В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 7
Текст из файла (страница 7)
2.1325Óñêîðåíèå. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ óñêîðåíèÿ òî÷êè íàìïîíàäîáÿòñÿ íåêîòîðûå äîïîëíèòåëüíûå ñâåäåíèÿèç ãåîìåòðèè.rÏðîâåäåì ïëîñêîñòü, â êîòîðîé ëåæàò âåêòîð τ(èëè êàñàòåëüíàÿ ê òðàåêòîðèè â òî÷êå M ) è òî÷êàM ′ (ðèñ. 2.14). Ïðè ñòðåìëåíèè òî÷êè M ′ ê òî÷êå Mïðè Δt → 0 ýòà ïëîñêîñòü îïðåäåëÿåò òàê íàçûâàåìóþ ñîïðèêàñàþùóþñÿ ïëîñêîñòü.  ñëó÷àå ïëîñêîéêðèâîé ñîïðèêàñàþùåéñÿ ïëîñêîñòüþ, î÷åâèäíî,ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîñòü, â êîòîðîé ëåæèò ñàìà êðèâàÿ.Ïåðïåíäèêóëÿð ê êàñàòåëüíîé â òî÷êå M, ëåæàùèé â ñîïðèêàñàþùåéñÿ ïëîñêîñòè, íàçûâàþò ãëàâÐèñ.
2.14íîé íîðìàëüþ ê êðèâîé â òî÷êå M. Ãëàâíàÿ íîðìàëü õàðàêòåðèçóåòñÿ åäèíè÷íûì âåêòîðîì n, íàïðàâëåííûì â ñòîðîíó âîãíóòîñòè êðèâîé (ðèñ. 2.14). Ïåðïåíäèêóëÿð ê ñîïðèêàñàþùåéñÿ ïëîñêîñòè íàçûâàþò áèíîðìàëüþ (åäèíè÷íûé âåêòîð b). Òðèrâçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ åäèíè÷íûõ âåêòîðà τ, n è b ÿâëÿþòñÿ îðòàìèåñòåñòâåííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, ñîïðîâîæäàþùåé äâèæåíèå òî÷êè ïî òðàåêòîðèè.Ñîïðèêàñàþùóþñÿ ïëîñêîñòü ê êðèâîé â òî÷êå Ì ìîæíî îïðåäåëèòü íåñêîëüêî èíà÷å (ðèñ. 2.15). Âîçüìåì äâå òî÷êè: M ′ ñïðàâà îò òî÷êè M è M ″ ñëåâàîò íåå. Ïðîâåäåì ïëîñêîñòü ÷åðåç òî÷êó M è ñåêóùóþ M ′M ″. Ïðè ïðèáëèæåíèèòî÷åê M ′ è M ″ ê òî÷êå M ýòà ïëîñêîñòü è çàéìåò ïîëîæåíèå ñîïðèêàñàþùåéñÿïëîñêîñòè.Îïðåäåëèì äàëåå ðàäèóñ êðèâèçíû òðàåêòîðèè â òî÷êå M.
Âîçüìåì äâåáëèçêèå òî÷êè M è M ′ è ïðîâåäåì êàñàòåëüíûå MT è M ′T ′ (ðèñ. 2.16). Ïðîâåäåì, êðîìå òîãî, MT ″ || M ′T ′. Óãîë Δθ ìåæäó MT è MT ″ (èëè, ÷òî òî æåñàìîå, ìåæäó êàñàòåëüíûìè MT è M ′T ′) íàçûâàþò óãëîì ñìåæíîñòè, ñîîòâåòñòâóþùèì äóãå MM ′. Êðèâèçíîé òðàåêòîðèè â äàííîé òî÷êå M íàçûâàåòñÿâåëè÷èíàk = limΔs →0Ðèñ. 2.1526Δθ d θ=.Δs ds(2.29)Ðèñ. 2.16Çàìåòèì, ÷òî â ôîðìóëå (2.29) Δθ èìååòòîò æå çíàê, ÷òî è Δs. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðèrΔs > 0 âåêòîð τ ïîâîðà÷èâàåòñÿ â ñòîðîíóöåíòðà êðèâèçíû (òî÷êà Î), è Δθ > 0. ÏðèrΔs < 0 âåêòîð τ ïîâîðà÷èâàåòñÿ â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó, è Δθ < 0.Âåëè÷èíà, îáðàòíàÿ êðèâèçíå k, íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì êðèâèçíû òðàåêòîðèè â äàííîé òî÷êåR=Ðèñ.
2.171 ds=.k dθ(2.30)Îòêëàäûâàÿ îò òî÷êè M âäîëü ãëàâíîé íîðìàëè îòðåçîê R, ïîëó÷èì òî÷êóO öåíòð êðèâèçíû òðàåêòîðèè â òî÷êå M (ðèñ. 2.16).Ç à ì å ÷ à í è å 1. Ðàäèóñ êðèâèçíû â òî÷êå M ìîæíî îïðåäåëèòü èíà÷å. Åñëè÷åðåç òðè òî÷êè M, M1, M2 ëþáîé êðèâîé ïðîâåñòè îêðóæíîñòü, òî â ïðåäåëå,ïðè ïðèáëèæåíèè òî÷åê M1 è M2 ê òî÷êå M, îíà áóäåò ëåæàòü â ñîïðèêàñàþùåéñÿ ïëîñêîñòè (ðèñ. 2.17).
Ýòó ïðåäåëüíóþ îêðóæíîñòü íàçûâàþò ñîïðèêàñàþùèìñÿ êðóãîì, èëè êðóãîì êðèâèçíû, à åå ðàäèóñ è åñòü ðàäèóñ êðèâèçíû âòî÷êå M.Ç à ì å ÷ à í è å 2.  ñëó÷àå ïëîñêîé òðàåêòîðèè öåíòð êðèâèçíû O ýòî ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå òî÷êè O ′ ïåðåñå÷åíèÿ ëåæàùèõ â ïëîñêîñòè ýòîé êðèâîéïåðïåíäèêóëÿðîâ ê êàñàòåëüíûì â òî÷êàõ M è M ′ ïðè ñòðåìëåíèè òî÷êè M ′ êòî÷êå M (ðèñ. 2.18).Ç à ì å ÷ à í è å 3. Åñëè ïëîñêàÿ êðèâàÿ çàäàíà àíàëèòè÷åñêè â âèäå çàâèñèìîñòè y = f (x), òî ðàäèóñ êðèâèçíû ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå⎡ ⎛ dy ⎞2 ⎤⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥⎝ dx ⎠ ⎦R= ⎣d 2ydx 232(2.31).Íàïðèìåð, äëÿ âåðøèíû ïàðàáîëû y = Cx21.ôîðìóëà (2.31) äàåò R =2CÏåðåéäåì òåïåðü ê ðàññìîòðåíèþ óñêîðåíèÿòî÷êè Ì.
Ïóñòü ýòà òî÷êà, äâèãàÿñü ïî ñâîåéòðàåêòîðèè, â ìîìåíò âðåìåíè t èìååò cêîðîñòüv(t ), à â ìîìåíò t + Δt èìååò cêîðîñòü v(t + Δt)(ðèñ. 2.19, à). Ïðèðàùåíèå ñêîðîñòè çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè Δt åñòü âåêòîð Δv (ðèñ. 2.19, á ). Ðàçäåëèâ Δv íà Δt, ïîëó÷èì âåêòîðíóþ âåëè÷èíóΔv(2.32),Δtêîòîðóþ íàçûâàþò ñðåäíèì óñêîðåíèåì òî÷êèçà ïðîìåæóòîê âðåìåíè (t, t + Δt).a ñð (t , t + Δt ) =Ðèñ.
2.1827àáÐèñ. 2.19Óñêîðåíèå a òî÷êè â ìîìåíò âðåìåíè t îïðåäåëÿåòñÿ êàê ïðåäåë, ê êîòîðîìóñòðåìèòñÿ ñðåäíåå óñêîðåíèå ïðè Δt → 0. Ýòî åñòü âåêòîðíàÿ âåëè÷èíà, ðàâíàÿïåðâîé ïðîèçâîäíîé îò âåêòîðà ñêîðîñòè, èëè âòîðîé ïðîèçâîäíîé îò ðàäèóñà-âåêòîðà òî÷êè ïî âðåìåíèΔv d v d 2 r d 2 xd2yd 2z== 2 = 2 i + 2 j + 2 k = ax i + ay j + az k,Δt →0 Δtdtdtdtdtdta(t ) = lim(2.33)ãäå ax, ay, az ïðîåêöèè óñêîðåíèÿ òî÷êè íà îñè ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîéñèñòåìû êîîðäèíàòax =d 2xd2yd 2z= x&&; ay = 2 = y&&; az = 2 = z&&.2dtdtdt(2.34)Äâå òî÷êè íàä êîîðäèíàòîé îáîçíà÷àþò äâîéíîå äèôôåðåíöèðîâàíèå ïîâðåìåíè.
Àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà óñêîðåíèÿx&&2 + y&&2 + z&&2 .a = ax2 + ay2 + az2 =(2.35)Î÷åâèäíî, ÷òî âåêòîð a ðàñïîëîæåí ïî òó æå ñòîðîíó îò êàñàòåëüíîé ê òðàåêòîðèè â òî÷êå M, ÷òî è âåêòîð añð, âû÷èñëåííûé çà îòíîñèòåëüíî íåáîëüøîéïðîìåæóòîê âðåìåíè Δt, ò. å. îí íàïðàâëåí â ñòîðîíó âîãíóòîñòè òðàåêòîðèè(ðèñ. 2.19, à).Çíàÿ çàâèñèìîñòü a(t), ìîæíî ðåøèòü îáðàòíóþ çàäà÷ó êèíåìàòèêè: îïðåäåëèòü çíà÷åíèå ñêîðîñòè v(t) è ïîëîæåíèå r(t) òî÷êè â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíòâðåìåíè ttv(t ) = v(0) + ∫ a(t )dt ;(2.36)0tr(t ) = r(0) + ∫ v(t )dt ,(2.37)0ãäå v(0) è r(0) ñêîðîñòü è ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè â ìîìåíò âðåìåíè t = 0.Âû÷èñëåíèÿ ïî ôîðìóëàì (2.36) è (2.37) ïðîâîäÿòñÿ â êîîðäèíàòíîì âèäå,ñ èñïîëüçîâàíèåì çàâèñèìîñòåé ax(t), ay(t), az(t) è Lx(t), Ly(t), Lz(t) è çíà÷åíèé Lx(0), Ly(0), Lz(0) è x (0), y(0), z (0).28Íîðìàëüíîå è òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèÿ. Åñëè ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü âåêòîðñêîðîñòè [ñì.
(2.25)] ïî âðåìåíè, òî äëÿ óñêîðåíèÿ a ïîëó÷èì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:rdv d rdL rdτ(2.38)= (L τ) =τ+La=.dt dtdtdtdL rτ, íàïðàâëåííûé ïî êàñàòåëüíîé ê òðàåêdtòîðèè. Îí ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òàíãåíöèàëüíóþ ñîñòàâëÿþùóþ óñêîðåíèÿ òî÷êè è ñâÿçàí ñ èçìåíåíèåì âåëè÷èíû ñêîðîñòè. Íàéäåì çíà÷åíèå âòîðîãî ñëàãàåìîãî.r rrÏðè Δt → 0 íàïðàâëåíèå âåêòîðà Δτ = τ(t + Δt) − τ(t) áóäåò ïðèáëèæàòüñÿ êíàïðàâëåíèþ íîðìàëè n ê òðàåêòîðèè â òî÷êå M (ðèñ. 2.20). Ïî àáñîëþòíîéâåëè÷èíårr| Δτ | ≈ | τ | ⋅ | Δθ | = | Δθ |,(2.39)Ïåðâîå ñëàãàåìîå åñòü âåêòîðà ñàì âåêòîðrΔτ ≈ Δθ n.(2.40)Îòñþäà íàõîäèì, ÷òîrrΔτ d θdτd θ ds1= lim=n=n = L n,dt Δt →0 Δtdtds dtR(2.41)ds ðàäèóñ êðèâèçíû òðàåêòîðèè â òî÷êå M.dθÒàêèì îáðàçîì, âòîðàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ óñêîðåíèÿ a â ôîðìóëå (2.38) ðàâíàãäå R =rdτLL2=L n =Ln.dtRR(2.42)Ýòà ñîñòàâëÿþùàÿ íàïðàâëåíà ïî íîðìàëè n ê öåíòðó êðèâèçíû òðàåêòîðèèè ñâÿçàíà ñ èçìåíåíèåì âåêòîðà ñêîðîñòè v ïî íàïðàâëåíèþ.Îêîí÷àòåëüíî äëÿ âåêòîðà óñêîðåíèÿ a ïîëó÷àåìa=dL r L 2rτ+n = aτ τ + an n,dtR(2.43)ãäå aτ è an ïðîåêöèè óñêîðåíèÿ à íàíàïðàâëåíèÿ êàñàòåëüíîé è íîðìàëè êòðàåêòîðèè ñîîòâåòñòâåííî.rÈíîãäà aττ íàçûâàþò òàíãåíöèàëüíûìóñêîðåíèåì aτ, an n íîðìàëüíûì óñêîðåíèåì an òî÷êè (ðèñ.
2.21). Îòìåòèì, ÷òîâåêòîð óñêîðåíèÿ a ëåæèò â ñîïðèêàñàþùåéñÿ ïëîñêîñòè, è ïîýòîìó îí íå èìååòñîñòàâëÿþùåé âäîëü áèíîðìàëè b. Òàê êàêaτ an, òî ìîäóëü ïîëíîãî óñêîðåíèÿ áóäåò ðàâåíÐèñ. 2.2029Ðèñ. 2.21Ðèñ. 2.22Ðèñ. 2.23Ðèñ. 2.24a=aτ2+2an22⎛ L2 ⎞⎛ dL ⎞= ⎜⎟ +⎜ ⎟ .⎝ dt ⎠⎝4⎠(2.44)Ñêîðîñòü áóäåò âîçðàñòàòü ïî âåëè÷èíå, êîãäà óãîë ìåæäó âåêòîðàìè v è aîñòðûé (ðèñ. 2.22), è óìåíüøàòüñÿ, êîãäà ýòîò óãîë òóïîé (ðèñ. 2.23).Åñëè ïðè êðèâîëèíåéíîì äâèæåíèè aτ =dL= 0 (ñêîðîñòü ïîñòîÿííà èëèdtäîñòèãàåò ýêñòðåìóìà), òî óñêîðåíèå òî÷êè a áóäåò íàïðàâëåíî ïî íîðìàëè n:a = an.
Àíàëîãè÷íî, åñëè an =L2R= 0, òî âåêòîð a áóäåò íàïðàâëåí ïî êàñàòåëüíîéê òðàåêòîðèè. Òàêîé ñëó÷àé ìîæåò èìåòü ìåñòî ëèáî êîãäà ñêîðîñòü òî÷êè îáðàùàåòñÿ â íóëü (èçìåíåíèå íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ íà ïðîòèâîïîëîæíîå), ëèáî âòî÷êå ïåðåãèáà òðàåêòîðèè (ðèñ. 2.24). Åñëè æå â òå÷åíèå íåêîòîðîãî ïðîìåæóòêàâðåìåíè a = 0 (è aτ = 0, è an = 0), òî òî÷êà â ýòî âðåìÿ äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíîâûáðàííîé ñèñòåìû îòñ÷åòà ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî.n Ïðèìåð 1. Åñëè ïðåíåáðå÷ü ñèëîé ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà, òî òåëî, áðîøåííîå ïîäóãëîì α ê ãîðèçîíòó â îäíîðîäíîì ïîëå ñèëûòÿæåñòè, ëåòèò, êàê èçâåñòíî, ïî ïàðàáîëå(ðèñ.
2.25). Ïîëíîå óñêîðåíèå â òî÷êàõ A, B è Còðàåêòîðèè ðàâíî óñêîðåíèþ ñâîáîäíîãîïàäåíèÿ g. Íà âîñõîäÿùåì ó÷àñòêå òðàåêòîðèèOB äâèæåíèå çàìåäëåííîå (óãîë ìåæäóâåêòîðàìè v è g òóïîé), íà ó÷àñòêå BD äâèæåíèå óñêîðåííîå (óãîë ìåæäó âåêòîðàìè v èg îñòðûé).  òî÷êå B an = g, òàíãåíöèàëüíîåóñêîðåíèå îòñóòñòâóåò. Çíàÿ çíà÷åíèÿ v è an,Ðèñ. 2.2530ìîæíî âû÷èñëèòü ðàäèóñ êðèâèçíû R =L2anâëþáîé òî÷êå òðàåêòîðèè. Òàê, â íàèâûñøåéòî÷êå B (ñì. ðèñ. 2.25) R äîñòèãàåò ìèíèìàëüL 2 L 2 cos 2 αíîãî çíà÷åíèÿ RB = B = 0.angn Ïðèìåð 2. Ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê, èçîáðàæåííûé íà ðèñ.
2.26, îòêëîíåí íà óãîë α0 îòïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ è îòïóùåí áåç íà÷àëüíîé ñêîðîñòè.  êðàéíèõ òî÷êàõ 1 è 5 òðàåêòîðèè L = 0, ïîýòîìó an = 0, è ïîëíîå óñêîðåíèåÐèñ. 2.26íàïðàâëåíî ïî êàñàòåëüíîé ê òðàåêòîðèè.  òî÷êå 3 ñêîðîñòü äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ L = Lmax, ïîýòîìó aτ = 0 è ïîëíîå óñêîðåíèå íàïðàâëåíî ïî íîðìàëè êòðàåêòîðèè, ê òî÷êå ïîäâåñà O.  ïðîìåæóòî÷íûõ òî÷êàõ 2 è 4 óãîë ìåæäó âåêòîðàìè a è v ìîæåò áûòü êàê îñòðûì, òàê è òóïûì.Äâèæåíèå ïî îêðóæíîñòè. Ïðè äâèæåíèè ïî îêðóæíîñòè ds = Rdϕ (ðèñ.
2.27),dsdϕdϕ=R. Âåëè÷èíó ω =ïîýòîìó L =íàçûâàþò óãëîâîé ñêîðîñòüþ âðàùàdtdtdtòåëüíîãî äâèæåíèÿ òî÷êè. Òàêèì îáðàçîì,L = ωR.(2.45)Âåêòîð v íàïðàâëåí ïî êàñàòåëüíîé ê îêðóæíîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ðàäèóñó R = OM (ðèñ. 2.27).Èíôîðìàöèÿ î êðóãîâîì äâèæåíèè òî÷êè áóäåò áîëåå ïîëíîé, åñëè èçâåñòíî ïîëîæåíèå ïëîñêîñòè, â êîòîðîé ïðîèñõîäèò äâèæåíèå.Äëÿ ýòîãî îáû÷íîuurdϕçàäàþò âåêòîð ýëåìåíòàðíîãî óãëîâîãî ïåðåìåùåíèÿ,ïåðïåíäèêóëÿðíûéêuurdϕýòîé ïëîñêîñòè (ðèñ.
2.28). Íàïðàâëåíèå âåêòîðàâûáèðàåòñÿòàê,÷òîáûíàuuráëþäàòåëü, ñìîòðÿùèé ñ êîíöà âåêòîðà dϕ , âèäåë êðóãîâîå äâèæåíèå òî÷êè,ñîâåðøàåìîå ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè (ïî ïðàâèëó ïðàâîãî âèíòà).Èç ðèñ. 2.28 âèäíî, ÷òî ýëåìåíòàðíîå ïåðåìåùåíèå d R ðàâíîuurd R = dϕ × R.(2.46)Ðèñ. 2.27Ðèñ. 2.2831Ðèñ. 2.29Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ñêîðîñòè v ïîëó÷èìuurrdR dϕ(2.47)v==× R = ω × R,dtdtuurr dϕãäå ω = âåêòîð óãëîâîé ñêîðîñòè òî÷êè.dtÔîðìóëà (2.46) èçâåñòíà êàê ôîðìóëà Ýéëårðà.uur Î÷åâèäíî, âåêòîð ω íàïðàâëåí òàê æå, êàê èdϕ (ðèñ. 2.28).Äèôôåðåíöèðóÿ (2.45) ïî âðåìåíè, ïîëó÷èìâåëè÷èíó òàíãåíöèàëüíîãî óñêîðåíèÿ (ðèñ.
2.29)a τ = d L = d ω R = ε R,dtdt(2.48)d ω d 2ϕ= 2 óãëîâîå óñêîðåíèå âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ òî÷êè.dtdtÓãëîâîå óñêîðåíèå òî÷êè, ñîâåðøàþùåé êðóãîâîå äâèæåíèå, ìîæíî èçîárr dω, íàïðàâëåííîãî âäîëü îñè êðóãîâîãî äâèæåíèÿ.ðàçèòü â âèäå âåêòîðà ε =r dtrÏðè ýòîì íàïðàâëåíèå ε ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì ω, êîãäà âåëè÷èíà óãëîâîérrñêîðîñòè âîçðàñòàåò, è ïðîòèâîïîëîæíî ω, êîãäà âåëè÷èíà ω óáûâàåò.Äëÿ íîðìàëüíîãî óñêîðåíèÿ òî÷êè ïðè êðóãîâîì äâèæåíèè ïîëó÷èì (ðèñ.2.29)ãäå ε =an =L2R=(ωR )2R= ω2R .(2.49)Ýòó âåëè÷èíó íàçûâàþò öåíòðîñòðåìèòåëüíûì óñêîðåíèåì, ïîñêîëüêó âåêòîð an íàïðàâëåí ê öåíòðó îêðóæíîñòè.
Ìîäóëü óñêîðåíèÿ òî÷êè ïðè äâèæåíèèïî îêðóæíîñòèa = aτ2 + an2 = R ε2 + ω4 .(2.50)Åñëè L = const, òî aτ = 0 è óñêîðåíèå òî÷êè áóäåò òîëüêî öåíòðîñòðåìèòåëüíûì.Ñêîðîñòü è óñêîðåíèå òî÷êè â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ.  ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ íà ïëîñêîñòè çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êè çàäàåòñÿ â âèäår = r (t );ϕ = ϕ(t ).(2.51)Ââåäåì ïîäâèæíûå åäèíè÷íûå âåêòîðû er (t) è eϕ(t), íàïðàâëåííûå â ñòîðîíó óâåëè÷åíèÿ êîîðäèíàò r è ϕ (ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
