В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 24
Текст из файла (страница 24)
ä. Ïîõîæèå ÿâëåíèÿ íàáëþäàþòñÿ è âêàáèíå ñàìîëåòà ïðè âûïîëíåíèè ëåò÷èêîì êðóòûõ âèðàæåé, â öåíòðèôóãå, íàêàðóñåëÿõ, â âàãîíå ðåçêî çàòîðìîçèâøåãî ïîåçäà è äð.Îïèñàíèå ìåõàíè÷åñêèõ äâèæåíèé â íåèíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåñüìà âàæíóþ è èíòåðåñíóþ çàäà÷ó. Ýòè ñèñòåìû îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü èìååòñÿ íåêîòîðàÿ ëàáîðàòîðíàÿ ÈÑÎ Ê0(ðèñ. 6.3). Óñëîâèìñÿ ñ÷èòàòü åå íåïîäâèæíîé è áóäåì íàçûâàòü àáñîëþòíîé.Òîãäà ëþáàÿ ñèñòåìà îòñ÷åòà Ê, êîòîðàÿ äâèæåòñÿ ïîñòóïàòåëüíî ñ óñêîðåíèåì a îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû Ê0 è(èëè) âðàùàåòñÿ îòíîñèòåëüíî íåå ñ óãëîâîéàáÐèñ. 6.1Ðèñ. 6.2111Ðèñ.
6.3Ðèñ. 6.4rñêîðîñòüþ ω, íàçûâàåòñÿ íåèíåðöèàëüíîé.  îáùåì ñëó÷àå íåèíåðöèàëüíàÿ ñèñòåìà îòñ÷åòà Ê ìîæåò äâèãàòüñÿ ñ ïåðåìåííûì óñêîðåíèåì è âðàùàòüñÿ íåðàâíîìåðíî. ñâÿçè ñ ââåäåíèåì ÍÈÑÎ â ïðèíöèïå ìîæåò âîçíèêíóòü ðÿä ïðîáëåì.Åñëè ñâÿçàòü îñè êîîðäèíàò ñ êàêèì-ëèáî âðàùàþùèìñÿ òåëîì îòñ÷åòà, òîëåãêî îáíàðóæèòü, ÷òî ñêîðîñòè òåë, íàõîäÿùèõñÿ íà äîñòàòî÷íî áîëüøîìóäàëåíèè îò íà÷àëà êîîðäèíàò, ìîãóò äîñòèãàòü íåîáû÷íî áîëüøèõ çíà÷åíèé. ñàìîì äåëå, åñëè âçÿòü äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò, ñâÿçàííóþ ñ Çåìëåé, èìûñëåííî ïðîäîëæèòü åå îñè õîòÿ áû äî áëèæàéøèõ çâåçä, òî òóò æå îáíàðóæèòñÿ, ÷òî âèäèìàÿ ñêîðîñòü âñåõ çâåçä ìíîãî áîëüøå ñêîðîñòè ñâåòà ñ.
Íàïðèìåð, ñêîðîñòü îäíîé èç ñàìûõ ÿðêèõ è áëèçêèõ ê Çåìëå çâåçäû Âåãà â ñîçâåçäèèËèðû (ðàññòîÿíèå r = 2,5 ⋅ 1017 ì) îêàæåòñÿ ðàâíîéL = ω0r = 7,3 ⋅ 10−5 ⋅ 2,5 ⋅ 1017 ≈ 1,82 ⋅ 1013 ì/ñ,(6.1)ãäå ω0 = 7,3 ⋅ 10−5 ñ−1 óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ Çåìëè.Ýòî çíà÷åíèå áîëåå ÷åì â 60 000 ðàç ïðåâûøàåò ñêîðîñòü ñâåòà! Íà ñàìîìäåëå ÿñíî, ÷òî çâåçäû, êîòîðûå íàõîäÿòñÿ íà ÷óäîâèùíî áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõîò Çåìëè, «ñòîÿò» íà ìåñòå, à íàáëþäàòåëþ íà âðàùàþùåéñÿ Çåìëå ëèøü êàæåòñÿ, ÷òî îíè äâèæóòñÿ ñî ñâåðõñâåòîâîé ñêîðîñòüþ. Îãðîìíûå ñêîðîñòè,âîçíèêàþùèå ïðè ôîðìàëüíîì ïðîäîëæåíèè îñåé êîîðäèíàò äî âåñüìà óäàëåííûõ îáúåêòîâ, ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê ÷èñòî ãåîìåòðè÷åñêèå. Äðóãèìïðèìåðîì òàêîé ñêîðîñòè ìîæåò ñëóæèòü ñêîðîñòü òî÷êè À, íàõîäÿùåéñÿ íàïåðåñå÷åíèè äâóõ ëèíååê, âðàùàþùèõñÿ îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î (ðèñ.
6.4). Ñ òàêèìè ñêîðîñòÿìè íåëüçÿ ïåðåäàâàòü êàêèå-ëèáî ñèãíàëû, îñóùåñòâëÿòü îáìåíýíåðãèåé èëè èìïóëüñîì. òîì ñëó÷àå, åñëè îñè êîîðäèíàò ÍÈÑÎ ñâÿçàíû ñ äîñòàòî÷íî ïðîòÿæåííûìè è áûñòðî âðàùàþùèìèñÿ òåëàìè, êîãäà ωl X c (l õàðàêòåðíûé ðàçìåðòåëà), âîçíèêàåò åùå îäíà ïðîáëåìà. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî â òàêîé ÍÈÑÎ íåò åäèíîãî âðåìåíè: òåìï õîäà âñåõ ÷àñîâ ðàçëè÷åí, è ïîýòîìó èõ íåâîçìîæíî ñèíõðîíèçîâàòü.
Êðîìå òîãî, äëèíû îäíèõ è òåõ æå îòðåçêîâ, îðèåíòèðîâàííûõ âðàäèàëüíîì è òðàíñâåðñàëüíîì íàïðàâëåíèÿõ, îêàçûâàþòñÿ ðàçëè÷íûìè, îòíîøåíèå äëèíû îêðóæíîñòè ê äèàìåòðó íå ðàâíî π, ãåîìåòðèÿ ñòàíîâèòñÿíååâêëèäîâîé. Ñëåäóåò, îäíàêî, îòìåòèòü, ÷òî â ïîäàâëÿþùåì áîëüøèíñòâåïðàêòè÷åñêè âàæíûõ ñëó÷àåâ îòìå÷åííûå âûøå ïðîáëåìû íå âîçíèêàþò, ïîñêîëüêó ðàçìåðû êàê ñàìèõ òåë îòñ÷åòà, òàê è òåõ îáëàñòåé ïðîñòðàíñòâà, âêîòîðûõ ïðîèñõîäÿò ðàññìàòðèâàåìûå â ÍÈÑÎ ÿâëåíèÿ, êîíå÷íû è íåâåëèêè.112 äàëüíåéøåì áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âñå îòðåçêè â àáñîëþòíîé è äâèæóùåéñÿñèñòåìàõ îòñ÷åòà èìåþò îäíó è òó æå äëèíó è ÷òî âðåìÿ â îáåèõ ýòèõ ñèñòåìàõòå÷åò îäèíàêîâî.Ñâÿçü ñêîðîñòåé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â íåïîäâèæíîé è äâèæóùåéñÿ ñèñòåìàõîòñ÷åòà. Îòíîñèòåëüíîå, ïåðåíîñíîå è àáñîëþòíîå äâèæåíèå.
Ðàññìîòðèì äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè Ì îòíîñèòåëüíî êàê èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà Ê0, òàê è äâèæóùåéñÿ îòíîñèòåëüíî íåå ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì íåèíåðöèàëüíîé ñèñòåìû Ê (ðèñ. 6.5). Ïóñòü òî÷êà Ì äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû Êïî òðàåêòîðèè À ′À ″ è â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè t íàõîäèòñÿ â òî÷êå À. Äëÿíàãëÿäíîñòè òðàåêòîðèÿ À ′À ″ èçîáðàæåíà íà ïîâåðõíîñòè òåëà îòñ÷åòà, ñ êîòîðûì æåñòêî ñâÿçàíà ñèñòåìà êîîðäèíàò x y z. Çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êè Ì â ñèñòåìåÊ0 îïðåäåëÿåòñÿ â âèäå R = R(t), à â ñèñòåìå Ê èìååò âèä r = r(t). Ïîëîæåíèåíà÷àëà îòñ÷åòà ñèñòåìû Ê, òî÷êè Î, îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû Ê0 çàäàåòñÿ ðàäèóñîì-âåêòîðîì R0(t).  èòîãå ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå ìåæäóâåêòîðàìè R, R0 è r:R(t) = R0(t ) + r(t ).(6.2)Ñâÿçü ìåæäó ñêîðîñòÿìè òî÷êè Ì â ñèñòåìàõ K0 è K ìîæíî ïîëó÷èòü íåïîñðåäñòâåííûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïî âðåìåíè ñîîòíîøåíèÿ (6.2).
Ýòî áóäåòñäåëàíî íèæå. Íî ïðåæäå, äëÿ áîëüøåé íàãëÿäíîñòè, ìû ïîëó÷èì ýòó ñâÿçü èçïðîñòûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ÷àñòíûé ñëó÷àé,êîãäà òî÷êà Ì äâèæåòñÿ â ïëîñêîñòè Oxy ñèñòåìû K, à ñàìà ñèñòåìà K âðàùàråòñÿ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω âîêðóã îñè Îz (ðèñ. 6.6; òåëî îòñ÷åòà, ñ êîòîðûìñâÿçàíà ñèñòåìà xyz, èçîáðàæåíî â âèäå äèñêà).Òåïåðü îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè Ì ïî îòíîøåíèþ ê ñèñòåìå Ê0 (îíî íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíûì) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåñóïåðïîçèöèè äâóõ äâèæåíèé. Ñ îäíîé ñòîðîíû, ýòî äâèæåíèå ïî òðàåêòîðèèÀ ′À ″ ïî îòíîøåíèþ ê ñèñòåìå Ê (îíî íàçûâàåòñÿ îòíîñèòåëüíûì).
Ñ äðóãîéñòîðîíû, ýòî äâèæåíèå âìåñòå ñ òåëîì îòñ÷åòà ñèñòåìû Ê ïî îòíîøåíèþ ê Ê0(îíî íàçûâàåòñÿ ïåðåíîñíûì è äëÿ ðàçíûõ òî÷åê òåëà îòñ÷åòà ðàçëè÷íî). Ïåðåíîñíîå äâèæåíèå, â ñâîþ î÷åðåäü, ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóïåðïîçèöèèïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ, ïðè êîòîðîì âñå òî÷êè òåëà îòñ÷åòà ñèñòåìû Käâèæóòñÿ êàê íåêîòîðàÿ ïðîèçâîëüíàÿ âûáðàííàÿ òî÷êà (â äàííîì ñëó÷àå Ðèñ. 6.5Ðèñ.6.6113íà÷àëî îòñ÷åòà ñèñòåìû Ê, òî÷êà Î), è âðàùàòåëüíîãîâîêðóã îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ýòó òî÷êó (â äàííîìñëó÷àå âîêðóã îñè Îz) (ñì. ëåêöèþ 11).Âåêòîðû ñêîðîñòåé âñåõ óïîìÿíóòûõ âûøå äâèæåíèé â ýòîì ÷àñòíîì ñëó÷àå èçîáðàæåíû íà ðèñ.
6.6:vàáñ ñêîðîñòü àáñîëþòíîãî äâèæåíèÿ òî÷êè Ì â ñèñòåìå Ê0; vîòí ñêîðîñòü åå îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ ïî òðàåêòîðèè À′À″ â ñèñòåìå Ê; v0 ñêîðîñòüòîé ÷àñòè ïåðåíîñíîãî äâèæåíèÿ, êîòîðîå ñâÿçàíî ñrïîñòóïàòåëüíûì äâèæåíèåì ñèñòåìû Ê; vA = ω × r Ðèñ. 6.7ñêîðîñòü äðóãîé ÷àñòè ïåðåíîñíîãî äâèæåíèÿ, ñâÿrçàííîãî ñ âðàùåíèåì ñèñòåìû Ê ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω. Âåêòîð vA íàïðàâëåíïî êàñàòåëüíîé ê îêðóæíîñòè, ïëîñêîñòü êîòîðîé îðèåíòèðîâàíà ïåðïåíäèêórëÿðíî âåêòîðó ω, â äàííîì ñëó÷àå ïî êàñàòåëüíîé ê îêðóæíîñòè, ëåæàùåé âïëîñêîñòè Oxy (íà ðèñ. 6.6 ýòà îêðóæíîñòü èçîáðàæåíà øòðèõîâîé ëèíèåé).Âûðàæåíèå äëÿ vA ëåãêî ïîëó÷èòü, îáðàòèâøèñü ê ðèñ. 6.7.
Çà âðåìÿ dtòî÷êà À ïåðåìåùàåòñÿîòíîñèòåëüíî Ê0 âñëåäñòâèå âðàùåíèÿ ñèñòåìû Ê íàuurrâåëè÷èíó drA = dϕ × r, îòêóäà ïîñëå äåëåíèÿ íà dt ïîëó÷àåì, ÷òî vA = ω × r.Ïðè ýòîì ñàìà òî÷êà Ì ñìåùàåòñÿ âäîëü òðàåêòîðèè íà âåëè÷èíó drîòí = vîòídt.Åñëè ââåñòè dr = drîòí + drA, òî, î÷åâèäíî, ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå:rdr drîòí drA=+= v îòí + ω × r .dtdtdt(6.3)Ïîëíîå èçìåíåíèå ðàäèóñà-âåêòîðà R òî÷êè Ì, «âèäèìîå» èç ñèñòåìû Ê0,ñîñòàâëÿåò dR = dr + dR0 = drîòí + drA + dR0, ãäå dR0 ñìåùåíèå íà÷àëà êîîðäèíàò ñèñòåìû xyz, òî÷êè Î, èç-çà ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ñèñòåìû Ê. Ïðèýòîì íàáëþäàòåëü â ñèñòåìå Ê «âèäèò» òîëüêî èçìåíåíèå drîòí, ñâÿçàííîå ñäâèæåíèåì òî÷êè Ì ïî òðàåêòîðèè À ′À ″.Ó÷èòûâàÿ ñêàçàííîå âûøå î ñóïåðïîçèöèè îòíîñèòåëüíîãî è ïåðåíîñíîãîäâèæåíèé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè Ì, ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå:v àáñ =rdR= v îòí + v 0 + ω × r.dt(6.4)Ïîñëåäíèå äâà ñëàãàåìûõ â (6.4) ñîñòàâëÿþò ïåðåíîñíóþ ñêîðîñòü ìàòåðèàëüíîé òî÷êè Ì:rvïåð = v0 + ω × r.(6.5)Òàêèì îáðàçîì, îêîí÷àòåëüíî ìîæíî çàïèñàòüvàáñ = vîòí + vïåð.(6.6)Èñõîäÿ èç èçëîæåííîãî âûøå, ìîæíî äàòü ñëåäóþùèå îïðåäåëåíèÿ:1.
Äâèæåíèå è ñâÿçàííûå ñ íèì ñêîðîñòü è óñêîðåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êèÌ îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû Ê íàçûâàþòñÿ îòíîñèòåëüíûìè.2. Äâèæåíèå è ñâÿçàííûå ñ íèì ñêîðîñòü è óñêîðåíèå îòíîñèòåëüíî ñèñòåìûÊ0 òàêîé íåïîäâèæíîé â ñèñòåìå Ê òî÷êè À, â êîòîðîé â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè íàõîäèòñÿ ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà Ì, íàçûâàþòñÿ ïåðåíîñíûìè.1143. Äâèæåíèå è ñâÿçàííûå ñ íèì ñêîðîñòü è óñêîðåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êèÌ îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû Ê0 íàçûâàþòñÿ àáñîëþòíûìè.Òåïåðü ïîëó÷èì ñâÿçü ìåæäó ñêîðîñòÿìè òî÷êè Ì â ñèñòåìàõ K0 è K ïóòåìíåïîñðåäñòâåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòåé ñîîòíîøåíèÿ(6.2).  ðåçóëüòàòå áóäåì èìåòüdR dR 0 dr=+.dtdtdtßñíî, ÷òî(6.7)dRdR 0= v àáñ ;= v0 .dtdtdrìîæíî ïîëó÷èòü, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ðàçëîæåíèåìdtâåêòîðà r(t) ïî îñÿì êîîðäèíàò ñèñòåìû Ê.
Åñëè i, j, k îðòû ñèñòåìû K, òîýòî ðàçëîæåíèå èìååò âèäÂûðàæåíèå äëÿr(t ) = rx(t )i + ry(t )j + rz(t )k.(6.8)Ïîñêîëüêó è òî÷êà Ì, è ñèñòåìà Ê äâèæóòñÿ, òî îò âðåìåíè çàâèñÿò íåòîëüêî ïðîåêöèè rx(t ), ry(t ), rz(t ), íî è îðòû i(t), j(t), k(t), êîòîðûå ìîãóòèçìåíÿòü ñâîå íàïðàâëåíèå â ïðîñòðàíñòâå. Ïîýòîìó, ñîãëàñíî ïðàâèëàì äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, ïîëó÷èìdr ydr ⎞ ⎛ d idjd r ⎛ dr xdk ⎞=⎜+ ry+ rzi+j + z k ⎟ + ⎜ rx.(6.9)dt ⎝ dtdtdt ⎠ ⎝ dtdtdt ⎟⎠Ïåðâûå òðè ÷ëåíà â ïðàâîé ÷àñòè (6.9), çàêëþ÷åííûå â ñêîáêè, åñòåñòâåííî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ïðîèçâîäíóþ âåêòîðà r îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû Ê,drîòí= v îòí [ñì.
(6.3)], ïîñêîëüêó äèôôåðåíöèðóþòñÿ òîëüêî ïðîåêò. å. êàêdtöèè âåêòîðà r íà îñè ýòîé ñèñòåìû, à îðòû i, j, k ñ÷èòàþòñÿ ïîñòîÿííûìè.Íàêîíåö, ïîêàæåì, ÷òî ñóììà ïîñëåäíèõ òðåõ ñëàãàåìûõ â ñêîáêàõ ðàâíà âåêròîðíîìóïðîèçâåäåíèþ ω × r.  ñàìîì äåëå, ïðè ïîâîðîòå ñèñòåìû xyz íà óãîëuurdϕ îðòû i, j, k ýòîé ñèñòåìû ïîëó÷àþò ïðèðàùåíèÿ di, dj, dk. Äëÿ èçìåíåíèÿ, íàïðèìåð, âåêòîðà i çà âðåìÿ dt áóäåì èìåòü(ðèñ. 6.8)uurdi = dϕ × i.(6.10)Åñëè ïîäåëèòü îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (6.10) íàdt, òî ïîëó÷èìdi r= ω × i.dt(6.11)Äâà äðóãèõ îðòà j è k èçìåíÿþòñÿ àíàëîãè÷íî.Òàêèì îáðàçîì, èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà, íàçûâàåìûå ôîðìóëàìè Ïóàññîíà:dj rdi rdk r= ω × i;= ω × j;= ω × k.dtdtdt(6.12)Ðèñ.
6.8115Åñëè â ïîñëåäíèå òðè ÷ëåíà ïðàâîé ÷àñòè (6.9) ïîäñòàâèòü çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ (6.12) è ó÷åñòü ðàçëîæåíèå (6.8), òî ïîëó÷èì âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèårω × r. Îêîí÷àòåëüíî ìîæíî çàïèñàòü:rdr= v îòí + ω × r,dt(6.13)÷òî ñîâïàäàåò ñ (6.3). Òàêèì îáðàçîì, èç (6.7) ñëåäóåò (6.4).Çàìåòèì, ÷òî ñîîòíîøåíèå, àíàëîãè÷íîå (6.13), ìîæíî çàïèñàòü äëÿ ïðîèçâîäíûõ ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà b â ñèñòåìàõ K è K0:dbdtdbÇäåñü dtK0=dbdtKr+ ω × b.(6.14)db ïðîèçâîäíàÿ âåêòîðà b â íåïîäâèæíîé ñèñòåìå Ê0; dt åãîKrïðîèçâîäíàÿ â äâèæóùåéñÿ ñèñòåìå Ê; ω óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ñèñòåìû Ê.Ïðîñòîé ïðèìåð, èëëþñòðèðóþùèé ôîðìóëó ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé (6.6), rîïûò ñ äèñêîì, âðàùàþùèìñÿ ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω âîêðóã îñè,ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð äèñêà (òî÷êó Î ) è ïåðïåíäèêóëÿðíîé åãî ïëîñêîñòè(ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
