В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Åñëè çâåçäà ðàñïîëîæåíà ïîä óãëîì θ ê îñè Ox ñèñòåìû îòñ÷åòà K , òî â äðóãîé ñèñòåìå îòñ÷åòà K ′, äâèæóùåéñÿ âäîëü ýòîé îñè ñîñêîðîñòüþ V, óãîë áóäåò äðóãèì (ðèñ 9.3). Ïðîåêöèè âåêòîðà ñêîðîñòè ñâåòîâîé âîëíû â ñèñòåìå K (ðèñ 9.3, à) ðàâíûvx = −c cos θ,vy = −c sin θ.(9.16) ñèñòåìå K ′, â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëàìè ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîåêöèé ñêîðîñòè, èìååìvx′ =vy′ =Ïîïóòíî îòìåòèì, ÷òî−c cos θ − V;V cos θ1+c221 −V cc sin θ.V cos θ1+cvx′ 2 + vy′ 2 = v′ = c. Òàê êàê, ñîãëàñíî ðèñ. 9.3, áv x′ = −c cos θ′,v y′ = −c sin θ′,Ðèñ. 9.3166(9.17)(9.18)òî äëÿ èñêîìîãî óãëà θ′ ìîæåì çàïèñàòütg θ′ =vy′=vx′sin θ.Vγ+ cos θc()(9.19)Ïðè óëüòðàðåëÿòèâèñòñêèõ ñêîðîñòÿõ, êîãäà γ → ∞, âíå çàâèñèìîñòè îòïîëîæåíèÿ çâåçäû, îíà áóäåò êàçàòüñÿ ðàñïîëîæåííîé ïîä î÷åíü ìàëûì óãëîìê íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ ñèñòåìû îòñ÷åòà K ′.Åñëè ââåñòè óãîë δ′ = π /2 − θ′, êîòîðûé èñïîëüçóåòñÿ â àñòðîíîìèè äëÿõàðàêòåðèñòèêè àáåððàöèé ñâåòà çâåçä, òî èç (9.19) äëÿ çâåçäû, íàõîäÿùåéñÿ âçåíèòå (θ = π /2), ïîëó÷èì ôîðìóëósin δ′ = V/c,(9.20)êîòîðàÿ ïðè ðåëÿòèâèñòñêèõ ñêîðîñòÿõ ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò êëàññè÷åñêîé ôîðìóëûtg δ′ = V/c.(9.21)Îòìåòèì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìîå ÿâëåíèå ñâÿçàíî ñ èçìåíåíèåì íàïðàâëåíèÿïðèõîäà ñâåòîâîé âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ îò äàëåêîé çâåçäû.
Ðàññìîòðèì, êàê îðèåíòèðîâàí ôðîíò âîëíû â ðàçëè÷íûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà. Ïóñòü äëÿïðîñòîòû â ñèñòåìå îòñ÷åòà K çâåçäà íàõîäèòñÿ â çåíèòå (θ = π /2). Òîãäà ïëîñêèé ôðîíò a1a2 äîñòèãàåò òî÷åê O è P íà îñè Ox îäíîâðåìåííî (ðèñ. 9.4, à).Íàáëþäàòåëü ôèêñèðóåò (âèçóàëüíî èëè ñ ïîìîùüþ îïòè÷åñêîãî ïðèáîðà)ïîëîæåíèå çâåçäû ïî íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ âîëíû, ïåðïåíäèêóëÿðíîìó ê ååôðîíòó.  ñèñòåìå îòñ÷åòà K ′ (ðèñ. 9.4, á ) ñâåò â òî÷êó O ′ ïðèäåò ïîçæå, ÷åì âòî÷êó P ′. Åñëè äëèíà îòðåçêà OP = L, òî, â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé ïðåîáðàçîâàíèÿ âðåìåíè (7.37), ýòî çàïàçäûâàíèå áóäåò ðàâíîΔt ′ = γVL.c2(9.22)Íàáëþäàòåëü â ñèñòåìå îòñ÷åòà K ′ îáíàðóæèò, ÷òî íîðìàëü ê ôðîíòó âîëíûíàêëîíåíà ïîä óãëîì δ′ ê îñè Oy ′.
Çà âðåìÿ Δt ′ ñâåò ïðîéäåò ðàññòîÿíèå M ′O ′ =Ðèñ. 9.4167= cΔt ′. Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êîé O ′ è òî÷êîé P ′ â ñèñòåìå K ′, ñîãëàñíî ïðåîáðàçîâàíèÿì Ëîðåíöà äëÿ êîîðäèíàò, ðàâíî L′ = γL. Îòñþäàsin δ′ =O ′M ′ c Δt ′ V== ,O ′P ′L′c(9.23)÷òî ñîâïàäàåò ñ (9.20).Ïðåîáðàçîâàíèÿ óñêîðåíèé.  ñëó÷àå ïðåîáðàçîâàíèé Ãàëèëåÿ ïðè ïåðåõîäåîò îäíîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà ê äðóãîé óñêîðåíèå ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíîé âåëè÷èíîé. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè äâèæåíèè ñ ðåëÿòèâèñòñêîé ñêîðîñòüþïðîåêöèè óñêîðåíèÿ ax, ay, az, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìåÊ êàêax =dv x;dtay =dv y;dtaz =dv z,dt(9.24)íå ìîãóò îñòàâàòüñÿ ïîñòîÿííûìè âåëè÷èíàìè â ðàçëè÷íûõ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà, ïîñêîëüêó íè äèôôåðåíöèàëû ïðîåêöèé ñêîðîñòè, íè äèôôåðåíöèàë âðåìåíè dt íå ÿâëÿþòñÿ èíâàðèàíòàìè ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà.Áóäåì èñïîëüçîâàòü äâå èíåðöèàëüíûå ñèñòåìû îòñ÷åòà Ê è K ′, êîòîðûåðàññìàòðèâàëèñü âûøå ïðè âûâîäå ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà.
Ïî îïðåäåëåíèþ,êîìïîíåíòû óñêîðåíèÿ â ñèñòåìå K ′ ðàâíûax′ =d v x′;dt ′ay′ =d v y′d v z′; az′ =,dt ′dt ′(9.25)à â ñèñòåìå K îíè îïðåäåëåíû âûøå ñîîòíîøåíèÿìè (9.24). Äëÿ ïîëó÷åíèÿôîðìóë, êîòîðûå ñâÿçûâàþò ïðîåêöèè óñêîðåíèÿ ax, ay, az â ñèñòåìå Ê è ïðîåêöèè a′x, a′y, a′z â ñèñòåìå Ê ′, íàéäåì äèôôåðåíöèàëû ëåâûõ è ïðàâûõ ÷àñòåéðàâåíñòâ (9.8) (îáðàòíûõ ïðåîáðàçîâàíèé äëÿ ïðîåêöèé ñêîðîñòè) è ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà äëÿ âðåìåíèdv x =(V c 2 ) (v x′ + V ) dv x′d v x′d v x′;−=2221 + v x′V cγ 2 (1 + v x′V c 2 )(1 + v x′V c 2 )dv y =v y′ V c 2d v y′11−dv ′ ;γ 1 + v x′V c 2 γ (1 + v ′V c 2 )2 xxdv z =v z′ V cd v z′11−dv ′ ;γ 1 + v x′V c 2 γ (1 + v ′V c 2 )2 xx(9.26)2dt = γ (dt ′ + Vdx ′ c 2 ) = γdt ′ (1 + v x′V c 2 ) .Åñëè ïîäåëèòü ëåâûå è ïðàâûå ÷àñòè ïåðâûõ òðåõ ðàâåíñòâ (9.26) ñîîòâåòñòâåííî íà ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè ïîñëåäíåãî, òî ïîëó÷èì ñëåäóþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîåêöèé óñêîðåíèÿ:168ax =ax′1;γ 3 (1 + v ′V c 2 )3xay =2ay′11 v y′ (V c ) ax′;−γ 2 (1 + v ′V c 2 )2 γ 2 (1 + v ′V c 2 )3xxaz =2az′11 v z′ (V c ) ax′.−γ 2 (1 + v ′V c 2 )2 γ 2 (1 + v ′V c 2 )3xx(9.27)Íåèíâàðèàíòíîñòü óñêîðåíèÿ ëåãêî ïðîèëëþñòðèðîâàòü ñ ïîìîùüþ (9.27)íà ïðîñòîì ïðèìåðå.
Åñëè ÷àñòèöà â ñèñòåìå Ê ′ äâèæåòñÿ â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì îñè Î ′x ′ ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî (v ′y ≠ 0, v ′z ≠ 0, a′y = 0,a′z = 0), à âäîëü îñè Î ′x ′ ñ óñêîðåíèåì à′õ, òî â ñèñòåìå Ê îíà îáëàäàåòîòëè÷íûìè îò íóëÿ óñêîðåíèÿìè ay è az.Ñîïóòñòâóþùàÿ ñèñòåìà îòñ÷åòà. Ââåäåì âàæíîå ïîíÿòèå ñîïóòñòâóþùåéèíåðöèàëüíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà Êc′, äâèæóùåéñÿ âäîëü îñè Îx ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìû Ê. Åå ñêîðîñòü V îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì îáðàùåíèÿ â íóëü ïðîåêöèèñêîðîñòè v ′x (v ′x = 0).  ñëó÷àå óñêîðåííîãî äâèæåíèÿ ÷àñòèöû âäîëü îñè Ox ñêîðîñòü V ñîîòâåòñòâóþùåé ñîïóòñòâóþùåé ñèñòåìû Êc′ â ðàçíûå ìîìåíòû âðåìåíè äîëæíà áûòü ðàçíîé:V = vx ,(9.28)òàê êàê ñêîðîñòü vx ïåðåìåííà.
Îñîáî ïîä÷åðêíåì, ÷òî ñèñòåìà Êc′ ÿâëÿåòñÿèíåðöèàëüíîé ñèñòåìîé îòñ÷åòà è äîëæíà äâèãàòüñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþV = const. Âûïîëíåíèå óñëîâèÿ (9.28) âîçìîæíî òîëüêî äëÿ íàáîðà ñèñòåì îòñ÷åòà Êc′, äâèæóùèõñÿ ñ ðàçíûìè ñêîðîñòÿìè, è â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè tíåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü îäíó èç ñèñòåì, äëÿ êîòîðîé â ýòîò ìîìåíò V = vx.Ñ ó÷åòîì v ′x = 0 ïðîåêöèè óñêîðåíèÿ â ñèñòåìå K è ñèñòåìå Êc′, äâèæóùåéñÿâ äàííûé ìîìåíò âðåìåíè ñî ñêîðîñòüþ V, ñâÿçàíû áîëåå ïðîñòûìè ñîîòíîøåíèÿìè:ax = à′õ / γ3,ay = a′y / γ2 − v ′y (V/c2)(à′õ / γ2),(9.29)az = a′z / γ2 − v ′z (V/c2)(à′õ / γ2).Íàïîìíèì, ÷òî â ôîðìóëàõ (9.29) ñêîðîñòü V ñèñòåìû îòñ÷åòà Êc′ îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ (9.28).Åñëè â ñîïóòñòâóþùåé ñèñòåìå Êc′ ñêîðîñòü è óñêîðåíèå ÷àñòèöû íàïðàâëåíû âäîëü îñè Î ′x ′ (v ′y = v ′z = 0, a′y = a′z = 0), òî â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå îòëè÷íà îòíóëÿ ëèøü ïðîåêöèÿ ax:ax = à′õ / γ3.(9.30) êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì äâèæåíèå ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû â ïîñòîÿííîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå E, íàïðàâëåííîì âäîëü îñè Ox.
Ïîä äåéñòâèåì ýòîãî ïîëÿ ñêîðîñòü ÷àñòèöû â ñèñòåìå K âîçðàñòàåò, îäíàêî äâèæåíèå íå áóäåòðàâíîóñêîðåííûì. Äåéñòâèòåëüíî, â ñîïóòñòâóþùåé ñèñòåìå îòñ÷åòà ñèëà,169äåéñòâóþùàÿ íà ÷àñòèöó ñ çàðÿäîì q, ðàâíà f = qE, òàê êàê íàïðÿæåííîñòü ïîëÿâäîëü îñè Ox îäèíàêîâà âî âñåõ ÈÑÎ.  ýòîé ñèñòåìå (v ′x = 0) äëÿ îïðåäåëåíèÿóñêîðåíèÿ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ êëàññè÷åñêèì óðàâíåíèåì äâèæåíèÿ:ax′ = a0 =qE= const .m(9.31)Âîçâðàùàÿñü ê ôîðìóëå (9.30), îòìå÷àåì, ÷òî ñ ðîñòîì γ óñêîðåíèå ax → 0,õîòÿ ñèëà f = const.
Èç (9.30) ïðè ó÷åòå (9.31) ëåãêî ïîëó÷àåòñÿ çàâèñèìîñòü îòâðåìåíè ñêîðîñòè vx è çàêîí äâèæåíèÿ x(t ) ÷àñòèöû. Äåéñòâèòåëüíî, ïåðåïèøåì (9.30) â âèäå⎡ ⎛ v ⎞2 ⎤dv x= a0 ⎢1 − ⎜ x ⎟ ⎥ax =dt⎣ ⎝ c ⎠ ⎦32(9.32),ãäå ó÷òåíî ðàâåíñòâî (9.28). Ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå vx è t, ïîëó÷èìdv x⎡1 − (v x c )2 ⎤⎣⎦(9.33)= a0 dt .32Åñëè ïðèíÿòü, ÷òî â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 ñêîðîñòü vx = 0, òî èíòåãðèðîâàíèå (9.33) ïðèâåäåò ê ñîîòíîøåíèþ:vx(9.34)= a0t .21 − (v x c )Âûðàæàÿ îòñþäà vx, ïîëó÷èì çàêîí âîçðàñòàíèÿ ñêîðîñòè vx :vx =a0 t21 + (a0 t c )=c t t021 + (t t0 ),(9.35)ãäå t0 = c /a0 õàðàêòåðíûé ìàñøòàá âðåìåíè.Ïîñëå ïîäñòàíîâêè (9.35) â (9.32) áóäåì èìåòüax = a01⎡1 + (t t0 )2 ⎤⎣⎦32.(9.36)Çàâèñèìîñòè (9.35) è (9.36) èçîáðàæåíû íà ðèñ.
9.5. Âèäíî, ÷òî óñêîðåíèå÷àñòèöû ìîíîòîííî óìåíüøàåòñÿ, à åå ñêîðîñòü àñèìïòîòè÷åñêè ñòðåìèòñÿ êñâîåìó ïðåäåëüíîìó çíà÷åíèþ, ðàâíîìó c. Îòìåòèì, ÷òî â ìåõàíèêå Íüþòîíàax = a0, ÷àñòèöà íåîãðàíè÷åííî óâåëè÷èâàëà áû ñâîþ ñêîðîñòü è óæå çà âðåìÿ t0äîñòèãëà áû ñêîðîñòè ñâåòà. Ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò âðåìÿ tβ, çàêîòîðîå ÷àñòèöà ðàçãîíÿåòñÿ äî çàäàííîé îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè β = vx / c.
Èç(9.35) îíî ïîëó÷àåòñÿ ðàâíûìtβ = β γ t0.(9.37)Ïîñêîëüêó β ≈ 1, òî âðåìÿ tβ â γ ðàç ïðåâûøàåò õàðàêòåðíîå âðåìÿ t0. Íàïðèìåð, â ìåæäóíàðîäíîì ïðîåêòå TESLA ïðåäóñìàòðèâàåòñÿ óñêîðåíèåýëåêòðîíîâ äî ñêîðîñòè, ïðè êîòîðîé åå ëîðåíöåâñêèé ôàêòîð ðàâåí γ = 106ïðè a0 = 3 ⋅ 1018 ì/ñ2. Ïîñêîëüêó äëÿ òàêèõ óñëîâèé t0 ≈ 10−10 ñ, òî tβ ≈ 10−4 ñ.170Ðèñ. 9.5Èíòåãðèðóÿ (9.35), ïîëó÷èì çàêîí äâèæåíèÿttx = ∫ v x dt = ∫00c (t t0 ) dt21 + (t t0 )= ct0( 1 + (t t ) − 1),02(9.38)ãäå ó÷òåíî, ÷òî x = 0 ïðè t = 0. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ïðè t = t0x (t ) ≈ct 2 a0 t 2=,2t02(9.39)÷òî ñîâïàäàåò ñ êëàññè÷åñêèì çàêîíîì ðàâíîóñêîðåííîãî äâèæåíèÿ.
Îäíàêîïðè t ? t0 êîîðäèíàòà x íàðàñòàåò ñî âðåìåíåì ïðèìåðíî ëèíåéíî. Àñèìïòîòîéçàêîíà äâèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ (ðèñ. 9.6), óðàâíåíèå êîòîðîé èìååò âèäx = c (t − t0).(9.40)Çà âðåìÿ tβ, êàê ñëåäóåò èç (9.37) è (9.38), ÷àñòèöà ïðîëåòàåò ðàññòîÿíèåxβ = ct0 (γ − 1).(9.41) ÷àñòíîñòè, çà âðåìÿ t ≈ 10 −4 ñ äëÿ äîñòèæåíèÿ γ = 106 ýëåêòðîí ïðîëåòèòðàññòîÿíèå xβ ≈ 30 êì. Åñòåñòâåííî, ÷òî ñòðîèòåëüñòâî ëèíåéíîãî óñêîðèòåëÿòàêîé äëèíû òðåáóåò îãðîìíûõ çàòðàò,ïîýòîìó ïðîåêò TESLA ÿâëÿåòñÿ ìåæäóíàðîäíûì.Îïðåäåëèì çàâèñèìîñòü ñîáñòâåííîãî âðåìåíè τ (îïðåäåëåííîãî ïî ÷àñàì,ñâÿçàííûì ñ ÷àñòèöåé) îò âðåìåíè t,ïðîøåäøåãî â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìåîòñ÷åòà.
Ñ ó÷åòîì (9.35) ýòà çàâèñèìîñòüïîëó÷àåòñÿ â âèäåτ=t∫01 − β2 dt =t∫0dt21 − (t t0 )= t0 arcsh (t t0 ) .=(9.42)Ðèñ. 9.6171Ïðè áîëüøèõ âðåìåíàõ äâèæåíèÿ t ? t0τ ≈ t0 ln (2 t t0 ) .(9.43)Çäåñü èñïîëüçîâàíî èçâåñòíîå ïðåäñòàâëåíèå îáðàòíîé ôóíêöèè ãèïåðáîëè÷åñêîãî ñèíóñà()arcsh (ξ ) = ln ξ + 1 + ξ2 .Äëÿ ýëåêòðîíîâ â ðàññìîòðåííîì âûøå ïðîöåññå èõ óñêîðåíèÿ ïðèt ≈ 10−4 ñ âåëè÷èíà τ ≈ 1,45 ⋅ 10−9 ñ, ò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
