В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Ïîñêîëüêó ïîêîé è äâèæåíèå òî÷êè îòíîñèòåëüíû, òî è âèä òðàåêòîðèè òî÷êè çàâèñèò îò òîé ñèñòåìû îòñ÷åòà, êêîòîðîé îòíåñåíî äâèæåíèå. Èçâåñòíî, íàïðèìåð, ÷òî íåáîëüøîå òåëî, áðîøåííîå âåðòèêàëüíî ââåðõ â ïðÿìîëèíåéíî è ðàâíîìåðíî äâèæóùåìñÿ âàãîíåïîåçäà, â ðàçíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà áóäåò äâèãàòüñÿ ïî ðàçíûì òðàåêòîðèÿì:îòíîñèòåëüíî âàãîíà — ïðÿìîëèíåéíî, à îòíîñèòåëüíî ïîëîòíà æåëåçíîé äîðîãè — ïî ïàðàáîëå. Òî÷êà íà îáîäå àâòîìîáèëüíîãî êîëåñà â ðàçíûõ ñèñòåìàõîòñ÷åòà òàêæå äâèæåòñÿ ïî ðàçíûì òðàåêòîðèÿì: îòíîñèòåëüíî êóçîâà àâòîìîáèëÿ — ïî îêðóæíîñòè, à îòíîñèòåëüíî äîðîãè — ïî ñëîæíîé êðèâîé, íàçûâàåìîé öèêëîèäîé (ñì.

ðèñ. 2.39), è ò. ä.Ñïîñîáû çàäàíèÿ äâèæåíèÿ òî÷êè. Îïèñàòü äâèæåíèå òî÷êè — çíà÷èò çàäàòüñïîñîá, ïîçâîëÿþùèé îïðåäåëèòü åå ïîëîæåíèå îòíîñèòåëüíî âûáðàííîé ñèñòåìû îòñ÷åòà â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè. Èçâåñòíû òðè îñíîâíûõ ñïîñîáà îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ òî÷êè.1. Åñòåñòâåííûé ñïîñîá (ðèñ. 2.6).  ýòîì ñëó÷àå çàäàþò:− òðàåêòîðèþ äâèæåíèÿ òî÷êè M îòíîñèòåëüíî âûáðàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò;− íà÷àëî îòñ÷åòà — íåêîòîðóþ òî÷êó O íà òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ;− ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå îòñ÷åòà êîîðäèíàòû s âäîëü òðàåêòîðèè (íàïðèìåð, òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 2.6);− çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êè M âäîëü òðàåêòîðèè s = f (t).Ôóíêöèÿ f (t), â ñâîþ î÷åðåäü, äîëæíà áûòü: à) îäíîçíà÷íîé, òàê êàê äâèæóùàÿñÿ òî÷êà â îäèí è òîò æå ìîìåíò âðåìåíè íå ìîæåò íàõîäèòüñÿ â ðàçíûõòî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà; á) íåïðåðûâíîé, ïîñêîëüêó äâèæåíèå ïðåäïîëàãàåòñÿíåïðåðûâíûì è êàæäîìó ìàëîìó èçìåíåíèþ Δt ñîîòâåòñòâóåò ìàëîå èçìåíåíèå Δs; â) äèôôåðåíöèðóåìîé, ò. å.

äîëæíà èìåòü, ïî êðàéíåé ìåðå, ïåðâóþïðîèçâîäíóþ, êîòîðàÿ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ñêîðîñòü äâèæåíèÿ.Çàêîí äâèæåíèÿ s = f (t) ìîæåò áûòü çàäàí íå òîëüêî àíàëèòè÷åñêè, íî èãðàôè÷åñêè, ñ ïîìîùüþ ãðàôèêà äâèæåíèÿ. Ãðàôèê äâèæåíèÿ íå ñëåäóåò ñìåøèâàòü ñ òðàåêòîðèåé äâèæåíèÿ. Òàê, íà ðèñ. 2.7, à èçîáðàæåíà òðàåêòîðèÿòî÷êè, ñîâåðøàþùåé ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ àìïëèòóäîé s0 îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò O. Ýòî îòðåçîê ïðÿìîé, âäîëü êîòîðîãî ïðîèñõîäÿò ðàññìàòðèâàåìûå êîëåáàíèÿ. Çàêîí äâèæåíèÿ â äàííîì ñëó÷àå — ýòî ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ s (t) = s0 sin ωt, à ãðàôèê äâèæåíèÿ — ñèíóñîèäà (ðèñ. 2.7, á ).2.

Êîîðäèíàòíûé ñïîñîá.  ýòîì ñëó÷àå çàêîíäâèæåíèÿ — ýòî çàâèñèìîñòü âûáðàííûõ êîîðäèíàò äâèæóùåéñÿ òî÷êè îò âðåìåíè:q1 = q1(t); q2 = q2(t); q3 = q3(t),(2.9)ãäå q1, q2, q3 — êîîðäèíàòû äâèæóùåéñÿ òî÷êè.Ýòî ìîãóò áûòü x, y, z â äåêàðòîâîé, ρ, ϕ, z âöèëèíäðè÷åñêîé, r, θ, ϕ â ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìåêîîðäèíàò è ò. ä. Êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, âñåÐèñ. 2.621àáÐèñ. 2.7ôóíêöèè qi (t) äîëæíû áûòü îäíîçíà÷íûìè, íåïðåðûâíûìè è äèôôåðåíöèðóåìûìè.Ðàâåíñòâà (2.9) ÿâëÿþòñÿ òàêæå óðàâíåíèÿìè òðàåêòîðèè â ïàðàìåòðè÷åñêîì âèäå, ïðè÷åì ðîëü ïàðàìåòðà èãðàåò âðåìÿ t. Ïðîèëëþñòðèðóåì ñêàçàííîåíà ïðèìåðå äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, ãäå çàêîí äâèæåíèÿ (2.9) ïðèíèìàåò âèäx = x (t ); y = y (t ); z = z (t ).(2.10)Èñêëþ÷àÿ èç (2.10) ïàðàìåòð t, ïîëó÷èì îäíó èç òðåõ âîçìîæíûõ ñèñòåìóðàâíåíèé:ϕ( x, y ) = 0;ψ( y, z ) = 0.ϕ( x, y ) = 0;χ( x, z ) = 0.ψ( y, z ) = 0;χ( x, z ) = 0.(2.11)(2.12)(2.13)Êàæäàÿ èç ýòèõ ñèñòåì îïðåäåëÿåò òðàåêòîðèþ äâèæåíèÿ òî÷êè.

Ýòà òðàåêòîðèÿ åñòü ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ öèëèíäðè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé, îáðàçóþùèå êîòîðûõ ïàðàëëåëüíû ñîîòâåòñòâóþùèì îñÿì êîîðäèíàò [ñì. ïðèìåð íàðèñ. 2.8 äëÿ ñëó÷àÿ (2.11)].Ïðè äâèæåíèè òî÷êè â ïëîñêîñòè äåëî îáñòîèò íåñêîëüêî ïðîùå.  êà÷åñòâåïðèìåðà ðàññìîòðèì ëèíåéêó AB, êîíöû êîòîðîé ñêîëüçÿò ïî äâóì âçàèìíîïåðïåíäèêóëÿðíûì íàïðàâëÿþùèì — îñÿì Ox è Oy (ðèñ.

2.9). Ëèíåéêà äâèæåòñÿ òàê, ÷òî óãîë ϕ (óãîë ABO) ìîíîòîííî óìåíüøàåòñÿ ïî çàêîíó ϕ = ϕ(t).Îïðåäåëèì òðàåêòîðèþ òî÷êè M, åñëè AM = a, MB = b. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî22x (t ) = a cos ϕ (t );(2.14)y (t ) = b sin ϕ (t ).(2.15)Ðèñ. 2.8Ðèñ. 2.9Äëÿ îïðåäåëåíèÿ òðàåêòîðèè òî÷êè M ïðåäñòàâèì çàêîí äâèæåíèÿ (2.14 ) —(2.15) â âèäåx= cos ϕ(t );ay= sin ϕ(t ).b(2.16)Âîçâîäÿ ýòè ðàâåíñòâà â êâàäðàò è ñêëàäûâàÿ èõ, ïîëó÷èì óðàâíåíèå ýëëèïñà ñ ïîëóîñÿìè a è b (ðèñ.

2.9)x2 y2+= 1.a2 b 2(2.17)3. Âåêòîðíûé ñïîñîá.  ýòîì ñëó÷àå ïîëîæåíèå òî÷êè çàäàåòñÿ ñ ïîìîùüþðàäèóñà-âåêòîðà r, ïðîâåäåííîãî â ýòó òî÷êó èç íà÷àëà îòñ÷åòà (ðèñ. 2.10).  âåêòîðíîé ôîðìå çàêîí äâèæåíèÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäår = r(t).(2.18)Åñëè r = const, òî òî÷êà îòíîñèòåëüíî äàííîé ñèñòåìû îòñ÷åòà ïîêîèòñÿ.Ïðè äâèæåíèè òî÷êè åå ðàäèóñ-âåêòîð ìåíÿåòñÿ — â îáùåì ñëó÷àå è ïî âåëè÷èíå, è ïî íàïðàâëåíèþ. Ïðè ýòîì òî÷êà M [êîíåö ðàäèóñà-âåêòîðà r(t)] äâèæåòñÿ ïî òðàåêòîðèè, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ãîäîãðàôîì âåêòîðà r.Ïðåèìóùåñòâî âåêòîðíîãî ñïîñîáà çàäàíèÿäâèæåíèÿ òî÷êè â âèäå (2.18) ñîñòîèò â òîì,÷òî îí ïîçâîëÿåò â íàãëÿäíîé è êîìïàêòíîéôîðìå ââåñòè òàêèå âåêòîðíûå õàðàêòåðèñòèêè äâèæåíèÿ, êàê ïåðåìåùåíèå, ñêîðîñòü,óñêîðåíèå.

Îäíàêî ïðè ðåøåíèè êîíêðåòíûõçàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ âû÷èñëåíèÿìè, ïåðåõîäÿòê êîîðäèíàòíîìó ñïîñîáó îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ.Ïðè ýòîì îïåðèðóþò ñ ïðîåêöèÿìè ðàäèóñàâåêòîðà r íà êîîðäèíàòíûå îñè. Òàê, â ñëó÷àåäåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàòÐèñ. 2.1023r(t) = x(t)i + y (t)j + z (t)k,(2.19)ãäå x(t), y(t), z(t) — ïðîåêöèè ðàäèóñà-âåêòîðà r(t) íà îñè Ox, Oy è Oz âìîìåíò âðåìåíè t ; i, j, k — åäèíè÷íûå âåêòîðû (îðòû) âäîëü ñîîòâåòñòâóþùèõêîîðäèíàòíûõ îñåé (ñì.

ðèñ. 2.10). äàëüíåéøåì ïðè îïðåäåëåíèè õàðàêòåðèñòèê äâèæåíèÿ ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü êàê âåêòîðíóþ, òàê è êîîðäèíàòíóþ ôîðìó çàïèñè. Åñëè èçâåñòíà òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ, áûâàåò óäîáíî âîñïîëüçîâàòüñÿ åñòåñòâåííûì ñïîñîáîì îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ.Ïåðåìåùåíèå. Ïðè äâèæåíèè òî÷êà Ì èçìåíÿåò ñâîå ïîëîæåíèå â ïðîñòðàíñòâå. Èçìåíåíèå ïîëîæåíèÿ òî÷êè, ïðîèçîøåäøåå çà âðåìÿ Δt, õàðàêòåðèçóåòñÿ âåêòîðîì ïåðåìåùåíèÿ Δr (ðèñ. 2.11):Δr = r(t + Δt) − r(t) = Δx i + Δy j + Δz k.(2.20)Î÷åâèäíî, ÷òî |Δr| < |Δs|, ãäå |Δs| — ñìåùåíèå ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè âäîëüêðèâîëèíåéíîé òðàåêòîðèè. Îäíàêî ïðè Δt → 0 ðàçíèöà ìåæäó |Δr| è |Δs| óìåíü| Δr |= 1.

Ïðè ïðÿìîëèíåéíîì äâèæåíèè |Δr| = |Δs|.øàåòñÿ, ò. å. limΔt →0 |Δs |Ñêîðîñòü. Âåëè÷èíó, ðàâíóþ îòíîøåíèþ ïåðåìåùåíèÿ òî÷êè Δr ê ñîîòâåòñòâóþùåìó èíòåðâàëó âðåìåíè Δt, íàçûâàþò ñðåäíåé ñêîðîñòüþ òî÷êè çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè (t, t + Δt):v cp (t , t + Δt ) =Δr Δ xΔyΔz=i+j+k.ΔtΔtΔtΔt(2.21)Î÷åâèäíî, ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü òî÷êè åñòü âåêòîð, íàïðàâëåííûé ïî õîðäå âñòîðîíó äâèæåíèÿ (ðèñ. 2.12).

Ñêîðîñòü òî÷êè â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè t îïðåäåëÿåòñÿ êàê ïðåäåë, ê êîòîðîìó ñòðåìèòñÿ ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü vñð ïðè Δt → 0.Ýòî âåêòîðíàÿ âåëè÷èíà, ðàâíàÿ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé îò ðàäèóñà-âåêòîðà òî÷êè ïî âðåìåíèv(t ) = limΔt →0Δr d r dxdydz==i+j+k = L x i + L y j + L z k,Δt dtdtdtdt(2.22)ãäå Lx, Ly, Lz — ïðîåêöèè ñêîðîñòè òî÷êè íà îñè ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîéñèñòåìû êîîðäèíàòÐèñ. 2.1124Ðèñ. 2.12dxdódz(2.23)= x&; L ó == ó&; L z == z&.dtdtdtÒî÷êà íàä êîîðäèíàòîé îáîçíà÷àåò äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî âðåìåíè. Ïîîáùåé ôîðìóëå, âûðàæàþùåé ìîäóëü âåêòîðà ÷åðåç åãî ïðîåêöèè, äëÿ àáñîëþòíîé âåëè÷èíû ñêîðîñòè ïîëó÷èìLx =L = L x2 + L y2 + L z2 = x& 2 + y& 2 + z& 2 .(2.24)Δráóäåò ñîâïàäàòü ñ íàïðàâëåΔtíèåì êàñàòåëüíîé ê òðàåêòîðèè, ïîýòîìó âåêòîð ñêîðîñòè v(t) â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè íàïðàâëåí ïî êàñàòåëüíîé ê òðàåêòîðèè òî÷êè (ñì.

ðèñ. 2.12).Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå ïëîñêîé êðèâîé îïðåäåëåíèå êàñàòåëüíîé çàòðóäíåíèé íå âûçûâàåò.  îáùåì ñëó÷àå íàïðàâëåíèå êàñàòåëüíîé MT ê êðèâîé âäàííîé òî÷êå M îïðåäåëÿåòñÿ ïðåäåëüíûì ïîëîæåíèåì ñåêóùåé MM ′ ïðè ñòðåìëåíèè òî÷êè M ′ ê òî÷êå M (ðèñ. 2.13).Âûðàæåíèå äëÿ v ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ïðåäåëå, ïðè Δt → 0, íàïðàâëåíèå âåêòîðàv=d r d r ds ds rr==τ = L τ *,dt ds dt dt(2.25)r drds= L — àëãåáðàè÷åñêàÿ âåëè÷èíà ñêîðîñòè v; τ =— åäèíè÷íûé âåêdsdtòîð, íàïðàâëåííûé ïî êàñàòåëüíîé ê òðàåêòîðèè â ñòîðîíó ïîëîæèòåëüíîãîíàïðàâëåíèÿ îòñ÷åòà êîîðäèíàòû s (ñì. ðèñ. 2.12).Çíàÿ íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå òî÷êè è çàâèñèìîñòü ñêîðîñòè îò âðåìåíè, ìîæíî îïðåäåëèòü êîîðäèíàòó s òî÷êè íà òðàåêòîðèè â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t :ãäåts (t ) = s (0) + ∫ L (t )dt ,(2.26)0ãäå s(0) — êîîðäèíàòà òî÷êè â ìîìåíò t = 0. Ïðè ýòîì äëèíà ïóòè l, ïðîéäåííîãî òî÷êîé âäîëü òðàåêòîðèè çà ýòî æå âðåìÿ t, áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ïî ôîðìóëål (t ) =t∫ L (t ) dt .(2.27)0 îòëè÷èå îò (2.26), ïîä çíàêîì èíòåãðàëà çäåñü ñòîèò íå àëãåáðàè÷åñêàÿâåëè÷èíà ñêîðîñòè, à åå ìîäóëü, ïîýòîìó l(t) U|s(t) − s(0)|.Çàìåòèì, ÷òî ïðè L = L0 = const ôîðìóëû (2.26)è (2.27) óïðîùàþòñÿ:s (t) = s(0) + L0t ;l (t) = |L0| ⋅ t.(2.28)* Çäåñü è äàëåå âåêòîðíûå âåëè÷èíû, îáîçíà÷åííûå ãðå÷åñêèìè áóêâàìè, îòìå÷åíû ñòðåëêîé.Ðèñ.

Характеристики

Список файлов книги