В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 49
Текст из файла (страница 49)
å. èìååò ìåñòî ïðîñòîårñîîòíîøåíèå L = Jω, ãäå J ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî öåíòðàëüíîé îñè,rè ïðè L = const ïîëó÷àåì ω = const. Îñü âðàùåíèÿ ñîâïàäàåò ïî íàïðàâëåíèþ ñL è ñîõðàíÿåò ñâîþ îðèåíòàöèþ â ïðîñòðàíñòâå.Òåïåðü äîïóñòèì, ÷òî Jz îòëè÷íî îò Jx è Jy, êàê, íàïðèìåð, äëÿ òåëà, èçîárðàæåííîãî íà ðèñ. 13.14.  ýòîì ñëó÷àå âðàùåíèå ñ ω = const èìååò ìåñòî òîëüêîòîãäà, êîãäà îñü âðàùåíèÿ ëèáî ñîâïàäàåò ñ îñüþ ñèììåòðèè òåëà, ëèáî ïåðïåíäèêóëÿðíà ê íåé.Îáùèé ñëó÷àé Jz ≠ Jx ≠ Jy áîëåå ñëîæåí; îáû÷íî åãî ðàññìàòðèâàþò ñ ïîìîùüþ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé Ýéëåðà.
Äåëî â òîì, ÷òî åñëè â óðàâíåíèè(13.42) âåêòîð L ñïðîåêòèðîâàòü íà îñè ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìû x0y0z0, òî ñêàëÿðíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ áóäóò âåñüìà ñëîæíûìè, ïîñêîëüêó ìîìåíòû èíåðöèè îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíûõ îñåé áóäóò ôóíêöèÿìèâðåìåíè.Ïîýòîìó ãîðàçäî óäîáíåå ðàññìàòðèâàòü L â ïðîåêöèÿõ íà îñè ñèñòåìû xyz,æåñòêî ñâÿçàííîé ñ òâåðäûì òåëîì.Ïóñòü i, j, k îðòû ñèñòåìû xyz (ðèñ. 13.14). Òîãäà (13.42) ïðèíèìàåò âèäd(L i + Ly j + Lz k ) = 0,dt x(13.44)ãäå íå òîëüêî ïðîåêöèè Lx, Ly, Lz, íî è îðòû i, j, k ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìèâðåìåíè. Ïîýòîìó èç (13.44) ñëåäóåò∂Ly∂Lx∂Ldjdidk+ Ly+ Lz= 0.i+j + z k + Lx∂t∂t∂tdtdtdt(13.45)Çäåñü èñïîëüçîâàí ñèìâîë ∂ äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ðàññìàòðè∂tâàþòñÿ èçìåíåíèÿ âî âðåìåíè ïðîåêöèé Lx, Ly è Lz îòíîñèòåëüíî ïîäâèæíîéñèñòåìû xyz ñèñòåìû, êîòîðàÿ, â ñâîþ î÷åðåäü, ïîâîðà÷èâàåòñÿ âìåñòå ñròåëîì ñ ìãíîâåííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω.×òî êàñàåòñÿ ïðîèçâîäíûõ ïî âðåìåíè îò åäèíè÷íûõ âåêòîðîâ i, j, k, òî èõèçìåíåíèÿ âî âðåìåíè îáóñëîâëåíû òîëüêî âðàùåíèåì ñèñòåìû xyz ñ óãëîâîérñêîðîñòüþ ω, ïîýòîìódj rdi rdk r= ω × i;= ω × j;= ω× kdtdtdt(13.46)(ôîðìóëû Ïóàññîíà, ñì.
ëåêöèþ 6). Ïîäñòàâëÿÿ (13.46) â (13.45), ïîëó÷èì∂L r+ ω × L = 0.∂t(13.47)dL ∂L r=+ ω× L∂tdt(13.48)Ïðåîáðàçîâàíèåíàõîäèòñÿ â ïîëíîì ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (6.14) ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîèçâîäíûõ ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà ïðè ïåðåõîäå îò íåïîäâèæíîé ñèñòåìû êîîð234äèíàò ê âðàùàþùåéñÿ. Ñóùåñòâåííî, ÷òî íàáëþäàòåëü, íàõîäÿùèéñÿ â ñèñòå-∂L). Äëÿ∂tíàáëþäàòåëÿ â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ê îòíîñèòåëüíîìó èçìåíåíèþL äîáàâëÿåòñÿ åãî «ïåðåíîñíîå» èçìåíåíèå, ñâÿçàííîå ñ âðàùåíèåì ñèñòåìûrxyz ñ ìãíîâåííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω.rÈñïîëüçóÿ ïðîåêöèè âåêòîðîâ L è ω íà îñè ñèñòåìû xyz, ïîëó÷èì:ìå xyz, ôèêñèðóåò òîëüêî «îòíîñèòåëüíîå» èçìåíåíèå L (ïðîèçâîäíàÿ∂Lx+ ωy Lz − ωz Ly = 0;∂t(13.49)∂Ly+ ωz Lx − ωx Lz = 0;∂t(13.50)∂Lz+ ωx Ly − ωy Lx = 0.∂t(13.51)Ïîñêîëüêó îñè Ox, Oy è Oz ãëàâíûå îñè èíåðöèè äëÿ òî÷êè çàêðåïëåíèÿ,òî Lx = Jx ωx, Ly = Jy ωy, Lz = Jz ωz è èç (13.49)(13.51) áóäåì èìåòü ñëåäóþùèåóðàâíåíèÿ:Jx∂ωx+ ωy ωz (J z − J y ) = 0;∂t(13.52)Jy∂ωy+ ωz ωx (J x − J z ) = 0;∂t(13.53)Jz∂ωz+ ωx ωy (J y − J x ) = 0,∂t(13.54)ãäå Jx, Jy, Jz ãëàâíûå ìîìåíòû èíåðöèè òåëà.Ýòè óðàâíåíèÿ íàçûâàþò óðàâíåíèÿìè Ýéëåðà ïðè îòñóòñòâèè ìîìåíòîââíåøíèõ ñèë. ÷àñòíîì ñëó÷àå Jx = Jy èç (13.52)(13.54) ïîëó÷àåì∂ωx+ ωy ω0 = 0;∂t(13.55)∂ωy− ωx ω0 = 0;∂t(13.56)∂ωz= 0,∂t(13.57)ãäå ââåäåíî îáîçíà÷åíèåω0 = ωzJz − Jy.Jx(13.58)rÈç (13.57) ñëåäóåò, ÷òî ωz = const, ò.
å. ïðîåêöèÿ âåêòîðà ω íà îñü ñèììåòðèè òåëà îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé. ßñíî, ÷òî ω0 òàêæå ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà. Åå235ôèçè÷åñêèé ñìûñë ñòàíîâèòñÿ ïîíÿòíûì, åñëè çàïèñàòü ðåøåíèå óðàâíåíèé(13.55), (13.56):ωx = ω⊥ cos (ω0t + ϕ); ωy = ω⊥ sin (ω0t + ϕ),(13.59)rãäå ω⊥ = ω2x + ω2y ïðîåêöèÿ âåêòîðà ω íà ïëîñêîñòü xy.rωÒàêèì îáðàçîì, âåêòîð ω ñîñòàâëÿåò ñ îñüþ ñèììåòðèè òåëà óãîë θ = arctg ⊥ωzè âðàùàåòñÿ âîêðóã ýòîé îñè, êàê ñëåäóåò èç (13.59), ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîéñêîðîñòüþ ω0. Íà÷àëüíàÿ ôàçà ϕ ýòîãî âðàùåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè.Ïîñìîòðèì, êàê áóäåò âûãëÿäåòü äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà â ëàáîðàòîðíîéñèñòåìå x0y0z0. Ïîñêîëüêó íàì èçâåñòíû çíà÷åíèÿ ωx, ωy è ωz, òî çàêîí äâèæåíèÿ òåëà (çàâèñèìîñòü óãëîâ Ýéëåðà îò âðåìåíè) â ïðèíöèïå ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç êèíåìàòè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ýéëåðà (11.30)(11.32). Îäíàêî ýòî ñâÿçàíîñ ðåøåíèåì, â îáùåì ñëó÷àå, äîâîëüíî ñëîæíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ïîýòîìó ìû îãðàíè÷èìñÿ êà÷åñòâåííûì ðàññìîòðåíèåì äâèæåíèÿ òåëà. ñèëó òîãî, ÷òîL = Jx ωx i + Jy ωy j + Jz ωz k,(13.60)L = Jz ωz k + Jx (ωx i + ωy j) + Jx ωz k − Jx ωz k.(13.61)à Jx = Jy, ìîæíî çàïèñàòüÇäåñü äîáàâëåíî è âû÷òåíî ñëàãàåìîå Jx ωz k, ÷òî ïîçâîëÿåò ïðåäñòàâèòü (13.61)â âèäårL = (Jz − Jx) ωz k + Jx ω.(13.62)Îòñþäà âèäíî, ÷òî k (îñü ôèãóðû),rL è ω ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè.
Èç(13.62) ñëåäóåò, ÷òîr rω = Ω − ω0 k,(13.63)ãäårΩ = L /JxÐèñ. 13.15236(13.64) ñîñòàâëÿþùàÿ óãëîâîé ñêîðîñòè ïîíàïðàâëåíèþ L. Ïëîñêîñòü, â êîòîðîérëåæàò îñü ôèãóðû, ω è L, ïîâîðà÷èâàåòñÿ (ïðåöåññèðóåò) âîêðóã ríàïðàâëåíèÿ L ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ω, íàçûâàåìîé ñêîðîñòüþ ïðåöåññèè (ðèñ. 13.15).Ñàìî äâèæåíèå íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíîéïðåöåññèåé ñâîáîäíîãî ñèììåòðè÷íîãîâîë÷êà.Îòìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå âåðåòåíîîáðàçíîãî òåëà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ.Ðèñ.
13.16Ðèñ. 13.1713.15, Jz < Jy, ïîýòîìó ω0 < 0 [ñì. (13.58)], è âåêòîð −ω0 k íàïðàâëåí â òó æåñòîðîíó, ÷òî è k.Ç à ì å ÷ à í è å 1. Çàêðåïëåíèå àêñèàëüíî ñèììåòðè÷íîãî òâåðäîãî òåëà â öåíòðå ìàññ ìîæåò áûòü âûïîëíåíî íå òîëüêî ñ ïîìîùüþ êàðäàíîâà ïîäâåñà, íîè òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 13.16. Ìàññèâíîå òåëî, ñå÷åíèå êîòîðîãî èçîáðàæåíî íà ðèñóíêå, øàðíèðíî çàêðåïëåíî â öåíòðå ìàññ òî÷êå Î.Ç à ì å ÷ à í è å 2. Èñïîëüçóÿ ïîñòðîåíèå Ïóàíñî (ñì.
ëåêöèþ 12), ìîæíî äàòüíàãëÿäíóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ðåãóëÿðíîé ïðåöåññèè ñâîáîäíîãîñèììåòðè÷íîãî âîë÷êà (ðèñ. 13.17). Ìîìåíò èìïóëüñà L òåëà îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîãî öåíòðà ìàññ Î ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåêòîð, ïîñòîÿííûé ïî âåëè÷èíå è íàïðàâëåíèþ. Ýëëèïñîèä èíåðöèè òåëà ñ öåíòðîì â òî÷êå Î, ñå÷åíèåêîòîðîãî èçîáðàæåíî íà ðèñ. 13.17, ÿâëÿåòñÿ ýëëèïñîèäîì âðàùåíèÿ. Êàñàòåëüíàÿ ê ýëëèïñîèäó ïëîñêîñòü BB ′ ïðîâåäåíà ÷åðåç ïîëþñ Ð (òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿrâåêòîðà ìãíîâåííîé óãëîâîé ñêîðîñòè ω ñ ýëëèïñîèäîì); ýòà ïëîñêîñòü ïåðïåíäèêóëÿðíà âåêòîðó L è â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà ñîõðàíÿåò ñâîåïîëîæåíèå íåèçìåííûì.
Ïðè ðåãóëÿðíîé ïðåöåññèè âîë÷êà ýëëèïñîèä èíåðöèè òåëà «êàòèòñÿ» ïî ïëîñêîñòè BB ′ áåç ñêîëüæåíèÿ, òàê ÷òî ãåîìåòðè÷åñêèì ìåñòîì ïîëþñîâ Ð ÿâëÿåòñÿ îêðóæíîñòü ðàäèóñà R, ïðèíàäëåæàùàÿ ïëîñêîñòè BB ′.Ç à ì å ÷ à í è å 3. Âî èçáåæàíèå ïóòàíèöû îòìåòèì ñëåäóþùåå. Îïèñàííîåâûøå äâèæåíèå ñâÿçàíî ñ èçìåíåíèåì óãëà ïðåöåññèè ψ (ñì. ðèñ. 11.3), ïîýòîìó îíî è áûëî íàçâàíî ðåãóëÿðíîé ïðåöåññèåé (êèíåìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå).Îäíàêî ñóùåñòâóþò îïðåäåëåíèÿ ïðåöåñcèè êàê äâèæåíèÿ îñè ñèììåòðèè òåëàïîä äåéñòâèåì ìîìåíòà âíåøíèõ ñèë (äèíàìè÷åñêîå îïðåäåëåíèå, ñì. ëåêöèþ14).
Îïèñàííîå æå âûøå äâèæåíèå ñ òî÷êè çðåíèÿ äèíàìè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿíàçûâàþò íóòàöèåé.ËÅÊÖÈß 14Ãèðîñêîïû. Ñâîáîäíûé ãèðîñêîï. Ãèðîñêîï ýòî ìàññèâíîå àêñèàëüíî-ñèììåòðè÷íîå òåëî, âðàùàþùååñÿ ñ áîëüøîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ âîêðóã ñâîåé îñèñèììåòðèè. ñëó÷àå òàê íàçûâàåìîãî ñâîáîäíîãî ãèðîñêîïà ìîìåíòû âñåõ âíåøíèõ ñèë,âêëþ÷àÿ è ñèëó òÿæåñòè, îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ ãèðîñêîïà ðàâíû íóëþ.Ýòî ìîæíî ðåàëèçîâàòü, íàïðèìåð, ïîìåñòèâ ãèðîñêîï â êàðäàíîâ ïîäâåñ,îïèñàííûé â ëåêöèè 13 è èçîáðàæåííûé íà ðèñ 13.13. Ïðè ýòîìM = 0;dL= 0,dt(14.1)è ìîìåíò èìïóëüñà ñîõðàíÿåòñÿ:L = const.(14.2)Ãèðîñêîï âåäåò ñåáÿ òàê æå, êàê è ñâîáîäíîå òåëî âðàùåíèÿ (ñì.
ëåêöèþ 13). çàâèñèìîñòè îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé âîçìîæíû äâà âàðèàíòà ïîâåäåíèÿ ãèðîñêîïà.1. Åñëè ãèðîñêîï ðàñêðó÷åí âîêðóã îñè ñèììåòðèè, òî íàïðàâëåíèÿ ìîìåíòàèìïóëüñà è óãëîâîé ñêîðîñòè ñîâïàäàþò:rL = Jω = const,(14.3)è íàïðàâëåíèå îñè ñèììåòðèè ãèðîñêîïà îñòàåòñÿ íåèçìåííûì.  ýòîì ìîæíîóáåäèòüñÿ, ïîâîðà÷èâàÿ ïîäñòàâêó, íà êîòîðîé ðàñïîëîæåí êàðäàíîâ ïîäâåñ:ïðè ïðîèçâîëüíûõ ïîâîðîòàõ ïîäñòàâêè îñü ãèðîñêîïà ñîõðàíÿåò íåèçìåííîåíàïðàâëåíèå â ïðîñòðàíñòâå.
Ïî ýòîé æå ïðè÷èíå âîë÷îê, «çàïóùåííûé» íàëèñòå êàðòîíà è ïîäáðîøåííûé ââåðõ (ðèñ. 14.1), ñîõðàíÿåò îðèåíòàöèþ ñâîåéîñè âî âðåìÿ ïîëåòà è, ïàäàÿ îñòðèåì íà êàðòîí, ïðîäîëæàåò óñòîé÷èâî âðàùàòüñÿ, ïîêà íå èçðàñõîäóåò çàïàñ ñâîåé êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè.Ñâîáîäíûé ãèðîñêîï, ðàñêðó÷åííûé âîêðóã îñè ñèììåòðèè, îáëàäàåò áîëüøîé óñòîé÷èâîñòüþ. Èç óðàâíåíèÿ ìîìåíòîâ ñëåäóåò, ÷òî èçìåíåíèå ìîìåíòàèìïóëüñàΔL =Δt∫ Mdt .(14.4)0Ðèñ. 14.1238Åñëè èíòåðâàë âðåìåíè Δt ìàë, òî è ΔL ìàëî,ò. å. ïðè êðàòêîâðåìåííûõ âîçäåéñòâèÿõ äàæåî÷åíü áîëüøèõ ñèë äâèæåíèå ãèðîñêîïà èçìåíÿåòñÿ íåçíà÷èòåëüíî. Ãèðîñêîï êàê áû ñîïðîòèâëÿåòñÿ ïîïûòêàì èçìåíèòü åãî ìîìåíò èìïóëüñà è êàæåòñÿ «çàòâåðäåâøèì».Âîçüìåì ãèðîñêîï êîíóñîîáðàçíîé ôîðìû,îïèðàþùèéñÿ íà îñòðèå ïîäñòàâêè â ñâîåì öåí-òðå ìàññ Î (ðèñ 14.2). Åñëè ãèðîñêîï íå âðàùàåòñÿ, òî îí íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè áåçðàçëè÷íîãîðàâíîâåñèÿ, è ìàëåéøèé òîë÷îê ñäâèãàåò åãî ñìåñòà.
Åñëè æå åãî ïðèâåñòè â áûñòðîå âðàùåíèåâîêðóã îñè ñèììåòðèè, òî äàæå ñèëüíûå óäàðûäåðåâÿííûì ìîëîòêîì íå ñìîãóò ñêîëüêî-íèáóäüçíà÷èòåëüíî èçìåíèòü íàïðàâëåíèå îñè ãèðîñêîïà â ïðîñòðàíñòâå. Óñòîé÷èâîñòü ñâîáîäíîãî ãèðîñêîïà èñïîëüçóåòñÿ â ðàçëè÷íûõ òåõíè÷åñêèõóñòðîéñòâàõ, íàïðèìåð, â àâòîïèëîòå.2. Åñëè ñâîáîäíûé ãèðîñêîï ðàñêðó÷åí òàê, ÷òîâåêòîð ìãíîâåííîé óãëîâîé ñêîðîñòè è îñü ñèììåòðèè ãèðîñêîïà íå ñîâïàäàþò (êàê ïðàâèëî, ýòîíåñîâïàäåíèå ïðè áûñòðîì âðàùåíèè áûâàåò íåçíà÷èòåëüíûì), òî íàáëþäàåòñÿ äâèæåíèå, îïèÐèñ.
14.2ñàííîå â ëåêöèè 13 êàê «ñâîáîäíàÿ ðåãóëÿðíàÿïðåöåññèÿ». Ïðèìåíèòåëüíî æå ê ãèðîñêîïó åãîríàçûâàþò íóòàöèåé. Ïðè ýòîì îñü ñèììåòðèè ãèðîñêîïà, âåêòîðû L è ω ëåæàòâ îäíîé ïëîñêîñòè, êîòîðàÿ âðàùàåòñÿ âîêðóã íàïðàâëåíèÿ L = const ñ óãëîâîéñêîðîñòüþ, ðàâíîé L/Jx, ãäå Jx ìîìåíò èíåðöèè ãèðîñêîïà îòíîñèòåëüíîãëàâíîé öåíòðàëüíîé îñè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè ñèììåòðèè. Ýòà óãëîâàÿ ñêîðîñòü (íàçîâåì åå ñêîðîñòüþ íóòàöèè) ïðè áûñòðîì ñîáñòâåííîì âðàùåíèèãèðîñêîïà îêàçûâàåòñÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîé, è íóòàöèÿ âîñïðèíèìàåòñÿ ãëàçîì êàê ìåëêîå äðîæàíèå îñè ñèììåòðèè ãèðîñêîïà.Íóòàöèîííîå äâèæåíèå ëåãêî ïðîäåìîíñòðèðîâàòü ñ ïîìîùüþ ãèðîñêîïà,ïîêàçàííîãî íà ðèñ. 14.2, îíî âîçíèêàåò ïðè óäàðàõ ìîëîòêîì ïî îñè âðàùàþùåãîñÿ ãèðîñêîïà. Ïðè ýòîì ÷åì ñèëüíåå ðàñêðó÷åí ãèðîñêîï, òåì áîëüøååãî ìîìåíò èìïóëüñà L, òåì áîëüøå ñêîðîñòü íóòàöèè è òåì «ìåëü÷å» äðîæàíèÿ åãî îñè.
Ýòîò îïûò äåìîíñòðèðóåò åùå îäíó õàðàêòåðíóþ îñîáåííîñòü íóòàöèè: ñ òå÷åíèåì âðåìåíè îíà ïîñòåïåííî óìåíüøàåòñÿ è èñ÷åçàåò âñëåäñòâèåíåèçáåæíîãî òðåíèÿ â îïîðå ãèðîñêîïà.Íàøà Çåìëÿ ñâîåãî ðîäà ãèðîñêîï, è åé òîæå ñâîéñòâåííî íóòàöèîííîåäâèæåíèå. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî Çåìëÿ íåñêîëüêî ïðèïëþñíóòà ñ ïîëþñîâ,â ñèëó ÷åãî ìîìåíòû èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè ñèììåòðèè (Jz) è îòíîñèòåëüíî îñè, ëåæàùåé â ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêîñòè (Jx, Jy), ðàçëè÷àþòñÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
