В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 35
Текст из файла (страница 35)
ïðîèñõîäÿòâ îäèí è òîò æå ìîìåíò âðåìåíè t0 ïî÷àñàì ñèñòåìû K, íî â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà x1 è x2. ßñíî, ÷òî ýòèñîáûòèÿ ñâÿçàíû ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíûì èíòåðâàëîì è ïîýòîìó ìåæäóíèìè íåâîçìîæíû ïðè÷èííî-ñëåäÐèñ. 8.6ñòâåííûå îòíîøåíèÿ.Íà îñè îðäèíàò (x = 0) è âñåõ âîçìîæíûõ ïðÿìûõ x = const, ïàðàëëåëüíûõ åé (íàïðèìåð, ëèíèè b1b2), îòîáðàæåíû ñîáûòèÿ, êîòîðûå ïðîèñõîäÿò â îäíîé è òîé æå òî÷êå ïðîñòðàíñòâà, íî âðàçíûå ìîìåíòû âðåìåíè.
Ëþáûå äâà ñîáûòèÿ, êîòîðûå îòîáðàæàþòñÿ òî÷êàìè, ïðèíàäëåæàùèìè ýòèì ëèíèÿì, õàðàêòåðèçóþòñÿ îäíèì è òåì æå çíà÷åíèåì êîîðäèíàòû, íî ðàçíûìè çíà÷åíèÿìè âðåìåíè (íàïðèìåð, ñîáûòèÿ N1 èN2 íà ïðÿìîé b1b2 ïðîèçîøëè â îäíîé è òîé æå òî÷êå ñ êîîðäèíàòîé x0, íî âðàçíûå ìîìåíòû âðåìåíè t1 è t2). ßñíî, ÷òî ýòè ñîáûòèÿ ñâÿçàíû âðåìåíèïîäîáíûì èíòåðâàëîì è ìåæäó íèìè âîçìîæíû ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííûå îòíîøåíèÿ. Î÷åâèäíî, ñîáûòèå, êîòîðîå ïðîèçîøëî ðàíüøå, ìîæåò áûòü ïðè÷èíîé, à íàñòóïèâøåå ïîçæå ñëåäñòâèåì.Íà ïëîñêîñòè Ìèíêîâñêîãî ìîæíî îòîáðàæàòü íå òîëüêî ñîáûòèÿ, íî èäâèæåíèÿ ÷àñòèö.
Íàïðèìåð, ïîêîÿùèåñÿ â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ x ÷àñòèöû îòîáðàæàþòñÿ ïðÿìûìè x = const. Ýòè ïðÿìûå íàçûâàþòñÿ ìèðîâûìè ëèíèÿìè ïîêîÿùèõñÿ ÷àñòèö. Äâèæåíèå ÷àñòèöû ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ V îòîáðàæàåòñÿ íàýòîé ïëîñêîñòè ïðÿìîé, óãîë íàêëîíà êîòîðîé ê îñè ct íå ïðåâûøàåò 45°. Òàêèå ïðÿìûå íàçûâàþòñÿ ìèðîâûìè ëèíèÿìè äâèæóùèõñÿ ÷àñòèö. Íàïðèìåð, åñëè÷àñòèöà â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 íàõîäèëàñü â íà÷àëå êîîðäèíàò, òî åå ìèðîâàÿëèíèÿ d1d2 ðàñïîëîæåíà â îáëàñòÿõ «ïðîøëîå» è «áóäóùåå». Óðàâíåíèå ýòîéïðÿìîé îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì:ct = x/β,(8.48)ãäå β = V/c.Åñëè ñêîðîñòü V ÷àñòèöû ïåðåìåííà, òî åå ìèðîâàÿ ëèíèÿ îòîáðàæàåòñÿíåêîòîðîé êðèâîé OP, óðàâíåíèå êîòîðîé èìååò âèäct = f (x).(8.49)Êàñàòåëüíàÿ ê ýòîé êðèâîé â ëþáîé òî÷êå îáðàçóåò ñ îñüþ îðäèíàò óãîë θ,òàíãåíñ êîòîðîãîtg θ = β.Òàê êàê V ≤ c, òî óãîë θ ≤ 45°.(8.50)ËÅÊÖÈß 9Ïðåîáðàçîâàíèÿ ñêîðîñòåé.
Ïîñòóëàò î ïîñòîÿíñòâå ñêîðîñòè ñâåòà íàõîäèòñÿ â ÿâíîì ïðîòèâîðå÷èè ñ èíòóèòèâíûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè î ñëîæåíèè ñêîðîñòåé, íàïðàâëåííûõ âäîëü îäíîé ïðÿìîé, è, â ÷àñòíîñòè, ñ ïðåîáðàçîâàíèÿìè ñêîðîñòåé Ãàëèëåÿ. Ðàññìîòðèì îäèí èç ýêñïåðèìåíòîâ ïî ïðîâåðêå ïîñòóëàòà î ïîñòîÿíñòâå ñêîðîñòè ñâåòà, âûïîëíåííûé íà óñêîðèòåëå â ÖÅÐÍÒ. Àëâàãåðîì, Ô. Ôàðëè, Ä. Êæåëëìàíîì è È. Âàëëèíîì â 1964 ã.Äëÿ óñêîðåíèÿ ïðîòîíîâ èñïîëüçîâàëîñü ïåðåìåííîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ñ÷àñòîòîé ν = 9,53220 ± 0,00005 ÌÃö. ×òîáû ïðîòîíû óñêîðÿëèñü, îíè äîëæíûïîïàäàòü íà ó÷àñòîê óñêîðåíèÿ â ôàçå ñ ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì. Ïîýòîìó ñãóñòêèïðîòîíîâ â êîëüöå óñêîðèòåëÿ äîëæíû ñëåäîâàòü äðóã çà äðóãîì ñ òîé æå ÷àñòîòîé.
Ïðè çàäàííîé äëèíå êîëüöà ñîñåäíèå ñãóñòêè ïðîòîíîâ ðàñïîëàãàëèñüíà ðàññòîÿíèè s = 31,45 ì (ðèñ. 9.1). Äëèíà l êàæäîãî ñãóñòêà áûëà ðàâíà ïðèìåðíî 1 ì.  ðåçóëüòàòå âçàèìîäåéñòâèé óñêîðåííûõ ïðîòîíîâ ñ ÿäðàìè àòîìîâìèøåíè îáðàçóþòñÿ ðàçëè÷íûå âòîðè÷íûå ÷àñòèöû, â òîì ÷èñëå è íåéòðàëüíûå ïèîíû π°. Òàê êàê ïðîòîíû ïîïàäàëè íà ìèøåíü ñãóñòêàìè ñ ÷àñòîòîé ν,òî è íåéòðàëüíûå ïèîíû ðîæäàëèñü òàêæå ñãóñòêàìè ñ òîé æå ÷àñòîòîé.Ïîñëå ðîæäåíèÿ íåéòðàëüíûå ïèîíû ëåòåëè ñî ñêîðîñòüþ V ∼ c ïî êàñàòåëüíîé ê îêðóæíîñòè óñêîðèòåëÿ â íàïðàâëåíèè äåòåêòîðîâ Ä1 è Ä2, îòñòîÿùèõ äðóã îò äðóãà íà ðàññòîÿíèè, òàêæå ðàâíîì s = 31,45 ì, à âñå çàðÿæåííûå÷àñòèöû ñ ïîìîùüþ ìàãíèòîâ îòêëîíÿëèñü.
Íåéòðàëüíûå ïèîíû íåñòàáèëüíûå ÷àñòèöû ñî ñðåäíèì âðåìåíåì æèçíè τ = 0,83 ⋅ 10−16 ñ ðàñïàäàþòñÿ íà äâàãàììà-êâàíòà íà ðàññòîÿíèè λ = γVτ ≈ 1,1 ⋅ 10−6 ì (γ ≈ 45), ò. å. âáëèçè ìåñòàñâîåãî ðîæäåíèÿ.  ýêñïåðèìåíòå îòáèðàëèñü òàêèå ãàììà-êâàíòû, êîòîðûå ëåòåëè â òîì æå íàïðàâëåíèè, ÷òî è ïèîíû, èìåâøèå ñêîðîñòè V > 0,99975 c(ëîðåíöåâñêèé ôàêòîð γ > 45). Òàêèì îáðàçîì, îò ñãóñòêîâ íåéòðàëüíûõ ïèîíîâ, êîòîðûå ëåòåëè ñî ñêîðîñòüþ V â íàïðàâëåíèè îñè Ox è ñëåäîâàëè äðóã çàäðóãîì ñ ÷àñòîòîé ν, ðîæäàëèñü ñëåäóþùèå ñ òîé æå ÷àñòîòîé ñãóñòêè ãàììàêâàíòîâ, ñêîðîñòü êîòîðûõ îòíîñèòåëüíî ïèîíîâ ðàâíà ñêîðîñòè ñâåòà. ÅñëèÐèñ.
9.1162ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãàëèëåÿ âåðíû, òî ñêîðîñòü ãàììà-êâàíòîâ îòíîñèòåëüíî äåòåêòîðîâ äîëæíà áûòü ðàâíîévγ = V + c.(9.1) ýòîì ñëó÷àå äâà ñîñåäíèõ ñãóñòêà ãàììà-êâàíòîâ áóäóò íàõîäèòüñÿ íà ðàññòîÿíèè sγ = vγ /ν äðóã îò äðóãà. Îíè áóäóò äîñòèãàòü äåòåêòîðîâ íå îäíîâðåìåííî, à ñ èíòåðâàëîì âðåìåíèΔt =ãäå δ = 1 −sγ − svγ=cc ⎞ 111⎛−= ⎜ 1 − ⎟ = δ,ν νv γ ν ⎝vγ ⎠ ν(9.2)c.vγÝêñïåðèìåíò ïîêàçàë, ÷òî Δt = −(0,005 ± 0,013) íñ, ïîýòîìó â ïðåäåëàõ îøèáêè δ = −4,7 ⋅ 10 −5, àvγ = (2,9977 ± 0,0004) ⋅ 108 ì/c(9.3)è ñîâïàäàåò ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà.Òàêèì îáðàçîì, âìåñòî ôîðìóëû (9.1) íåîáõîäèìû íîâûå çàêîíû ïðåîáðàçîâàíèÿ ñêîðîñòåé.
Èõ ìîæíî ëåãêî ïîëó÷èòü íà îñíîâå ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà (7.37). Äèôôåðåíöèàëû ëåâûõ è ïðàâûõ ÷àñòåé ýòèõ ïðåîáðàçîâàíèé èìåþò âèädx′ = γ (dx − Vdt);dy′ = dy;(9.4)dz′ = dz;Vdt ′ = γ ⎛⎜ dt − 2 dx ⎞⎟ .c⎝⎠Ðàçäåëèì ëåâûå è ïðàâûå ÷àñòè ïåðâûõ òðåõ ðàâåíñòâ (9.4) ñîîòâåòñòâåííîíà ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè ïîñëåäíåãî è ó÷òåì êèíåìàòè÷åñêèå îïðåäåëåíèÿïðîåêöèé ñêîðîñòåé â ñèñòåìàõ îòñ÷åòà K è K ′:dyzvx = dx ; vy = ; v z = d ;(9.5)dy ′′d z′; v z′ =.vx′ = dx ; vy′ =(9.6)dtdt ′dtdt ′@J@J ′ ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì èñêîìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîåêöèé ñêîðîñòè íà êîîðäèíàòíûå îñè:vx′ =1 −V 2 c21 −V 2 c2vx − V′=vvvz .; vy′ =;yz1 − vxV c 21 − vxV c 21 − vxV c 2(9.7)Ñîîòíîøåíèÿ (9.7) èçâåñòíû êàê ëîðåíöåâñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîåêöèé ñêîðîñòè.  ñëó÷àå ìàëûõ ñêîðîñòåé (v= c, V = ñ) îíè ïåðåõîäÿò â ïðåîáðàçîâàíèÿ ñêîðîñòåé Ãàëèëåÿ.163Ðàçðåøàÿ (9.7) îòíîñèòåëüíî võ, vy è vz, ìîæíî ïîëó÷èòü îáðàòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîåêöèé ñêîðîñòè:vx =1 −V 2 c21 −V 2 c2vx′ + V′==vvvv z′ .;;yyz1 + vx′V c 21 + vx′V c 21 + vx′V c 2(9.8)Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè v = c, V = c ýòè ñîîòíîøåíèÿ ïåðåõîäÿò â îáðàòíûåïðåîáðàçîâàíèÿ ñêîðîñòåé Ãàëèëåÿ.Ïðèìåíèì íàéäåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòè ãàììàêâàíòîâ â ðàññìîòðåííîì âûøå ýêñïåðèìåíòå.
Òàê êàê íåéòðàëüíûå ïèîíûëåòÿò ñî ñêîðîñòüþ V = 0,99975ñ, à ãàììà-êâàíòû ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà vx′ = c,òî ïåðâàÿ èç ôîðìóë (9.8) äàåò äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ:c + 0,99975c= c,(9.9)c ⋅ 0,99975c1+c2÷òî íàõîäèòñÿ â ïîëíîì ñîîòâåòñòâèè ñ ðåçóëüòàòîì èçìåðåíèé (9.3).Ðåëÿòèâèñòñêèå ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ ñêîðîñòåé (9.7) è (9.8) ïîäòâåðæäàþòñÿ âñåìè áåç èñêëþ÷åíèÿ ýêñïåðèìåíòàìè. Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî âàæíûõ ïðèìåðîâ.Óñêîðèòåëè íà âñòðå÷íûõ ïó÷êàõ.
Ôèçè÷åñêèé ðåçóëüòàò ñòîëêíîâåíèÿ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö çàâèñèò îò âåëè÷èíû èõ ýíåðãèè â ñèñòåìå öåíòðà ìàññ, âêîòîðîé ñóììà ðåëÿòèâèñòñêèõ èìïóëüñîâ ðàâíà íóëþ (ñì. ëåêöèþ 10). ×åìâûøå ýòà ýíåðãèÿ, òåì áîãà÷å ñïåêòð íîâûõ ÿâëåíèé.Ðàññìîòðèì ñòîëêíîâåíèå äâóõ îäèíàêîâûõ ÷àñòèö, ëåòÿùèõ íàâñòðå÷ó äðóãäðóãó ñî ñêîðîñòüþ L0, êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò ëîðåíöåâñêèé ôàêòîð γ0.  ýòîìñëó÷àå ñèñòåìà öåíòðà ìàññ ïîêîèòñÿ, à ýíåðãèÿ êàæäîé èç ÷àñòèö ïðîïîðöèîíàëüíà ëîðåíöåâñêîìó ôàêòîðó γ0 (ñì. ëåêöèþ 10).Ñòîëêíîâåíèå ýòèõ æå ÷àñòèö ìîæíî ðàññìàòðèâàòü â ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ îäíîé èç ÷àñòèö.
Ïðè ýòîì âåñü ñïåêòð ÿâëåíèé îñòàåòñÿ ïðåæíèì,îäíàêî ëîðåíöåâñêèé ôàêòîð γ, ñîîòâåòñòâóþùèé îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè vñáëèæåíèÿ ÷àñòèö, áóäåò çíà÷èòåëüíî áîëüøå γ0. ñàìîì äåëå, ïîëàãàÿ â (9.7) vx = v0, V = −v0, äëÿ îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòèv = vx′ ïîëó÷àåìvγ =v=2v 0.1 + v 02 c 2(9.10)Ðåëÿòèâèñòñêèé ôàêòîð γ áóäåò ðàâåíγ = 2γ02 − 1.(9.11)Íàïðèìåð, ïðè γ0 = 10 ïîëó÷èì γ ≈ 200, à ïðè γ0 ≈ 103 ôàêòîð γ óâåëè÷èâàåòñÿóæå â 2000 ðàç! Îòñþäà ñëåäóåò èñêëþ÷èòåëüíî âàæíûé âûâîä: äëÿ òîãî, ÷òîáûïîëó÷èòü òîò æå ýôôåêò, ÷òî è îò ñîóäàðåíèÿ ñ íåïîäâèæíîé ÷àñòèöåé (ìèøåíüþ), ãîðàçäî âûãîäíåå ñòàëêèâàòü ÷àñòèöû, ëåòÿùèå íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó ñîñêîðîñòÿìè, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò ñðàâíèòåëüíî íåáîëüøèå çíà÷åíèÿ ëîðåíöåâñêîãî ôàêòîðà γ0.Òàêàÿ èäåÿ ðåàëèçîâàíà â óñêîðèòåëÿõ, â êîòîðûõ ñòàëêèâàþòñÿ äâà âñòðå÷íûõ ïó÷êà ÷àñòèö, äâèæóùèõñÿ ñ ðåëÿòèâèñòñêèìè ñêîðîñòÿìè.164Íàïðèìåð, äëÿ äîñòèæåíèÿ γ ≈ 106 ðàçìåðû îáû÷íîãî óñêîðèòåëÿ (ñ íåïîäâèæíîé ìèøåíüþ) ìîãóò ïðåâûñèòü ðàäèóñ Çåìëè, ÷òî äåëàåò íåâîçìîæíûìåãî ñòðîèòåëüñòâî.
×òî æå êàñàåòñÿ óñêîðèòåëåé íà âñòðå÷íûõ ïó÷êàõ, òî èõ ðàçìåðû (ïðè çàäàííîé èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ) è, ñëåäîâàòåëüíî, ñòîèìîñòüáóäóò â γ/γ0 ≈ 2γ0 ðàç ìåíüøå. Åùå îäíèì ïðåèìóùåñòâîì òàêèõ óñêîðèòåëåéÿâëÿåòñÿ ñèììåòðèÿ ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàçëåòà âòîðè÷íûõ ÷àñòèö. Èäåÿ òàêîãîóñêîðèòåëÿ áûëà âïåðâûå âûñêàçàíà Ã. À. Áóäêåðîì, à îäèí èç ïåðâûõ óñêîðèòåëåé áûë ïîñòðîåí ïîä Íîâîñèáèðñêîì.Ñòðóè ÷àñòèö. Ïðè ñòîëêíîâåíèè ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû ñ íåïîäâèæíîéìèøåíüþ îáðàçóþòñÿ íîâûå ÷àñòèöû (âòîðè÷íûå), êîòîðûå ëåòÿò âíóòðè óçêîãîêîíóñà, îñü êîòîðîãî îðèåíòèðîâàíà âäîëü âåêòîðà ñêîðîñòè ïåðâè÷íîé ÷àñòèöû, à óãîë ðàñòâîðà çàâèñèò îò ëîðåíöåâñêîãî ôàêòîðà γ (÷åì áîëüøå γ, òåììåíüøå óãîë).
Âòîðè÷íûå ÷àñòèöû îáðàçóþò òàê íàçûâàåìûå ñòðóè è ïðè ìàëîìóãëå ðàñòâîðà êîíóñà ïðàêòè÷åñêè íå äåòåêòèðóþòñÿ, òàê êàê ëåòÿò î÷åíü áëèçêîäðóã ê äðóãó. Îòëè÷èòü îäíó ÷àñòèöó îò äðóãîé â ýòîì ñëó÷àå ñòàíîâèòñÿ òðóäíî.Ñòîëêíîâåíèÿ ÷àñòèö óäîáíî ðàññìàòðèâàòü â ñèñòåìå öåíòðà ìàññ (ÑÖÌ),â êîòîðîé âòîðè÷íûå ÷àñòèöû ëåòÿò âíóòðè êîíóñîâ ñ áëüøèì óãëîì ðàñòâîðà, òàê êàê γ0 < γ.
Ïîýòîìó íà óñêîðèòåëÿõ ñî âñòðå÷íûìè ïó÷êàìè ñóùåñòâåííî îáëåã÷åíà ïðîáëåìà äåòåêòèðîâàíèÿ è ðàñïîçíàâàíèÿ âòîðè÷íûõ ÷àñòèö.Íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ ÷àñòèö, îáðàçóþùèõ ñòðóè, ìîæíî ðàññ÷èòàòü,ïîëüçóÿñü çàêîíîì ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé. Ïóñòü â ñèñòåìå Ê ′ (ñèñòåìå öåíòðàìàññ) ïåðâè÷íûå ÷àñòèöû äâèæóòñÿ íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó âäîëü îñè Î ′x ′ èïîñëå ñòîëêíîâåíèÿ îäíà èç âòîðè÷íûõ ÷àñòèö ëåòèò ñ íåêîòîðîé ñêîðîñòüþ v ′ïîä çåíèòíûì óãëîì θ′ ê îñè Î ′x ′ (ðèñ.
9.2, à). Ïðîåêöèè ñêîðîñòè ýòîé âòîðè÷íîé ÷àñòèöû ðàâíûv ′x = v ′ cos θ′, v ′y = v ′ sin θ′.(9.12)Ñèñòåìà Ê ′ (ÑÖÌ) äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû Ê, â êîòîðîé îäíà èç÷àñòèö íåïîäâèæíà, ñ íåêîòîðîé ñêîðîñòüþ V. Ïðîåêöèè ñêîðîñòè âòîðè÷íîé÷àñòèöû â ñèñòåìå Ê, â ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé, îêàæóòñÿðàâíûìèvx =221 −V cv ′ cos θ′ + Vv ′ sin θ′.; vy =v ′V cos θ′v ′V cos θ′+11+c2c2(9.13)Ðèñ. 9.2165Åñëè ýòè ïðîåêöèè çàïèñàòü â âèäåvx = v cos θ;vy = v sin θ,(9.14)òî äëÿ çåíèòíîãî óãëà θ (ñì. ðèñ. 9.2, á ) ïîëó÷èìtg θ =vy 1 v ′ sin θ′=,vx γ v ′ cos θ′ + V(9.15)ãäå γ = (1 − V 2/c 2)−1/2.Îòñþäà âèäíî, ÷òî â óëüòðàðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå, êîãäà γ → ∞, âíå çàâèñèìîñòè îò âåëè÷èíû θ′ çåíèòíûé óãîë θ → 0. Òàêèì îáðàçîì, ïðè áîëüøèõçíà÷åíèÿõ γ ïî÷òè âñå âòîðè÷íûå ÷àñòèöû ëåòÿò âíóòðè î÷åíü óçêîãî êîíóñà.Àáåððàöèÿ ñâåòà çâåçä.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
