В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Òåì íå ìåíåå ýòîòïðèíöèï îñòàåòñÿ ïîñòóëàòîì, ïîñêîëüêó âñå ýêñïåðèìåíòû ïî åãî ïðîâåðêåìîãóò áûòü âûïîëíåíû ëèøü ñ êîíå÷íîé òî÷íîñòüþ.Çàìåòèì, ÷òî ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòèîçíà÷àåò, ÷òî ôîðìàëüíîå âûðàæåíèå òîãî èëè èíîãî ôèçè÷åñêîãî çàêîíà âîâñåõ ÈÑÎ äîëæíî áûòü îäíèì è òåì æå. Äðóãèìè ñëîâàìè, åñëè â îäíîé ñèñòåìå (Ê ) çàêîí âûðàæàåòñÿ óðàâíåíèåì À =  (À è  êîìáèíàöèè ôèçè÷åñêèõâåëè÷èí), òî ïðè ïåðåõîäå ê äðóãîé ñèñòåìå (K ′; A → A ′, B → B ′) äîëæíîâûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâî A ′ = B ′.Ñèëà.
Ìàññà. Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà. Ïîíÿòèÿ ñèëû è ìàññû ÿâëÿþòñÿ îäíèìè èç íàèáîëåå âàæíûõ íå òîëüêî â ìåõàíèêå, íî è â ôèçèêå âîîáùå. Âìåñòåñ òåì, ýòè ïîíÿòèÿ ÿâëÿþòñÿ, ïîæàëóé, îäíèìè èç íàèáîëåå ñëîæíûõ è òðóäíîîïðåäåëèìûõ.  ëèòåðàòóðå, íà÷èíàÿ îò «Ìàòåìàòè÷åñêèõ íà÷àë íàòóðàëüíîéôèëîñîôèè» Íüþòîíà è êîí÷àÿ ñîâðåìåííûìè êóðñàìè ôèçèêè, ìîæíî âñòðåòèòü ðàçëè÷íûå îïðåäåëåíèÿ ñèëû è ìàññû.Ñîãëàñíî Íüþòîíó, «ïðèëîæåííàÿ ñèëà åñòü äåéñòâèå, ïðîèçâîäèìîå íàäòåëîì, ÷òîáû èçìåíèòü åãî ñîñòîÿíèå ïîêîÿ èëè ðàâíîìåðíîãî ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ».
 íåêîòîðûõ ñîâðåìåííûõ êóðñàõ ñèëà îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñòî ôîðìàëüíî, ÷åðåç II çàêîí Íüþòîíà, êàê ïðîèçâåäåíèå ìàññû ìàòåðèàëüíîé òî÷êèíà åå óñêîðåíèå. Èíîãäà ñèëà êàê òàêîâàÿ âîîáùå èñêëþ÷àåòñÿ èç ðàññìîòðåíèÿ. Òàê, â îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè Ýéíøòåéíà ãðàâèòàöèîííîå âçàèìîäåéñòâèå ñâîäèòñÿ ê èñêðèâëåíèþ ïðîñòðàíñòâà.Åñëè ãîâîðèòü î ìàññå, òî, ñîãëàñíî Íüþòîíó, «êîëè÷åñòâî ìàòåðèè (ìàññà) åñòü ìåðà òàêîâîé, óñòàíàâëèâàåìàÿ ïðîïîðöèîíàëüíî ïëîòíîñòè è åå îáúåìó».
Ýòî îïðåäåëåíèå, êàê îòìå÷àë Ìàõ, ñîäåðæèò ëîãè÷åñêèé êðóã: ìàññà âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïëîòíîñòü è îáúåì, à ïëîòíîñòü, â ñâîþ î÷åðåäü, åñòü ìàññàåäèíèöû îáúåìà. Íüþòîí èñïîëüçîâàë ïîíÿòèå ìàññû ïðè îïðåäåëåíèè èìïóëüñà òåëà, èçìåíåíèå êîòîðîãî âûçûâàåòñÿ âíåøíèìè ñèëàìè. Òåì ñàìûììàññà õàðàêòåðèçóåò èíåðòíûå ñâîéñòâà òåë. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, îíà æå õàðàêòåðèçóåò ñïîñîáíîñòü ãðàâèòàöèîííîãî ïðèòÿæåíèÿ òåë, ïîñêîëüêó Íüþòîí èñïîëüçîâàë åå â çàêîíå âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ. äàííîì êóðñå ëåêöèé ïðè îïðåäåëåíèè ñèëû è ìàññû ìû áóäåì èñõîäèòüèç ñëåäóþùèõ ïðåäñòàâëåíèé.
Ñèëó áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê ìåðó âçàèìîäåéñòâèÿ òåë. Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî â ÈÑÎ âñåãäà ìîæíî óêàçàòü èñòî÷íèêñèëû, à äëÿ ðåøåíèÿ êîíêðåòíûõ ôèçè÷åñêèõ çàäà÷ îïðåäåëèòü çàêîí äåéñòâèÿ ñèëû. Äëÿ âñåõ ðàññìàòðèâàåìûõ ñèë ñïðàâåäëèâ ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè,èëè íåçàâèñèìîãî äåéñòâèÿ: äåéñòâèå êàæäîé ñèëû íå çàâèñèò îò ïðèñóòñòâèÿ47èëè îòñóòñòâèÿ äðóãèõ ñèë. Êàê ñëåäóåò èç îïûòà, ñèëû ïîä÷èíÿþòñÿ ïðàâèëóâåêòîðíîãî ñëîæåíèÿ.Ìàññó áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê ìåðó êîëè÷åñòâà âåùåñòâà (ìàòåðèè), ñîäåðæàùåãîñÿ â òåëå.
Ìàññà õàðàêòåðèçóåò èíåðòíîñòü òåë. Îíà îïðåäåëÿåò èõãðàâèòàöèîííîå ïðèòÿæåíèå. Ìàññà àääèòèâíà, ò. å. ìàññà òåëà ðàâíà ñóììå ìàññåãî ÷àñòåé. Ìàññà òåëà íå çàâèñèò îò åãî äâèæåíèÿ.Çàìåòèì, ÷òî â ðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêå íåêîòîðûå ïåðå÷èñëåííûå âûøåñâîéñòâà óòðà÷èâàþò ñâîþ ñèëó (ñì. ëåêöèþ 10).Äëÿ èçìåðåíèÿ ñèë â ïðèíöèïå ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðóæèííûì äèíàìîìåòðîì, êîòîðûé íåîáõîäèìî ïðîêàëèáðîâàòü.
Çà óñëîâíóþ åäèíèöó ñèëûìîæíî ïðèíÿòü âåëè÷èíó F0 ñèëû, ñîçäàâàåìîé íåêîòîðîé ñòàíäàðòíîé ïðóæèíîé ïðè åå óäëèíåíèè íà îïðåäåëåííóþ âåëè÷èíó Δl = l − l0 (ðèñ. 3.7). Èìåÿíàáîð ñòàíäàðòíûõ ïðóæèí, ìîæíî ñîçäàòü óñèëèÿ âåëè÷èíîé 2F0, 3F0, ... è,òàêèì îáðàçîì, ïðîãðàäóèðîâàòü ïðóæèíó äèíàìîìåòðà.Íàïðèìåð, íà òåëî T (ðèñ. 3.8) ñ îäíîé ñòîðîíû äåéñòâóþò äâå ðàñòÿíóòûåïðóæèíû, ñîçäàþùèå ñèëû F0.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû äåéñòâóåò ïðóæèíà äèíàìîìåòðà Ä ñ íåèçâåñòíîé ñèëîé F. Åñëè òåëî îñòàåòñÿ â ïîêîå, òî ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî F0 + F0 = F, ò. å. F = 2F0. Àíàëîãè÷íî, ñ ïîìîùüþ òðåõ, ÷åòûðåõ è áîëååñòàíäàðòíûõ ïðóæèí ìîæíî ñîçäàòü óñèëèÿ âåëè÷èíîé 3F0, 4F0 è ò. ä. è òàêèìîáðàçîì ðåàëèçîâàòü êàëèáðîâêó ïðóæèíû äèíàìîìåòðà.Èñïîëüçóÿ êàëèáðîâàííóþ ïðóæèíó, ìîæíî â ïðèíöèïå èçìåðèòü ëþáóþäåéñòâóþùóþ íà äàííîå òåëî ñèëó è ïðîâåðèòü ïðàâèëî âåêòîðíîãî ñëîæåíèÿñèë. Ñêàçàííîå èëëþñòðèðóþò ðèñ. 3.9 è 3.10.Íåçàâèñèìî èçìåðÿÿ ñèëó F è óñêîðåíèå à, ìîæíî èçó÷èòü äâèæåíèå ðàçëè÷íûõ òåë ïîä äåéñòâèåì òåõ èëè èíûõ ñèë è óñòàíîâèòü ñóùåñòâóþùóþ ìåæäó F è à âçàèìîñâÿçü.
Ïðèìåð òàêèõ îïûòîâ ïîêàçàí íà ðèñ. 3.11. Òåëî Ò, «ñîñòàâëåííîå» èç îäíîãî èëè íåñêîëüêèõ îäèíàêîâûõ áðóñêîâ, íàõîäèòñÿ íà ñêàìüå Ñ ñ âîçäóøíîé ïîäóøêîé, ïîçâîëÿþùåé óñòðàíèòü ñèëó òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ ìåæäó òåëîì è ñêàìüåé. Òåëî äâèæåòñÿ ïîä äåéñòâèåì ãðóçîâ, óëîæåííûõíà ïëàòôîðìó Ï. Ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà òåëî, èçìåðÿåòñÿ äèíàìîìåòðîì Ä.Ýòîò è äðóãèå ïîäîáíûå îïûòû ïîçâîëÿþò ñäåëàòü ñëåäóþùèå âûâîäû:1.
Ïðè íåèçìåííîì âíåøíåì âîçäåéñòâèè òåëî äâèæåòñÿ ðàâíîóñêîðåííî,ò. å. åñëè F = const, òî è a = const.Ðèñ. 3.748Ðèñ. 3.8Ðèñ. 3.10Ðèñ. 3.11Ðèñ. 3.92. Íàïðàâëåíèÿ âîçíèêàþùèõ óñêîðåíèé ñîâïàäàþò ñ íàïðàâëåíèÿìè äåéñòâóþùèõ ñèë: à ↑↑ F.3. Óñêîðåíèÿ òåë ïðîïîðöèîíàëüíû äåéñòâóþùèì ñèëàì: a ∼ F.  ýòîì, â÷àñòíîñòè, ìîæíî óáåäèòüñÿ, èçìåðÿÿ óñêîðåíè ÿ òåëà Ò (ðèñ. 3.11) ïðè ðàçíîìêîëè÷åñòâå ãðóçîâ íà îïóñêàþùåéñÿ ïëàòôîðìå.4.
Óñêîðåíèå òåëà çàâèñèò îò åãî èíåðòíîñòè íåïîäàòëèâîñòè ê èçìåíåíèþ ñêîðîñòè ïîä äåéñòâèåì ïðèëîæåííîé ñèëû. ×åì áîëüøå áðóñêîâ, èç êîòîðûõ «ñîñòàâëåíî» òåëî (÷åì áîëüøå åãî èíåðò íîñòü), òåì ìåíüøåå óñêîðåíèåïðèîáðåòàåò òåëî ïîä äåéñòâèåì ôèêñèðîâàííîé ñèëû.5. Îòíîøåíèå F/a ïðîïîðöèîíàëüíî ÷èñëó áðóñêîâ N, èç êîòîðûõ «ñîñòàâëåíî» òåëî: F/a ∼ N. Åñëè âñå áðóñêè îäèíàêîâû, à ìàññà êàæäîãî èç íèõ ðàâíà m0,òî ìàññà N áðóñêîâ m = Nm0 è, òàêèì îáðàçîì, F/a = km, ãäå k = const êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè.Çà åäèíèöó ñèëû ïðèíèìàåòñÿ òàêàÿ ñèëà, êîòîðàÿ ìàññå 1 êã (îá ýòàëîíåìàññû ãîâîðèëîñü â ëåêöèè 1) ñîîáùàåò óñêîðåíèå 1 ì/ñ2.
Ýòà ñèëà ðàâíà 1 Í == 1 êã ⋅ ì/c2.  ýòîì ñëó÷àå êîýôôèöèåíò k = 1. ðåçóëüòàòå áóäåì èìåòü:F= m = const .a(3.19)Ìàññó ïðîèçâîëüíîãî òåëà ìîæíî îïðåäåëèòü, ñðàâíèâàÿ óñêîðåíèå à, ñîîáùàåìîå åìó íåêîòîðîé ñèëîé, ñ óñêîðåíèåì à0, ñîîáùàåìûì òîé æå ñèëîéòåëó ñ åäèíè÷íîé ìàññîé m0 = 1 êã:ma= 0;m0am = m0a0.a(3.20)49Ñîîòíîøåíèå (3.19), çàïèñàííîå â âèäåma = F(3.21)⎛d v d 2r ⎞= 2 ⎟, ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì âûðàæåíèåì II çàêîíà Íüþòîíà. Ôè⎜a =dtdt ⎠⎝çè÷åñêèé ñìûñë ýòîãî çàêîíà çàêëþ÷åí â ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèÿõ: 1) íàïðàâëåíèÿ óñêîðåíèÿ òåëà è äåéñòâóþùåé íà ýòî òåëî ñèëû ñîâïàäàþò; 2) óñêîðåíèå ïðîïîðöèîíàëüíî ñèëå; 3) óñêîðåíèå îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî ìàññåòåëà.Ç à ì å ÷ à í è å 1.
Ïðè ôîðìóëèðîâêå II çàêîíà Íüþòîí ââåë ïîíÿòèå «êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ» òåëà êàê ïðîèçâåäåíèÿ ìàññû òåëà íà åãî ñêîðîñòü.  àâòîðñêîé ðåäàêöèè (ïåðåâîä àêàä. À. Í. Êðûëîâà) ýòîò çàêîí çâó÷èò òàê: «Èçìåíåíèå êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíî ïðèëîæåííîé äâèæóùåé ñèëå èïðîèñõîäèò ïî òîé ïðÿìîé, ïî êîòîðîé ýòà ñèëà äåéñòâóåò».  ñîâðåìåííûõîáîçíà÷åíèÿõ ýòî ñîîòâåòñòâóåò óðàâíåíèþd (m v )= F,dt(3.22)dv. Ê ýòîé íüþòîíîâñêîédtôîðìóëèðîâêå ìû åùå âåðíåìñÿ â ðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêå.
 êëàññè÷åñêîé æåìåõàíèêå äëÿ áîëüøåé íàãëÿäíîñòè èçëîæåíèÿ ìû áóäåì îïåðèðîâàòü ñî IIçàêîíîì Íüþòîíà â ôîðìå (3.21).Ç à ì å ÷ à í è å 2. Åñëè ìàññà m è óñêîðåíèå à èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíîïðåîáðàçîâàíèé Ãàëèëåÿ, òî ñèëà F = ma òàêæå èíâàðèàíòíà. Ýòî ñëåäóåò åùå èèç òîãî, ÷òî âñå ñèëû, ðàññìàòðèâàåìûå â ìåõàíèêå, ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìèòîëüêî èíâàðèàíòíûõ âåëè÷èí: ðàçíîñòåé êîîðäèíàò è ðàçíîñòåé ñêîðîñòåéâçàèìîäåéñòâóþùèõ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå (3.21) ñïðàâåäëèâî â ëþáîé ÈÑÎ.
Ýòî ïîëíîñòüþ ñîîòâåòñòâóåò ïðèíöèïó îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ.Ç à ì å ÷ à í è å 3. Åñëè òåëî ñâîáîäíî (íà íåãî íå äåéñòâóþò íèêàêèå ñèëû),òî F = 0, îòêóäà ñëåäóåò a = 0 è v = const. Ñîçäàåòñÿ âïå÷àòëåíèå, ÷òî I çàêîíÍüþòîíà ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì ñëåäñòâèåì II çàêîíà ïðè F = 0. Íà ñàìîì äåëåóðàâíåíèå ma = F èìååò ñìûñë òîëüêî òîãäà, êîãäà óêàçàíà ñèñòåìà îòñ÷åòà(èíåðöèàëüíàÿ ñèñòåìà îòñ÷åòà), â êîòîðîé îíî ñïðàâåäëèâî. Âûäåëèòü ýòó ñèñòåìó ïîçâîëÿåò I çàêîí Íüþòîíà.
Åãî ñóòü êàê ðàç è çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îíïîñòóëèðóåò ñóùåñòâîâàíèå òàêîé ñèñòåìû îòñ÷åòà, â êîòîðîé ñâîáîäíàÿ ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ áåç óñêîðåíèÿ. Èìåííî â èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà äâèæåíèå âñÿêîé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïîä÷èíÿåòñÿ óðàâíåíèþ ma = F.Óðàâíåíèå (3.21) íàçûâàþò óðàâíåíèåì äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. Îíîïîçâîëÿåò ðåøèòü äâå îñíîâíûå çàäà÷è äèíàìèêè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïðÿìóþ è îáðàòíóþ.Ïðÿìàÿ çàäà÷à. Íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êè, åñëè èçâåñòíû åå ìàññà èäåéñòâóþùàÿ íà íåå ñèëà F (èëè ñèëû Fi).
Çíàÿ íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå è íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü òî÷êè, ìîæíî îïðåäåëèòü åå ïîëîæåíèå â ïîñëåäóþùèé ìîìåíòâðåìåíè, à çíàÿ óñêîðåíèå, êðîìå òîãî ìîæíî îïðåäåëèòü è ñêîðîñòü òî÷êè âêîòîðîå ëåãêî ïîëó÷àåòñÿ èç (3.21) ñ ó÷åòîì a =50ýòîò ìîìåíò âðåìåíè. Ýòó ïðîöåäóðó øàã çà øàãîì ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü íàñêîëü óãîäíî äëèòåëüíûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè, ò. å. ïîëíîñòüþ îïðåäåëèòü äâèæåíèå òî÷êè.  ýòîì ïðîÿâëÿåòñÿ äåòåðìèíèçì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ Íüþòîíà(3.21). Ñ îäíîé ñòîðîíû, îíî ïîçâîëÿåò, èñõîäÿ èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé è èçâåñòíûõ çàêîíîâ äåéñòâèÿ ñèë, ïðåäñêàçàòü áóäóùåå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè (èëè, âîáùåì ñëó÷àå, ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, áóäó÷è èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî çàìåíû t → −t, îíî ïîçâîëÿåò òàêæå ïîëíîñòüþ âîññòàíîâèòü åå ïðîøëîå.Îáðàòíàÿ çàäà÷à.
Íàéòè äåéñòâóþùóþ íà òî÷êó ñèëó F, åñëè èçâåñòíû ìàñd 2rñà m è çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êè r(t): F = m 2 . Èìåííî òàêèì îáðàçîì, ïî èçâåñòdtíîìó çàêîíó äâèæåíèÿ ïëàíåòû Óðàí, ôðàíöóçñêèé àñòðîíîì Ó. Ëåâåðüå ñäåëàë âûâîä î íåêîòîðîé äîïîëíèòåëüíîé íåèçâåñòíîé ñèëå, äåéñòâóþùåé íàïëàíåòó. Èñòî÷íèêîì ýòîé ñèëû áûëà ïëàíåòà Íåïòóí, îòêðûòàÿ ïîçäíåå âòî÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäñêàçàíèÿìè Ëåâåðüå.Çàìåòèì, ÷òî ïðè ðåøåíèè êîíêðåòíûõ çàäà÷ âûáèðàþò ïîäõîäÿùóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò è çàïèñûâàþò óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ ïðîåêöèé âõîäÿùèõ â(3.21) âåêòîðíûõ âåëè÷èí. Òàê, â ïðîåêöèÿõ íà îñè äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ïîëó÷àåì òðè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿmx&& = Fx ; my&& = Fy ; mz&& = Fz ,(3.23)ãäå Fx, Fy, Fz ïðîåêöèè âåêòîðà F íà îñè Ox, Oy è Oz.Ïðîåöèðóÿ îáå ÷àñòè (3.21) íà íàïðàâëåíèÿ êàñàòåëüíîé è íîðìàëè ê òðàåêòîðèè è èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå â ëåêöèè 2 âûðàæåíèÿ äëÿ òàíãåíöèàëüíîãîè íîðìàëüíîãî óñêîðåíèé, áóäåì èìåòümL2dL= Fτ ; m= Fn ,dtR(3.24)rrãäå Fτ è Fn ïðîåêöèè âåêòîðà F íà íàïðàâëåíèÿ τ è n.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
