В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 52
Текст из файла (страница 52)
14.17Óñòîé÷èâîñòü âðàùåíèÿ ñèììåòðè÷íîãî âîë÷êà. Êðàòêî îñòàíîâèìñÿ íà âîïðîñå îá óñòîé÷èâîñòè âðàùåíèÿ ñèììåòðè÷íîãî âîë÷êà ïðîèçâîëüíîé ôîðìû.Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî åñëè âîë÷îê ïðèâåñòè âî âðàùåíèå âîêðóã îñè ñèììåòðèè è óñòàíîâèòü íà ïëîñêîñòü â âåðòèêàëüíîì ïîëîæåíèè, òî ýòî âðàùåíèå âçàâèñèìîñòè îò ôîðìû âîë÷êà è óãëîâîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ áóäåò ëèáî óñòîé÷èâûì, ëèáî íåóñòîé÷èâûì.Ïóñòü èìååòñÿ âîë÷îê, èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 14.18. Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: Î öåíòð ìàññ âîë÷êà; h ðàññòîÿíèå îò öåíòðà ìàññ äî òî÷êèîïîðû; Ê öåíòð êðèâèçíû âîë÷êà â òî÷êå îïîðû; r ðàäèóñ êðèâèçíû; Jz ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè ñèììåòðèè; Jx ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî ãëàâíîé öåíòðàëüíîé îñè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè ñèììåòðèè.Àíàëèç óñòîé÷èâîñòè âðàùåíèÿ âîë÷êà ïðèâîäèò ê äèàãðàììå, èçîáðàæåííîé íà ðèñ.
14.19. Çäåñü ïî îñè àáñöèññ îòëîæåíî îòíîøåíèå Jz /Jx, à ïî îñèîðäèíàò îòíîøåíèå h/r.Ïðîâåäåì ãèïåðáîëó h/r = 1/(Jz/Jx) è ïðÿìóþ h/r = 1. Ýòè ëèíèè äåëÿò îáëàñòü çíà÷åíèé h/r, Jz /Jx íà 4 ÷àñòè. Îáëàñòü I ñîîòâåòñòâóåò íåóñòîé÷èâîìóâðàùåíèþ âîë÷êà ïðè âñåõ óãëîâûõ ñêîðîñòÿõ, îáëàñòü II óñòîé÷èâîìó âðàùåíèþ ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ óãëîâûõ ñêîðîñòÿõ ω > ωêð. Îáëàñòü III ñîîòâåòñòâóåò óñòîé÷èâîìó âðàùåíèþ ïðè ìàëûõ óãëîâûõ ñêîðîñòÿõ ω < ωêð, îáëàñòüIV óñòîé÷èâîìó âðàùåíèþ ïðè ïðîèçâîëüíûõ ω.
Êðèòè÷åñêàÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü ωêð çàâèñèò îò ìîìåíòîâ èíåðöèè Jz, Jx, ðàññòîÿíèé r, h è ìàññû òåëà m:1/ 2ωêð(h − r ) mg⎡⎤=⎢⎥J⎣ J x (r h )(J z x − r h ) ⎦.(14.22)Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, êèòàéñêèé âîë÷îê, ðàñêðó÷åííûé äî ω > ωêð è ïîñòàâëåííûé íà ïëîñêîñòü âåðòèêàëüíî (ðèc.
14.20, à). Ïóñòü Jz = Jx. Ïîñêîëüêóâ äàííîì ñëó÷àå h < r, òî ýòîé ñèòóàöèè ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà 1 â îáëàñòè III,ò. å. îáëàñòü óñòîé÷èâîãî âðàùåíèÿ ëèøü ïðè ìàëûõ ω. Ïîýòîìó â íàøåì ñëó÷àå(ω > ωêð) âðàùåíèå áóäåò íåóñòîé÷èâûì, è âîë÷îê ïåðåâåðíåòñÿ íà íîæêó (ðèñ.14.20, á, òî÷êà 2 â îáëàñòè II, h > r ).Ðèñ. 14.18Ðèñ. 14.19249Ðèñ.
14.20Ðèñ. 14.21Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå, ÷òî â ïðîöåññå ïåðåâîðà÷èâàíèÿ âîë÷êà ðåçóëüòèðóþùèé ìîìåíò èìïóëüñà ñîõðàíÿåò ñâîå ïåðâîíà÷àëüíîå íàïðàâëåíèå,ò. å. âåêòîð L âñå âðåìÿ íàïðàâëåí âåðòèêàëüíî ââåðõ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ñèòóàöèè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 14.21, á, êîãäà îñüâîë÷êà ãîðèçîíòàëüíà, âðàùåíèå âîêðóã îñè ñèììåòðèè âîë÷êà îòñóòñòâóåò! Äàëåå, ïðè îïðîêèäûâàíèè íà íîæêó, âðàùåíèå âîêðóã îñè ñèììåòðèè áóäåò ïðîòèâîïîëîæíî èñõîäíîìó (åñëè ñìîòðåòü âñå âðåìÿ ñî ñòîðîíû íîæêè, ðèñ.
14.21, â). ñëó÷àå ÿéöåîáðàçíîãî âîë÷êà ôîðìà åãî ïîâåðõíîñòè âáëèçè òî÷êè îïîðû íå ÿâëÿåòñÿ ñôåðè÷åñêîé. Îäíàêî ñóùåñòâóþò äâà âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ íàïðàâëåíèÿ, äëÿ êîòîðûõ ðàäèóñ êðèâèçíû â òî÷êå îïîðû ïðèíèìàåò ýêñòðåÐèñ. 14.22ìàëüíûå (ìèíèìàëüíîå è ìàêñèìàëüíîå) çíà÷åíèÿ. Îïûòû ïîêàçûâàþò, ÷òî â ñëó÷àå, èçîáðàæåííîì íà ðèñ. 14.22, à, âðàùåíèå áóäåò íåóñòîé÷èâûì, è âîë÷îê ïðèìåò âåðòèêàëüíîå ïîëîæåíèå, ðàñêðó÷èâàÿñü âîêðóã îñè ñèììåòðèè è ïðîäîëæàÿ óñòîé÷èâîå âðàùåíèå íà áîëååîñòðîì êîíöå (ðèñ.
14.22, á ). Ýòî âðàùåíèå áóäåò ïðîäîëæàòüñÿ äî òåõ ïîð,ïîêà ñèëû òðåíèÿ íå ïîãàñÿò â äîñòàòî÷íîé ìåðå êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ âîë÷êà, óãëîâàÿ ñêîðîñòü óìåíüøèòñÿ (ñòàíåò ìåíüøå ωêð), è âîë÷îê óïàäåò.ÐÀÇÄÅË 4ÌÅÕÀÍÈÊÀ ÑÏËÎØÍÛÕ ÑÐÅÄËÅÊÖÈß 15Äåôîðìàöèè òâåðäîãî òåëà.  ëåêöèÿõ ïî ìåõàíèêå òâåðäîãî òåëà ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî ïîä äåéñòâèåì ïðèëîæåííûõ ñèë â òåëå âîçíèêàþò îïðåäåëåííûåäåôîðìàöèè, îäíàêî îíè íå ïðèíèìàëèñü â ðàñ÷åò äëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèÿýòîãî òåëà êàê öåëîãî. Òàêèì îáðàçîì, òâåðäîå òåëî ðàññìàòðèâàëîñü êàê àáñîëþòíî òâåðäîå (íåèçìåíÿåìîå). ýòîé ëåêöèè ìû ðàññìîòðèì ïîâåäåíèå äåôîðìèðóåìûõ òâåðäûõ òåë, ò.
å.òàêèõ, êîòîðûå äåôîðìèðóþòñÿ ïîä äåéñòâèåì ïðèëîæåííûõ ñèë. Ó÷åò äåôîðìàöèé ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëÿþùèì â áîëüøîì ÷èñëå ïðàêòè÷åñêè âàæíûõ ñëó÷àåâ, íàïðèìåð, ïðè ðàñ÷åòå íà ïðî÷íîñòü ìíîãî÷èñëåííûõ ñòðîèòåëüíûõ êîíñòðóêöèé, äåòàëåé ìàøèí è ìåõàíèçìîâ è ò.
ä.Âñå òåëà ñîñòîÿò èç àòîìîâ è ìîëåêóë, íî èõ ìíîãî â ëþáîì ñóùåñòâåííîìäëÿ íàñ îáúåìå, ïîýòîìó òåëî ìîæíî ïðèáëèæåííî ðàññìàòðèâàòü êàê ñïëîøíóþ ñðåäó. Ñêàçàííîå îòíîñèòñÿ íå òîëüêî ê òâåðäûì, íî òàêæå è ê æèäêèì èãàçîîáðàçíûì òåëàì. Èçó÷åíèþ äâèæåíèé òàêèõ òåë ïîñâÿùåíà çíà÷èòåëüíàÿ÷àñòü ìåõàíèêè ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä. Íàäî îòìåòèòü, ÷òî îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ ìåõàíèêè äåôîðìèðóåìûõ òâåðäûõ òåë, ðàññìàòðèâàåìûõ êàê ñïëîøíûåñðåäû, áûëè ðàçðàáîòàíû â íà÷àëå XIX â. è ñîñòàâëÿþò îñíîâó ñîâðåìåííîéòåîðèè óïðóãîñòè.
Áîëüøîé âêëàä â ðàçðàáîòêó ýòèõ îñíîâ âíåñ ôðàíöóçñêèéìàòåìàòèê Î. Êîøè, êîòîðûé ââåë ïîíÿòèÿ íàïðÿæåíèé è äåôîðìàöèé, îòíîñÿùèõñÿ ê êàæäîé òî÷êå òâåðäîãî òåëà.Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîä äåéñòâèåì ïðèëîæåííûõ ñèë òâåðäîå òåëî â òîéèëè èíîé ñòåïåíè ìåíÿåò ñâîþ ôîðìó è îáúåì, ÷òî íà ìèêðîñêîïè÷åñêîìóðîâíå îçíà÷àåò îòíîñèòåëüíîå ñìåùåíèå àòîìîâ, èç êîòîðûõ ýòî òåëî ñîñòîèò.Äëÿ óäîáñòâà îïèñàíèÿ äåôîðìàöèé ìûñëåííî ðàçîáüåì òåëî íà ôèçè÷åñêèìàëûå îáúåìû (èíîãäà èõ áóäåì íàçûâàòü ÷àñòèöû), ñîäåðæàùèå, îäíàêî, áîëüøîå ÷èñëî àòîìîâ.
 îòñóòñòâèå äåôîðìàöèé âñå òàêèå îáúåìû íàõîäÿòñÿ â ìåõàíè÷åñêîì ðàâíîâåñèè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóììà ñèë è ìîìåíòîâ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà âûäåëåííûé îáúåì ñî ñòîðîíû ïðèìûêàþùèõ ê íåìó äðóãèõ îáúåìîâ,ðàâíà íóëþ. Èçìåíåíèÿ ïîëîæåíèé àòîìîâ ïðè äåôîðìàöèÿõ ïðèâîäÿò ê òîìó,÷òî â òåëå âîçíèêàþò âíóòðåííèå ñèëû, èëè âíóòðåííèå íàïðÿæåíèÿ, ñòðåìÿùèåñÿ âåðíóòü åãî â ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ. Çàìåòèì, ÷òî âíóòðåííèå ñèëû, êàêñèëû ìåæìîëåêóëÿðíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, ÿâëÿþòñÿ êîðîòêîäåéñòâóþùèìè.Òîëüêî ñîñåäíèå àòîìû èëè ìîëåêóëû ýôôåêòèâíî âçàèìîäåéñòâóþò äðóã ñäðóãîì.
Ýòî óïðîùàåò ñèòóàöèþ, ïîñêîëüêó ïîçâîëÿåò ñ÷èòàòü, ÷òî âíóòðåííèåñèëû, äåéñòâóþùèå íà ìàëûé îáúåì, ïðèëîæåíû ê îãðàíè÷èâàþùåé åãî ïîâåðõíîñòè.251Ðèñ. 15.1Ðèñ. 15.2Ýëåìåíòàðíûå äåôîðìàöèè. Êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà. Ïðè âñåì ìíîãîîáðàçèè äåôîðìàöèé ïðîèçâîëüíîãî òâåðäîãî òåëà äåôîðìàöèþ ëþáîãî ýëåìåíòàðíîãî îáúåìà, èç êîòîðîãî ýòî òåëî ñîñòîèò, ìîæíî ñâåñòè ê äâóì åå âèäàì ðàñòÿæåíèþ (ñæàòèþ) è ñäâèãó.Îáðàòèìñÿ ê îïûòó. Çàêðåïèì îäèí êîíåö ðåçèíîâîãî áðóñêà äëèíîé l, èìåþùåãî êâàäðàòíîå ñå÷åíèå, è ïîòÿíåì çà äðóãîé êîíåö ñ ïîñòîÿííîé ñèëîé F,ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé ïî òîðöó áðóñêà.
Áðóñîê ïðèäåò â íîâîå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ñ äëèíîé l1 > l (ðèñ. 15.1). Òàêóþ ïðîñòåéøóþ äåôîðìàöèþ ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü îòíîñèòåëüíûì óäëèíåíèåìε = (l1 − l )/l = Δl/l,(15.1)ïðè ýòîì ðàñòÿæåíèþ ñîîòâåòñòâóåò ε > 0, à ñæàòèþ ε < 0.Äåôîðìàöèþ ñäâèãà ìîæíî íàáëþäàòü â îïûòå ñ ðåçèíîâûì êóáèêîì, åñëèçàêðåïèòü, íàïðèìåð, åãî íèæíåå îñíîâàíèå, à ê âåðõíåé ãðàíè ïðèëîæèòüðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííóþ ïî ïëîùàäè è íàïðàâëåííóþ âäîëü ýòîé ãðàíèñèëó F (ðèñ. 15.2). Äåôîðìàöèÿ â ýòîì ñëó÷àå áóäåò õàðàêòåðèçîâàòüñÿ âåëè÷èíîéγ = tg α,(15.2)çàâèñÿùåé îò óãëà ñäâèãà α, êîòîðûé â áîëüøèíñòâå ïðàêòè÷åñêè âàæíûõ ñëó÷àåâ ìàë, òàê ÷òî γ ≈ α.Îòìåòèì òàêæå èçâåñòíûé ôàêò, ÷òî ïðè ðàñòÿæåíèè ðåçèíîâîãî øíóðà åãîïîïåðå÷íûé ðàçìåð d óìåíüøàåòñÿ (äî âåëè÷èíû d1, ðèñ.
15.1). Òàêîå ïîïåðå÷íîå ñæàòèå õàðàêòåðèçóåòñÿ âåëè÷èíîéε⊥ = (d1 − d )/d = Δd/d.(15.3)Îïûòíûì ïóòåì óñòàíîâëåíî, ÷òî ïðè ìàëûõ äåôîðìàöèÿõ îòíîøåíèå ε⊥ êε äëÿ äàííîãî ìàòåðèàëà èìååò îäíî è òî æå çíà÷åíèå. Ïîýòîìó â òåîðèè óïðóãîñòè ìàòåðèàë õàðàêòåðèçóåòñÿ êîýôôèöèåíòîì Ïóàññîíàμ = −(ε⊥ /ε) > 0.(15.4)Êàêîâî ÷èñëåííîå çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà Ïóàññîíà? ×òîáû îòâåòèòü íàýòîò âîïðîñ, ïîäñ÷èòàåì èçìåíåíèå îáúåìà ðåçèíîâîãî øíóðà.  îòñóòñòâèåäåôîðìàöèè åãî îáúåì V = ld 2, îáúåì æå äåôîðìèðîâàííîãî øíóðàV1 = l1d12 = l (1 + ε) d 2(1 + ε ⊥)2 ≈ V (1 + ε + 2ε⊥).252(15.5) ïîñëåäíåì âûðàæåíèè ìû ïðåíåáðåãëè ìàëûìè âåëè÷èíàìè ε⊥2, 2ε ε⊥ è εε⊥2.Ñ ó÷åòîì (15.4) îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå îáúåìà çàïèøåòñÿ â âèäåΔV V1 − V=≈ ε + 2ε ⊥ = ε (1 − 2μ ) .VV(15.6)Ïîñêîëüêó ïðè ðàñòÿæåíèè (ε > 0) îáúåì íèêîãäà íå óìåíüøàåòñÿ, òî 0 < μ ≤≤ 1/2.Ïîíÿòèå î òåíçîðå äåôîðìàöèé.
 ðàññìîòðåííûõ âûøå ñëó÷àÿõ ìû èìåëèäåëî ñ îäíîìåðíûìè (âäîëü îäíîãî íàïðàâëåíèÿ) îäíîðîäíûìè äåôîðìàöèÿìè ðàñòÿæåíèÿ è ñäâèãà, êîãäà ε è γ áûëè îäèíàêîâû äëÿ âñåõ ýëåìåíòàðíûõîáúåìîâ ðåçèíîâîãî áðóñêà è êóáèêà. Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ñèòóàöèÿ ãîðàçäî ñëîæíåå: ñ îäíîé ñòîðîíû, äåôîðìàöèè ìåíÿþòñÿ îò òî÷êè ê òî÷êå (íåîäíîðîäíûåäåôîðìàöèè), à ñ äðóãîé ñòîðîíû, îíè íå ÿâëÿþòñÿ îäíîìåðíûìè. Ïðîèçâîëüíóþ äåôîðìàöèþ â íåêîòîðîé òî÷êå P ìîæíî îïèñàòü, çàäàâ òðè îòíîñèòåëüíûõ óäëèíåíèÿ ε11, ε22, ε33 ìàëåíüêîãî êóáèêà ñ öåíòðîì â òî÷êå P (ðèñ.
15.3) èäâà ñäâèãà êàæäîé èç åãî ãðàíåé: γ12, γ13, γ21, γ23, γ31, γ32. Çäåñü ïåðâûé èíäåêñ iîçíà÷àåò, ÷òî ãðàíü êóáèêà ïåðïåíäèêóëÿðíà îñè xi, âòîðîé èíäåêñ j ÷òîãðàíü ñìåùàåòñÿ âäîëü îñè xj. Òàêèì îáðàçîì, â îáùåì ñëó÷àå íåîäíîðîäíûåäåôîðìàöèè â êàæäîé òî÷êå òåëà õàðàêòåðèçóþòñÿ íàáîðîì èç äåâÿòè âåëè÷èí,ÿâëÿþùèõñÿ ôóíêöèÿìè êîîðäèíàò. Ýòè äåâÿòü âåëè÷èí ïîçâîëÿþò ïîñòðîèòüòåíçîð äåôîðìàöèé (ñì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
