В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Òåíçîð ñâÿçûâàåò äâå âåêòîðíûå âåëè÷èíû, êîòîðûåïðîïîðöèîíàëüíû äðóã äðóãó ïî ìîäóëþ, íî â ñèëó àíèçîòðîïèè ñâîéñòâîáúåêòà íå ñîâïàäàþò ïî íàïðàâëåíèþ.r ñëó÷àå L è ω ðåøàþùóþ ðîëü èãðàåò«àíèçîòðîïèÿ» ôîðìû òåëà (îòñóòñòâèåîïðåäåëåííîé ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíîîñåé xyz).  äðóãèõ ñëó÷àÿõ ýòî ìîæåò áûòüàíèçîòðîïèÿ, íàïðèìåð, ýëåêòðè÷åñêèõèëè ìàãíèòíûõ ñâîéñòâ âåùåñòâà. Òàê,âåêòîðû ïîëÿðèçàöèè âåùåñòâà Ð è íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ Åñâÿçàíû òåíçîðîì ïîëÿðèçóåìîñòè ^α:P = ε0^αE (ε0 ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ñèëó àíèçîòðîïèè ýëåêòðè÷åñêèõ ñâîéñòâ âåùåñòâîÐèñ. 12.5ïîëÿðèçóåòñÿ «íå ïî ïîëþ», ò. å. «íå ïî209ïîëþ» ñìåùàþòñÿ ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå çàðÿäû â ìîëåêóëàõ âåùåñòâà.
Ïðèìåðàìè äðóãèõ, â îáùåì ñëó÷àå òåíçîðíûõ âåëè÷èí ÿâëÿþòñÿ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü è ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü âåùåñòâà. Âàæíóþ ðîëü âìåõàíèêå èãðàþò òåíçîðû äåôîðìàöèé è íàïðÿæåíèé. Ýòè è äðóãèå òåíçîðíûåâåëè÷èíû ðàññìàòðèâàþòñÿ â ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçäåëàõ êóðñà îáùåé ôèçèêè.rÇàìåòèì, ÷òî åñëè áû âåêòîðû ri, ω è L â âûðàæåíèè (12.3) ïðîåêòèðîâàòüíà îñè ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìû XYZ, òî êîìïîíåíòû òåíçîðà Jkl îêàçàëèñü áûçàâèñÿùèìè îò âðåìåíè. Òàêîé ïîäõîä â ïðèíöèïå âîçìîæåí; îí, â ÷àñòíîñòè,èñïîëüçóåòñÿ â Áåðêëååâñêîì êóðñå ôèçèêè.Ãëàâíûå îñè èíåðöèè.
Âîçíèêàåò âîïðîñ: âîçìîæåí ëè äëÿ ïðîèçâîëüíîãîròâåðäîãî òåëà ñëó÷àé, êîãäà âåêòîðû L è ω ñîâïàäàþò? Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëÿâñÿêîãî òåëà è ëþáîé òî÷êè Î èìåþòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå òðè âçàèìíî ïåðïåíräèêóëÿðíûõ íàïðàâëåíèÿ âåêòîðà ω (èëè, äðóãèìè ñëîâàìè, òðè âçàèìíî ïåðrïåíäèêóëÿðíûõ îñè âðàùåíèÿ), äëÿ êîòîðûõ íàïðàâëåíèÿ L è ω ñîâïàäàþò.Òàêèå îñè íàçûâàþòñÿ ãëàâíûìè îñÿìè èíåðöèè òåëà.Åñëè îñè Ox, Oy è Oz ñîâìåñòèòü ñ ãëàâíûìè îñÿìè èíåðöèè òåëà, òî òåíçîð èíåðöèè áóäåò èìåòü âèä⎛ J xx⎜µJ =⎜ 0⎜ 0⎝0J yy00 ⎞⎟0 ⎟.J zz ⎟⎠(12.15)Âåëè÷èíû Jxx ≡ Jx, Jyy ≡ Jy, Jzz ≡ Jz â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàþò ãëàâíûìè ìîìåíòàìè èíåðöèè òåëà. Ïðè ýòîìLx = Jx ωx; Ly = Jy ωy; Lz = Jz ωz,(12.16)rò. å., äåéñòâèòåëüíî, åñëè âåêòîð ω íàïðàâëåí âäîëü îäíîé èç ãëàâíûõ îñåéèíåðöèè òåëà, òî âåêòîð L áóäåò íàïðàâëåí òî÷íî òàê æå (ðèñ.
12.6).Ðàñïîëîæåíèå ãëàâíûõ îñåé èíåðöèèâ òåëå è çíà÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ãëàâíûõ ìîìåíòîâ èíåðöèè çàâèñÿò îò âûáîðà òî÷êè Î. Åñëè Î ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì ìàññ, òî ãëàâíûå îñè íàçûâàþòñÿãëàâíûìè öåíòðàëüíûìè îñÿìè òåëà. Åñëèãëàâíûå îñè èíåðöèè èçâåñòíû, òî çíà÷åíèÿ ãëàâíûõ ìîìåíòîâ èíåðöèè ìîæíî âû÷èñëèòü, èñõîäÿ èç ðàñïðåäåëåíèÿìàññû òåëà. Íàïðèìåð:Jx =∑ Δmi (ri2 − xi2 ) = ∑ Δmi ( yi2 + zi2 ) =ii=∑ Δmi ρi2 ,(12.17)iÐèñ. 12.6210ãäå ρi ðàññòîÿíèå îò ýëåìåíòàðíîéìàññû Δmi äî ãëàâíîé îñè Ox.Êàê æå îïðåäåëèòü ãëàâíûå îñèèíåðöèè äëÿ âûáðàííîé òî÷êè Î òâåð-Ðèñ. 12.7Ðèñ. 12.9Ðèñ. 12.8Ðèñ. 12.10äîãî òåëà? Åñëè ñèñòåìà xyz âûáðàíà ïðîèçâîëüíî, òî â îáùåì ñëó÷àå îñèOx, Oy è Oz íå ñîâïàäàþò ñ ãëàâíûìè îñÿìè èíåðöèè. Òàêîãî ñîâïàäåíèÿìîæíî äîáèòüñÿ ïóòåì íåêîòîðîãî ïîâîðîòà èñõîäíîé ñèñòåìû êîîðäèíàòîòíîñèòåëüíî òâåðäîãî òåëà.
 íîâûõ êîîðäèíàòàõ ìàòðèöà Jkl ñòàíîâèòñÿ äèàãîíàëüíîé.Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ãëàâíûå îñè èíåðöèè óäàåòñÿ ëåãêî îïðåäåëèòü èç ñîîáðàæåíèé ñèììåòðèè. Íà ðèñ. 12.712.10 îñè êîîðäèíàò ñîâìåùåíû ñ ãëàâíûìè îñÿìè èíåðöèè äëÿ ðàçëè÷íûõ òî÷åê òåë, îáëàäàþùèõ îïðåäåëåííîéñèììåòðèåé: öèëèíäðà (ðèñ. 12.7), ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà (ðèñ. 12.8),êóáà (ðèñ. 12.9) è øàðà (ðèñ. 12.10). Âî âñåõ ýòèõ ñëó÷àÿõ Jxy = Jxz = Jyx = Jyz = Jzx == Jzy = 0. Íàïðèìåð, â ñëó÷àå ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà (ðèñ.
12.8)J xy = −∑ Δmi xi yi = 0, òàê êàê äëÿ âñÿêîé ìàññû Δmi ñ äàííûìè çíà÷åíèÿìè xi,iyi, zi íàéäåòñÿ ñèììåòðè÷íî ðàñïîëîæåííàÿ ìàññà Δmi′ ñ òåìè æå çíà÷åíèÿìè xiè zi, íî ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíà÷åíèåì yi. çàêëþ÷åíèå ýòîãî ðàçäåëà ðàññìîòðèì ïðèìåð íàõîæäåíèÿ ãëàâíûõ îñåéèíåðöèè äëÿ ïëîñêîé ïðÿìîóãîëüíîé ïëàñòèíêè ñî ñòîðîíàìè a è b è ìàññîé m(ðèñ. 12.11).211ßñíî, ÷òî îäíà èç ãëàâíûõ îñåé èíåðöèè äëÿ òî÷êè Î (îñü Oz) ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè ïëàñòèíêè; íà ðèñ.
12.11 îíà íå ïîêàçàíà. Îñè Ox è Oy,íàïðàâëåííûå âäîëü ñòîðîí ïëàñòèíêè, íå ñîâïàäàþò ñ ãëàâíûìè îñÿìè. Äåéñòâèòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àåÐèñ. 12.11abbaJ xx = ∫ y 2dm =mb2dx ∫ y 2dy = m ;∫ab 0 03J yy = ∫ x 2dm =ma2dy ∫ x 2dx = m ;∫ab 0 03J xy = −∫ xydm = −a(12.18)(12.19)bmabxdx ∫ ydy = −m< 0. (12.20)ab ∫040Äîïóñòèì, ÷òî îñè Ox′ è Oy′, ïîâåðíóòûå íà óãîëα îòíîñèòåëüíî îñåé Ox è Oy, ñîâïàäàþò ñ ãëàâíûìè îñÿìè èíåðöèè äëÿ òî÷êèÎ. Ñîîòâåòñòâóþùåå ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò èìååò âèäx = x ′ cos α + y ′ sin α;(12.21)y = −x ′ sin α + y ′ cos α.(12.22)ÒîãäàJ xx = ∫ y 2dm =2∫ ( − x ′ sin α + y ′ cos α ) dm = J y ′ sin 2 α + J x ′ cos2 α.(12.23)Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî äëÿ ãëàâíûõ îñåé ∫ x ′y ′dm = 0.Àíàëîãè÷íîJ yy = ∫ x 2dm =2∫ ( x ′ cos α + y ′ sin α ) dm = J y ′ cos2 α + J x ′ sin 2 α.J xy = − ∫ xydm = − ∫ ( x ′ cos α + y ′ sin α )( − x ′ sin α + y ′ cos α ) dm =1= − sin 2α (J x ′ − J y ′ ) .2(12.24)(12.25)Ïîäñòàâëÿÿ â (12.23)(12.25) çíà÷åíèÿ Jxx, Jyy è Jxy èç (12.18)(12.20), ïîëó÷èì ñèñòåìó òðåõ óðàâíåíèé äëÿ íàõîæäåíèÿ Jx′, Jy′ è α:J y ′ sin 2 α + J x ′ cos 2 α = mb2;3(12.26)J y ′ cos2 α + J x ′ sin 2 α = ma2;3(12.27).(J x ′ − J y ′ ) sin 2α = m ab2212(12.28)Èç ýòîé ñèñòåìû, â ÷àñòíîñòè, ìîæíî ïîëó÷èòü, ÷òîtg 2α =3 ab.2 b2 − a2(12.29)Äëÿ ñðàâíåíèÿ: åñëè α0 óãîë ìåæäó îñüþ Oy è äèàãîíàëüþ ïðÿìîóãîëüíîé ïëàñòèíêè, òîtg 2α0 =2ab,b − a2(12.30)2ò.
å. α < α0. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ãëàâíàÿ îñü èíåðöèè Oy′ íå ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòðïëàñòèíêè. È òîëüêî â ñëó÷àå êâàäðàòíîé ïëàñòèíêè, êîãäà a = b, α = π/4,ãëàâíàÿ îñü èíåðöèè áóäåò íàïðàâëåíà ïî äèàãîíàëè êâàäðàòà. Ýòîò ïðèìåðíàãëÿäíî ïîêàçûâàåò, ÷òî åñëè ãëàâíûå îñè èíåðöèè íåöåíòðàëüíûå, òî íèîäíà èç íèõ â ïðèíöèïå ìîæåò è íå ïðîõîäèòü ÷åðåç öåíòð ìàññ òåëà.Ìîìåíò èìïóëüñà òâåðäîãî òåëà îòíîñèòåëüíî îñè. Ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè.
 òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà òâåðäîå òåëî âðàùàåòñÿ âîêðóã íåïîäâèæíîéîñè, ââîäÿò âåëè÷èíû ìîìåíòà èìïóëüñà è ìîìåíòà èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè.Ìîìåíò èìïóëüñà L|| îòíîñèòåëüíî îñè ýòî ïðîåêöèÿ íà äàííóþ îñü ìîìåíòàèìïóëüñà L, îïðåäåëåííîãî îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé òî÷êè Î, ïðèíàäëåæàùåé îñè, ïðè÷åì âûáîð òî÷êè Î íà îñè çíà÷åíèÿ íå èìååò.Äåéñòâèòåëüíî, ïðè âû÷èñëåíèè L ñóùåñòâåííî ëèøü ïëå÷î èìïóëüñàΔpi = Δmi vi îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ O′O″ (ðèñ. 12.12), ò. å. êðàò÷àéøåå ðàññòîÿíèå ρi îò ýëåìåíòà ñ ìàññîé Δmi äî îñè:(Li) = Δmi (ri × vi) = Δmi ρi Li = (Δmi ρi2) ω.(12.31)Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî ñêîðîñòü ìàññû Δmi ïðè âðàùàòåëüíîì äâèæåíèè Li = ωri;rvi ⊥ ρ i.Ðàññìîòðèì ýòó ñèòóàöèþ áîëååïîäðîáíî. Ïóñòü îñè Ox, Oy, Oz íà ðèñ.12.12 ãëàâíûå îñè èíåðöèè äëÿ òî÷êè O, O′O″ íåïîäâèæíàÿ â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå îñü âðàùåíèÿ, æåñòêîñâÿçàííàÿ ñ òåëîì.
Âåêòîð óãëîâîé ñêîrðîñòè ω, íàïðàâëåííûé âäîëü O ′O″,ìîæíî ðàçëîæèòü ïî îñÿì ñèñòåìû êîîðäèíàò xyz:rω = {ωx, ωy, ωz} = {ω cos α,ω cos β, ω cos γ},(12.32)ãäå cos α, cos β, cos γ íàïðàâëÿþùèåêîñèíóñû îñè O ′O ″. Âåêòîð L íå ñîrâïàäàåò ñ ω è ïðè âðàùåíèè òåëà îïèñûâàåò êîíè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü, ñèììåòðè÷íóþ îòíîñèòåëüíî O ′O ″. ÂåêòîðL òàêæå ìîæíî ðàçëîæèòü ïî îñÿì ñèñòåìû xyz: L = {Lx, Ly, Lz}, ïðè÷åìÐèñ. 12.12213Lx = Jx ωx; Ly = Jy ωy; Lz = Jz ωz,(12.33)ãäå Jx, Jy, Jz ãëàâíûå ìîìåíòû èíåðöèè.Ïðîåêöèÿ âåêòîðà L íà îñü âðàùåíèÿ, èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, ìîìåíò èìïóëüñà îòíîñèòåëüíî îñèLP =rJ x ω2x + J y ω2y + J z ω2zLω Lx ωx + Ly ωy + Lz ωz==ω=ωωω2= (J x cos2 α + J y cos 2 β + J z cos2 γ ) ω = J ω,(12.34)ãäåJ = Jx cos2α + Jy cos2β + Jz cos2γ(12.35) ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè.
Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòàòü ìîìåíò èíåðöèè òâåðäîãî òåëà îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíîé îñè â òîì ñëó÷àå, åñëè èçâåñòíû ãëàâíûå ìîìåíòû èíåðöèè Jx, Jy, Jz è îðèåíòàöèÿ îñèâðàùåíèÿ îòíîñèòåëüíî ãëàâíûõ îñåé èíåðöèè (óãëû α, β, γ). Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ òàêîå âû÷èñëåíèå îêàçûâàåòñÿ çíà÷èòåëüíî ïðîùå, ÷åì ïðÿìîé ðàñ÷åò ïîôîðìóëåJ =∑ Δmi ρi2i(12.36)[ñì. (12.31)].Îòìåòèì, ÷òî, â ñîîòâåòñòâèè ñ äàííûì âûøå îïðåäåëåíèåì, L âåëè÷èíà ñêàëÿðíàÿ (ïðîåêöèÿ âåêòîðà L íà îñü âðàùåíèÿ). Âìåñòå ñ òåì ìîæíî ãîâîðèòü è î âåêòîðå L, ðàññìàòðèâàÿ åãî êàê ñîñòàâëÿþùóþ âåêòîðà L âäîëü îñè:rL P = ∑ ρi × Δp i(12.37)ir(âåêòîð ρi èçîáðàæåí íà ðèñ.
12.12, Δpi = Δmi vi).Ýëëèïñîèä èíåðöèè. Ôîðìóëà (12.35) äëÿ ìîìåíòà èíåðöèè îòíîñèòåëüíîîñè äîïóñêàåò íàãëÿäíóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ.Ïðåäñòàâèì, ÷òî ÷åðåç òî÷êó Î íà÷àëà êîîðäèíàò ñèñòåìû xyz ìû ïðîâîäèì ïðÿìûå âî âñåâîçìîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ è íà íèõ îòêëàäûâàåì îòðåçêèäëèíîé R = k J (ðèñ. 12.13), ãäå k ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà, èìåþùàÿ ðàçìåðíîñòü êã 1/2 ⋅ ì2.
Ãåîìåòðè÷åñêèì ìåñòîì êîíöîâ ýòèõ îòðåçêîâ áóäåò íåêîòîðàÿïîâåðõíîñòü. Ïîëó÷èì óðàâíåíèå ýòîé ïîâåðõíîñòè.Ïóñòü îñè Ox, Oy, Oz íà ðèñ. 12.13 ãëàâíûå îñè èíåðöèè. Ïðîåêöèè âåêòîðà R íà îñè êîîðäèíàò ñîñòàâëÿþò214Rx ≡ x = R cos α =kcos α;J(12.38)R y ≡ y = R cos β =kcos β;J(12.39)Rz ≡ z = R cos γ =kcos γ,J(12.40)îòêóäàcos α =y Jx J; cos β =;kkcos γ =z Jk.(12.41)Ïîäñòàâëÿÿ (12.41) â (12.35), ïîëó÷èìJ = Jxy 2Jz 2Jx 2J++JJ, (12.42)yzk2k2k2èëèJ x x 2 + J y y 2 + J z z 2 = k2 .(12.43)Ýòî, êàê èçâåñòíî, óðàâíåíèå ýëëèïñîèäà, êîòîðûé â äàííîì ñëó÷àå íàçûâàþò ýëëèïñîèäîì èíåðöèè.Öåíòð ýëëèïñîèäà èíåðöèè, êàê ñëåäóåò èç åãî óðàâíåíèÿ, íàõîäèòñÿ â íàÐèñ.
12.13÷àëå êîîðäèíàò ñèñòåìû xyz (òî÷êà Î).Ïîñòîÿííàÿ k îïðåäåëÿåò ìàñøòàá ïîñòðîåíèÿ è ìîæåò áûòü âûáðàíà ïðîèçâîëüíî; èçìåíÿÿ k, ìû áóäåì ïîëó÷àòüïîäîáíûå ýëëèïñîèäû. Ãëàâíûå îñè ýëëèïñîèäà èíåðöèè ÿâëÿþòñÿ ãëàâíûìèîñÿìè èíåðöèè òåëà äëÿ òî÷êè Î.Ïîëîæåíèå ýëëèïñîèäà èíåðöèè îòíîñèòåëüíî òåëà çàâèñèò îò âûáîðà òî÷êè Î.  ÷àñòíîñòè, åñëè ýòà òî÷êà ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì ìàññ òåëà, òî ýëëèïñîèäíàçûâàåòñÿ öåíòðàëüíûì.Ðàññìàòðèâàÿ âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà, â ðÿäå ñëó÷àåâ ìîæíîàáñòðàãèðîâàòüñÿ îò ôîðìû òåëà è èìåòü äåëî ñ ýëëèïñîèäîì èíåðöèè. Äëÿêóáà è øàðà, íàïðèìåð, öåíòðàëüíûå ýëëèïñîèäû èíåðöèè âûðîæäàþòñÿ âñôåðó, ïîýòîìó ýòè òåëà ñ òî÷êè çðåíèÿ ìíîãèõ çàäà÷ ìåõàíèêè îêàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè. êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèìñïëîøíîé îäíîðîäíûé êóá ñ ðåáðîì aè ìàññîé m. Ýëëèïñîèä èíåðöèè äëÿöåíòðà îäíîé èç ãðàíåé êóáà (òî÷êà Î)ïîêàçàí íà ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
