В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 43
Текст из файла (страница 43)
ðèñ. 11.10), ìãíîâåííàÿ îñü âðàùåíèÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó Ìñîïðèêîñíîâåíèÿ êîëåñà ñ ïëîñêîñòüþ.Ñóùåñòâåííî, ÷òî â ðàçíûå ìîìåíòû âðåìåíè ìãíîâåííàÿ îñü âðàùåíèÿïðîõîäèò ÷åðåç ðàçíûå òî÷êè òâåðäîãî òåëà è ÷åðåç ðàçíûå òî÷êè ëàáîðàòîðíîéñèñòåìû XYZ, ñîõðàíÿÿ, êîíå÷íî, ñâîþ îðèåíòàöèþ â ïðîñòðàíñòâå.Äëÿ òîãî, ÷òîáû îïðåäåëèòü ïîëîæåíèå ìãíîâåííîé îñè âðàùåíèÿ, íåîáõîäèìî çíàòü ñêîðîñòè êàêèõ-ëèáî äâóõ òî÷åê òåëà.
Òàê, íà ðèñ. 11.14 ïîêàçàíîïîëîæåíèå ìãíîâåííîé îñè âðàùåíèÿ (òî÷êà Ì ) äëÿ öèëèíäðà, çàæàòîãî ìåæäóäâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ðåéêàìè, êîòîðûå äâèæóòñÿ â îäíó è òó æå ñòîðîíó ñðàçíûìè ñêîðîñòÿìè v1 è v2. ñèòóàöèè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 11.15, ñòåðæåíü AB êàñàåòñÿ òî÷êè D èäâèæåòñÿ â ïëîñêîñòè ÷åðòåæà òàê, ÷òî åãî êîíåö B âñå âðåìÿ íàõîäèòñÿ íàïîëóîêðóæíîñòè DEF. Ìãíîâåííàÿ îñü âðàùåíèÿ ñòåðæíÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êóÌ, íàõîäÿùóþñÿ íà âåðõíåé ïîëóîêðóæíîñòè DMF. Ïðè äâèæåíèè ñòåðæíÿòî÷êà M ïåðåìåùàåòñÿ ïî äóãå ýòîé ïîëóîêðóæíîñòè. ñëó÷àå, ïîêàçàííîì íà ðèñ.
11.16, ñòåðæåíü, îïèðàþùèéñÿ îäíèì èç ñâîèõêîíöîâ íà ãëàäêóþ ãîðèçîíòàëüíóþ ïëîñêîñòü, íà÷èíàåò ïàäàòü èç âåðòèêàëüíîãî ïîëîæåíèÿ. Öåíòð ìàññ ñòåðæíÿ îïóñêàåòñÿ, îñòàâàÿñü íà îäíîé è òîé æåâåðòèêàëè. Ìãíîâåííàÿ îñü âðàùåíèÿ (òî÷êà Ì) ïåðåìåùàåòñÿ ïî äóãå îêðóæíîñòè ðàäèóñà l/2 (l äëèíà ñòåðæíÿ).Çíàÿ óãëîâóþ ñêîðîñòü ω è ïîëîæåíèå ìãíîâåííîé îñè âðàùåíèÿ, ìîæíîîïðåäåëèòü ñêîðîñòü ëþáîé òî÷êè òåëà ïðè åãî ïëîñêîì äâèæåíèè.
Ïðè êà÷å200Ðèñ. 11.15Ðèñ. 11.16íèè êîëåñà ïî ïëîñêîñòè ñî ñêîðîñòüþ L0 áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ (ðèñ. 11.17),ñêîðîñòü òî÷êè ÂL B = ω ⋅ MB =L0R⋅ MB ;(11.18)âåêòîð vB ïåðïåíäèêóëÿðåí îòðåçêó ÌÂ, ñîåäèíÿþùåìó òî÷êó  ñ òî÷êîé Ì,÷åðåç êîòîðóþ ïðîõîäèò ìãíîâåííàÿ îñü âðàùåíèÿ. Åñòåñòâåííî, vB ìîæíî ïðåäñòàâèòü è êàê âåêòîðíóþ ñóììó äâóõ ñêîðîñòåé: v0 ñêîðîñòè ïîñòóïàòåëüíîãîäâèæåíèÿ îñè êîëåñà è v′0 ñêîðîñòè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ âîêðóã ýòîéîñè, ïðè÷åì | v0| = | v′0|.Ðèñ. 11.18 èëëþñòðèðóåò ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòåé òî÷åê íà âåðòèêàëüíîìäèàìåòðå êîëåñà æåëåçíîäîðîæíîãî âàãîíà. Ìãíîâåííàÿ îñü âðàùåíèÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó Ì ñîïðèêîñíîâåíèÿ êîëåñà ñ ðåëüñîì.
Âèäíî, ÷òî ëèíåéíàÿñêîðîñòü òî÷êè íà êðàþ ðåáîðäû íàïðàâëåíà â ñòîðîíó, ïðîòèâîïîëîæíóþ äâèæåíèþ âàãîíà.Íàéäåì òåïåðü óñêîðåíèÿ òî÷åê òåëà ïðè ïëîñêîì äâèæåíèè. Äèôôåðåíöèðóÿ âûðàæåíèå (11.16) ïî âðåìåíè, äëÿ óñêîðåíèÿ òî÷êè À ïîëó÷èì:aA =Ðèñ. 11.17rr drdv A dv 0 d ω=+× r + ω×= a0 + a τ + an .dtdtdtdt(11.19)Ðèñ. 11.18201Ðèñ. 11.19Ðèñ.
11.20Ýòî óñêîðåíèå ñêëàäûâàåòñÿ èç òðåõ âåëè÷èí (ðèñ. 11.19): óñêîðåíèÿ a0 òî÷êè O, ïðèíÿòîé çà ïîëþñ, òàíãåíöèàëüíîãî óñêîðåíèÿrrdω×r = ε×raτ =(11.20)dtè íîðìàëüíîãî óñêîðåíèÿr dr rrr rrr= ω × ( ω × r ) = ω (ωr ) − r (ωω) = −ω2 ran = ω ×(11.21)dtrr )(ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ωr ðàâíî íóëþ, òàê êàê ω⊥r .Òàêèì îáðàçîì, óñêîðåíèå ëþáîé òî÷êè À òåëà ïðè ïëîñêîì äâèæåíèè ðàâíî âåêòîðíîé ñóììå óñêîðåíèÿ òî÷êè, ïðèíÿòîé çà ïîëþñ, è óñêîðåíèÿ òî÷êèA, âîçíèêàþùåãî âñëåäñòâèå åå âðàùåíèÿ âîêðóã ýòîãî ïîëþñà. Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî óñêîðåíèå ëþáîé òî÷êè êîëåñà, êàòÿùåãîñÿ ïî ïëîñêîñòèáåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ L0, íàïðàâëåíî ê öåíòðó êîëåñàè ðàâíî L02/r, ãäå r ðàññòîÿíèå òî÷êè äî îñè êîëåñà.
 ýòîì ïðèìåðå â êà÷åñòâå ïîëþñà óäîáíî âûáðàòü öåíòð êîëåñà Î, òîãäà a0 = a τ = 0, è îñòàåòñÿ òîëüêîan = L02/r.Çàìåòèì, ÷òî, êðîìå ðàññìîòðåííîé âûøå ìãíîâåííîé îñè âðàùåíèÿ, ìîæíî ââåñòè ìãíîâåííóþ îñü, óñêîðåíèÿ âñåõ òî÷åê êîòîðîé â äàííûé ìîìåíòâðåìåíè ðàâíû íóëþ. Ïðè ýòîì ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî ýòà îñü, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ñîâïàäàåò ñ ìãíîâåííîé îñüþ âðàùåíèÿ. Òàê, â ïðèìåðå ñ êîëåñîì, êàòÿùèìñÿ ïî ïëîñêîñòè ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ, îíà ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð êîëåñà.Äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà ñ îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé.
Ïðèìåðû òàêîãî äâèæåíèÿ ïîêàçàíû íà ðèñ. 11.20: âîë÷îê ñ øàðíèðíî çàêðåïëåííûì îñòðèåì (à);êîíóñ, êàòÿùèéñÿ ïî ïëîñêîñòè áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ (á).  ýòîì ñëó÷àå òåëîèìååò òðè ñòåïåíè ñâîáîäû íà÷àëî ñèñòåì x0y0z0 è xyz, ââåäåííûõ â íà÷àëåëåêöèè, ìîæíî ñîâìåñòèòü ñ òî÷êîé çàêðåïëåíèÿ, à äëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèÿòåëà èñïîëüçîâàòü òðè óãëà Ýéëåðà:ϕ = ϕ(t); ψ = ψ(t); θ = θ(t).(11.22)Äëÿ òâåðäîãî òåëà ñ îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé ñïðàâåäëèâà òåîðåìà Ýéëåðà: òâåðäîå òåëî, çàêðåïëåííîå â îäíîé òî÷êå, ìîæåò áûòü ïåðåâåäåíî èçîäíîãî ïîëîæåíèÿ â ëþáîå äðóãîå îäíèì ïîâîðîòîì íà íåêîòîðûé óãîë âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó çàêðåïëåíèÿ. Èç òåîðåìû Ýé202ëåðà ñëåäóåò, ÷òî äâèæåíèå çàêðåïëåííîãî â òî÷êå òâåðäîãî òåëà â êàæäûéìîìåíò âðåìåíè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê âðàùåíèå âîêðóã ìãíîâåííîé îñè,ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó çàêðåïëåíèÿ. Åñòåñòâåííî, ÷òî ïîëîæåíèå ýòîé îñèêàê â ïðîñòðàíñòâå, òàê è îòíîñèòåëüíî ñàìîãî òåëà ñ òå÷åíèåì âðåìåíè âîáùåì ñëó÷àå ìåíÿåòñÿ.Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî ïîëîæåíèé ìãíîâåííîé îñè âðàùåíèÿ îòíîñèòåëüíîñèñòåìû x0y0z0 ýòî ñëîæíàÿ êîíè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü ñ âåðøèíîé â òî÷êåçàêðåïëåíèÿ.
 òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêå åå íàçûâàþò íåïîäâèæíûì àêñîèäîì. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî ïîëîæåíèé ìãíîâåííîé îñè âðàùåíèÿ îòíîñèòåëüíî ïîäâèæíîé ñèñòåìû xyz, æåñòêî ñâÿçàííîé ñ òâåðäûì òåëîì, ýòî òîæå êîíè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü ïîäâèæíûé àêñîèä. Íàïðèìåð, â ñëó÷àå êîíóñà AO1, êàòÿùåãîñÿ ïî ïîâåðõíîñòè äðóãîãî êîíóñà AO2 áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ (ðèñ. 11.21; òî÷êàÀ ïîäâèæíîãî êîíóñà øàðíèðíî çàêðåïëåíà), íåïîäâèæíûé àêñîèä ñîâïàäàåòñ ïîâåðõíîñòüþ íåïîäâèæíîãî êîíóñà AO2, à ïîäâèæíûé àêñîèä ñ ïîâåðõíîñòüþ ïîäâèæíîãî êîíóñà AO1.Ñêîðîñòü ïðîèçâîëüíîé òî÷êè òâåðäîãî òåëà ìîæíî ðàññ÷èòàòü êàê ëèíåéíóþ ñêîðîñòü âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ âîêðóã ìãíîâåííîé îñè:rv = ω × r,(11.23)ãäå r ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè îòíîñèòåëüíî íà÷àëà ñèñòåìû x0y0z0, ñîâìåùåííîãî ñ òî÷êîé çàêðåïëåíèÿ.
Ñëåäóåò òîëüêî èìåòü â âèäó, ÷òî, â îòëè÷èå îòñëó÷àÿ âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè, «ïëå÷î» âåêòîðà v(ðàññòîÿíèå îò ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè äî ìãíîâåííîé îñè âðàùåíèÿ) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé âðåìåíè.Óñêîðåíèå ïðîèçâîëüíîé òî÷êè òâåðäîãî òåëàrr drdv d ω=× r + ω×a=(11.24)dtdtdtñîñòîèò èç äâóõ ÷àñòåé: óñêîðåíèÿ, îáóñëîâëåííîãî íåðàâíîìåðíîñòüþ âðàùåríèÿ (èçìåíåíèåì ω ïî âåëè÷èíå è íàïðàâëåíèþ)rrdω× r = ε × r,a âð =(11.25)dtè öåíòðîñòðåìèòåëüíîãî (íîðìàëüíîãî) óñêîðåíèÿr dr rrr= ω × (ω × r ) = −ω2 ρ,an = ω ×dt(11.26)r rãäå ρ = ρ(t) ðàäèóñ-âåêòîð, ïðîâåäåííûé îò ìãíîâåííîéîñè âðàùåíèÿ â ðàññìàòðèâàåìóþ òî÷êó.rr dωÑëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî óãëîâîå óñêîðåíèå ε =ñâÿçàdtíî ñ èçìåíåíèåì óãëîâîé ñêîðîñòè íå òîëüêî ïî âåëè÷èíå,íî è ïî íàïðàâëåíèþ, òàê ÷òî âåêòîðû a âð è a n íå ïåðïåíäèêóëÿðíû äðóã äðóãó.rÏðîåêöèè âåêòîðà ìãíîâåííîé óãëîâîé ñêîðîñòè ω íàîñè ñèñòåìû xyz, æåñòêî ñâÿçàííîé ñ òâåðäûì òåëîì, ìîæ-Ðèñ.
11.21203íî âûðàçèòü ÷åðåç óãëû Ýéëåðà ϕ, ψ, θ (ñì. ðèñ. 11.3) è èõ ïðîèçâîäíûå ïî⋅râðåìåíè ϕ⋅, ψ⋅, θ. Äåéñòâèòåëüíî, âåêòîð ω ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû òðåõñîñòàâëÿþùèõ:.r ..(11.27)ω = ϕ ez + ψ ez0 + θ eOA,ãäå ez è ez0 åäèíè÷íûå âåêòîðû âäîëü îñåé Oz è Oz0 ñîîòâåòñòâåííî, eOA åäèíè÷íûé âåêòîð âäîëü ëèíèè óçëîâ OA (íà .ðèñ. 11.3 ýòè îðòû íå ïîêàçàíû)...Îïðåäåëèì ïðîåêöèè âåêòîðîâ ϕ ez, ψez0, θeOA, âõîäÿùèõ â (11.27), íà îñèñèñòåìû xyz (ñì. ðèñ. 11.3):....(ϕ ez)x = 0;(ϕ ez)y = 0;(ϕ ez)z = ϕ ;(11.28)...⋅⋅⋅(ψez0)x = ψ sin θ sin ϕ;(ψez0)y = ψ sin θ cos ϕ;(ψez0)z = ψ cos θ;(11.29).....(θ eOA)x = θ cos ϕ;(θ eOA)y = −θ sin ϕ;(θ eOA)z = 0.(11.30)Èç (11.27)(11.30) ïîëó÷èì:..ωx = ψ sin θ sin ϕ + θ cos ϕ;..ωy = ψ sin θ cos ϕ − θ sin ϕ;.
.ωz = ϕ + ψ cos θ.(11.31)(11.32)(11.33)Óðàâíåíèÿ (11.31)(11.33) íàçûâàþòñÿ êèíåìàòè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè Ýéëåðà. Îíè, â ÷àñòíîñòè, ïîçâîëÿþò îïðåäåëèòü âåëè÷èíó è íàïðàâëåíèå âåêòîðàrìãíîâåííîé óãëîâîé ñêîðîñòè ω, åñëè çàêîí äâèæåíèÿ òåëà çàäàí â âèäå (11.22). ðÿäå ñëó÷àåâ äâèæåíèå òåëà ñ çàêðåïëåííîé òî÷êîé óäîáíî ïðåäñòàâèòü êàêñóïåðïîçèöèþ äâóõ âðàùåíèé âîêðóã ïåðåñåêàþùèõñÿ îñåé.  ñëó÷àå, èçîáðàæåííîì íà ðèñ. 11.22, âåðøèíà êîíóñà øàðíèðíî çàêðåïëåíà â òî÷êå Î; îñüêîíóñà ãîðèçîíòàëüíà, à åãî îñíîâàíèå êàòèòñÿ áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ ïî ãîðèrçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè S. Âåêòîð óãëîâîé ñêîðîñòè ω íàïðàâëåí âäîëü ìãíîâåííîé îñè âðàùåíèÿ ÎÌ (ñêîðîñòè òî÷åê Î è Ì ðàâíû íóëþ).
Ïðè äâèæåíèèêîíóñà ìãíîâåííàÿ îñü âðàùåíèÿ èçìåíÿåò ñâîå ïîëîæåíèå, îïèñûâàÿ íåêîòîðóþ êîíè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü ñ âåðøèíîé â òî÷êå Î. «Àáñîëþòíîå» âðàùåíèårêîíóñà âîêðóã ìãíîâåííîé îñè OM ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω ìîæíî ïðåäñòàâèòü ââèäå ñóììûr rrω = ω1 + ω2,(11.34)rãäå ω1 óãëîâàÿ ñêîðîñòü «îòíîñèòåëüíîãî» âðàùåíèÿ âîêðóã ñîáñòâåííîé îñèrñèììåòðèè êîíóñà; ω2 óãëîâàÿ ñêîðîñòü «ïåðåíîñíîãî» âðàùåíèÿ ñàìîé îñèñèììåòðèè âîêðóã âåðòèêàëè.Åñëè çàäàíà ñêîðîñòü ω2, òîω1 = ω2 ctg α = ω1ω=Ðèñ.
11.22204ω2= ω2sin αh;RR 2 + h2,Rãäå α óãîë ïîëóðàñòâîðà êîíóñà; R ðàäèóñ îñíîâàíèÿ êîíóñà; h åãî âûñîòà.Çàìåòèì, ÷òî äâèæåíèå òåëà, ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîé îäíîâðåìåííîå âðà-r r rùåíèå âîêðóã íåñêîëüêèõ îñåé ñ óãëîâûìè ñêîðîñòÿìè ω1, ω2, ω3, ..., ìîæåòáûòü ñâåäåíî ê âðàùåíèþ âîêðóã îäíîé îñè ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþrrr r(11.35)ω = ω1 + ω2 + ω3 + ¾òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà âñå îñè âðàùåíèÿ ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå.Äâèæåíèå ñâîáîäíîãî òâåðäîãî òåëà. Ñâîáîäíîå òâåðäîå òåëî ìîæåò ñîâåðøàòü ëþáûå ïåðåìåùåíèÿ îòíîñèòåëüíî ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìû XYZ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
