lx = r0 ϕ − r0 sin ϕ = r0 ⎜ 0 t − sin 0r0⎝ r0L⎛y = r0 − r0 cos ϕ = r0 ⎜ 1 − cos 0r0⎝⎞t ⎟;⎠(2.78)⎞t ⎟.⎠Ñêîðîñòü òî÷êè â âåðøèíå öèêëîèäû ðàâíà 2L0, óñêîðåíèå ýòîé òî÷êè, ñ(2L 0 )2îäíîé ñòîðîíû, ðàâíî(R ðàäèóñ êðèâèçíû), à ñ äðóãîé, ñâÿçàíîRòîëüêî ñ âðàùàòåëüíûì (îòíîñèòåëüíûì) äâèæåíèåì ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñàr0, ò. å.
ðàâíîL02. Îòñþäà äëÿ ðàäèóñà êðèâèçíû â âåðøèíå öèêëîèäû ïîëó÷àåìr0R = 4r0. Èñïîëüçóÿ (2.27), ìîæíî òàêæå ïîêàçàòü, ÷òî äëèíà ïóòè ëþáîé òî÷êèíà îáîäå êîëåñà ìåæäó äâóìÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè êàñàíèÿìè äîðîãè (äëèíààðêè öèêëîèäû) ðàâíà 8r0.Ïðîñòàÿ öèêëîèäà, î êîòîðîé ãîâîðèëîñü âûøå, îáëàäàåò ðÿäîì çàìå÷àòåëüíûõ ñâîéñòâ:1. Ìàëåíüêèé òÿæåëûé øàðèê, ñêîëüçÿùèé áåç òðåíèÿ ïî «öèêëîèäàëüíîìó» æåëîáêó (ðèñ. 2.40), áóäåò äâèãàòüñÿ òàóòîõðîííî, ò.
å. ïåðèîä åãî êîëåáàòåëüíûõ äâèæåíèé â æåëîáêå íå áóäåò çàâèñåòü îò ðàçìàõà êîëåáàíèé. Äðóãèìèñëîâàìè, èç êàêîé áû òî÷êè öèêëîèäû íè ñòàðòîâàë òàêîé øàðèê (À, B, Cè ò. ä.), âðåìÿ îäíîãî åãî ïîëíîãî êîëåáàíèÿ áóäåò îäíèì è òåì æå, ðàâíûìr4 π 0 (r0 ðàäèóñ «ïðîèçâîäÿùåãî» öèêëîèäó êðóãà).g ñâÿçè ñ ýòèì öèêëîèäó íàçûâàþò òàóòîõðîíîé.2. Öèêëîèäàëüíûé æåëîáîê, ïðîëîæåííûé èç À â O, îáëàäàåò åùå îäíèìçàìå÷àòåëüíûì ñâîéñòâîì: äâèãàÿñü ïî íåìó áåç òðåíèÿ, ìàëåíüêèé òÿæåëûéøàðèê äîñòèãíåò òî÷êè O â ìàêñèìàëüíî êîðîòêîå âðåìÿ, ò. å. èç âñåõ æåëîá-Ðèñ.
2.4038Ðèñ. 2.41êîâ, ïðîëîæåííûõ â ïîëå ñèëû òÿæåñòè èç À â O, âêëþ÷àÿ è ïðÿìîëèíåéíûé,«öèêëîèäàëüíûé» æåëîáîê áóäåò ñàìûì áûñòðûì. Êðèâàÿ, îáëàäàþùàÿ òàêèìñâîéñòâîì, íàçûâàåòñÿ áðàõèñòîõðîíîé, ò. å. «êðèâîé êðàò÷àéøåãî âðåìåíè».3. Èçâåñòíî, ÷òî ïåðèîä êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà çàâèñèò îòàìïëèòóäû. Îñîáåííî ñèëüíî ýòîò ýôôåêò ïðîÿâëÿåòñÿ ïðè áîëüøèõ àìïëèòóäàõ. Øàáëîí AOB, ñîñòîÿùèé èç äâóõ ïîëóàðîê öèêëîèäû è îãðàíè÷èâàþùèéäâèæåíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà (ðèñ.
2.41), ïîçâîëÿåò ðåàëèçîâàòü êîëåáàòåëüíóþ ñèñòåìó ñ ïåðèîäîì, íå çàâèñÿùèì îò ðàçìàõà êîëåáàíèé (òàóòîõðîííûé ìàÿòíèê). Ïîñòîÿíñòâî ïåðèîäà äîñòèãàåòñÿ çà ñ÷åò óìåíüøåíèÿ äëèíû ìàÿòíèêà ïðè «íàìàòûâàíèè» íèòè íà øàáëîí. Åñëè äëèíà íèòè ðàâíà ó÷åòâåðåííîìó ðàäèóñó r0 êðóãà, «ïðîèçâîäÿùåãî» öèêëîèäó, òî òðàåêòîðèåé äâèæåíèÿ ãðóçà áóäåò òîæå öèêëîèäà, ïðè÷åì ñ òàêèìè æå ïàðàìåòðàìè, êàê è óöèêëîèäû øàáëîíà.ËÅÊÖÈß 3 êèíåìàòèêå äâèæåíèå òåõ èëè èíûõ òåë ðàññìàòðèâàëîñü âíå ñâÿçè ñ ïðè÷èíàìè, âûçûâàþùèìè ýòî äâèæåíèå. Çàäà÷à äèíàìèêè çàêëþ÷àåòñÿ â òîì,÷òîáû óñòàíîâèòü âçàèìîñâÿçü ìåæäó äâèæåíèåì òåëà è òåìè ïðè÷èíàìè, êîòîðûå âûçâàëè èëè èçìåíèëè ýòî äâèæåíèå, ò. å.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
