В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 53
Текст из файла (страница 53)
íèæå).Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå ïîäõîä, èñïîëüçóåìûé äëÿ îïèñàíèÿ äåôîðìàöèè âíåêîòîðîé òî÷êå P è ïðèâîäÿùèé ê ïîíÿòèþ òåíçîðà äåôîðìàöèé. Ïóñòü òåëîíàõîäèòñÿ â íåäåôîðìèðîâàííîì ñîñòîÿíèè, è èçâåñòíî ïîëîæåíèå êàæäîé èçåãî ÷àñòèö, çàäàííîå ðàäèóñîì-âåêòîðîì r îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé ñèñòåìûêîîðäèíàò, êàê, íàïðèìåð, ïîëîæåíèå ÷àñòèöû â òî÷êå P íà ðèñ. 15.4. Ïðèäåôîðìàöèè òåëà åãî ÷àñòèöû ñìåùàþòñÿ. Ñìåùåíèå êàæäîé èç íèõ ìîæíîîõàðàêòåðèçîâàòü âåêòîðîì u(x1, x2, x3), ÿâëÿþùèìñÿ ïðè íåîäíîðîäíûõ äåôîðìàöèÿõ ôóíêöèåé êîîðäèíàò. Îäíàêî äåôîðìàöèè â íåêîòîðîé òî÷êå áóäóòîïðåäåëåíû ëèøü òîãäà, êîãäà èçâåñòíî ñìåùåíèå ñîñåäíèõ ÷àñòèö òåëà.
ÒàêèìÐèñ. 15.3Ðèñ. 15.4253îáðàçîì, çàäàíèå ñìåùåíèÿ âñåõ ÷àñòèö òåëà ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò åãî äåôîðìàöèþ.  ñàìîì äåëå, ðàññìîòðèì äâå áåñêîíå÷íî áëèçêèå ÷àñòèöû â òî÷êàõP (x1, x2, x3) è P ′(x1 + dx1, x2 + dx2, x3 + dx3), èìåþùèå ñìåùåíèÿ u(x1, x2, x3) è u′ == u(x1 + dx1, x2 + dx2, x3 + dx3). Êàê âèäíî èç ðèñóíêà, åñëè âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå÷àñòèö â íåäåôîðìèðîâàííîì ñîñòîÿíèè çàäàâàëîñü ðàäèóñîì-âåêòîðîì d l = {dx1,dx2, dx3}, òî â ðåçóëüòàòå äåôîðìàöèè íîâîå âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå õàðàêòåðèçóåòñÿ âåêòîðîìd l′′ = d l + u′′ − u = d l + d u.(15.7) ÷àñòíîñòè, åñëè u′ = u, òî äåôîðìàöèè â òî÷êå P îòñóòñòâóþò.Äëÿ óäîáñòâà îïèñàíèÿ äåôîðìàöèé âîçâåäåì (15.7) â êâàäðàò è áóäåì îïåðèðîâàòü ñ ìîäóëÿìè âåêòîðîâ dl è dl ′.
Òîãäà(dl ′)2 = (d l)2 + 2d l ⋅ du + (du)2.(15.8) ðàâåíñòâå (15.8) ïðåíåáðåæåì ïîñëåäíèì ÷ëåíîì â ïðàâîé ÷àñòè, ïîñêîëüêóñ÷èòàåì äåôîðìàöèè ìàëûìè (du = dl), à ïðîåêöèè âåêòîðà du ïðåäñòàâèì ââèäå ñóìì(d u)i = dui =3∂u∑ ∂x ij =1jdx j ; i = 1, 2, 3.(15.9)Âûðàæåíèå (15.9), ïî ñóùåñòâó, îïèñûâàåò ïðèðàùåíèå êàæäîé èç òðåõ ïðîåêöèé âåêòîðà ñìåùåíèÿ ïðè ïåðåõîäå èç òî÷êè P â òî÷êó P ′ è ñîäåðæèò òðèñëàãàåìûõ, êàæäîå èç êîòîðûõ åñòü ïðîèçâåäåíèå ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè ui âòî÷êå P íà ïðèðàùåíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî àðãóìåíòà dxj.Ðàñïèñûâàÿ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â (15.8) â âèäåd l ⋅ du = dx1 du1 + dx2 du2 + dx3 du3è ïîäñòàâëÿÿ (15.9) â (15.8), ïîëó÷èì:3 33 3(dl ′ )2 = (dl )2 + 2∑ ∑ ∂ui dx j dxi = (dl )2 + 2∑ ∑ U ij dx j dxi ,i =1 j =1 ∂x ji =1 j =1(15.10)ãäåU ij =1 ⎛ ∂ui ∂u j ⎞+2 ⎜⎝ ∂x j ∂xi ⎟⎠(15.11) òåíçîð äåôîðìàöèé, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íûì òåíçîðîì (Uij = Uji).Äëÿ îïèñàíèÿ äåôîðìàöèé â êàæäîé òî÷êå P ìîæíî âûáðàòü òàêóþ ñèñòåìóêîîðäèíàò, â êîòîðîé òîëüêî òðè äèàãîíàëüíûå êîìïîíåíòû òåíçîðà U11, U22 èU33 îòëè÷íû îò íóëÿ.
Êàê è â ñëó÷àå òåíçîðà èíåðöèè, äëÿ êàæäîé òî÷êè òåëà Pñóùåñòâóþò ñâîè òðè ãëàâíûå îñè, îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ ôîðìóëà (15.10) èìååòíàèáîëåå ïðîñòîé âèä:(dl ′ )2 = (dl )2 + 2U 11dx12 + 2U 22dx22 + 2U 33dx32 == dx12 (1 + 2U 11 ) + dx22 (1 + 2U 22 ) + dx32 (1 + 2U 33 ) .254(15.12) êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ðåçèíîâûé êóáèê (ðèñ. 15.5, à), êîòîðûéïðè äåôîðìàöèè ïðèíèìàåò ôîðìó,ïîêàçàííóþ íà ðèñ. 15.5, á. Äëÿ íàãëÿäíîñòè íàíåñåì íà áîêîâóþ ãðàíü êóáèêà ïðÿìîóãîëüíóþ ñåòêó, ðàçáèâàþùóþýòó ãðàíü íà ìàëåíüêèå êâàäðàòèêè ñîñòîðîíàìè, ïàðàëëåëüíûìè åå äèàãîíàëÿì ( ñì. ðèñ.
15.5, à). Ïðè äåôîðìàÐèñ. 15.5öèè êâàäðàòèêè ïðåâðàùàþòñÿ â ïðÿìîóãîëüíèêè. Åñëè ïîä dl è dl ′ ïîíèìàòü äëèíû äèàãîíàëåé ýëåìåíòàðíûõ êâàäðàòèêà è ïðÿìîóãîëüíèêà ñîîòâåòñòâåííî, òî ýòè äëèíû ìîæíî ñâÿçàòü ôîðìóëîé (15.12) òîëüêî â ñèñòåìå êîîðäèíàò, îñè êîòîðîé x1 è x2 íàïðàâëåíû âäîëüðåáåð ýëåìåíòàðíûõ ÿ÷ååê (îñü x3 ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè ÷åðòåæà).Îáîáùàÿ ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò, ñëåäóåò ñêàçàòü, ÷òî ïðè ïðîèçâîëüíîéäåôîðìàöèè ãëàâíûå îñè â ëþáîé òî÷êå P äîëæíû áûòü íàïðàâëåíû ïàðàëëåëüíî ðåáðàì òàêîãî ýëåìåíòàðíîãî ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, êîòîðûé ïðè äåôîðìàöèè íå èçìåíÿåò ñâîåé ôîðìû. Äåôîðìàöèè ñäâèãà îòíîñèòåëüíî ãëàâíûõ îñåé êîîðäèíàò îòñóòñòâóþò.
Íèæå áóäåò óñòàíîâëåíà ñâÿçü ìåæäóäåôîðìàöèÿìè ñäâèãà è íåäèàãîíàëüíûìè êîìïîíåíòàìè òåíçîðà äåôîðìàöèé, íî âíà÷àëå âûÿñíèì ôèçè÷åñêèé ñìûñë äèàãîíàëüíûõ êîìïîíåíò U11,U22 è U33.Îòíîñèòåëüíîå óäëèíåíèå êàæäîãî ðåáðà ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâíî ñîîòâåòñòâóþùåé äèàãîíàëüíîé êîìïîíåíòå òåíçîðà äåôîðìàöèé.  ñàìîì äåëå, â ñëó÷àå ãëàâíûõ îñåé, êàê ñëåäóåò èç (15.12),εi =dxi 1 + 2U ii − dxi= 1 + 2U ii − 1 ≈ U ii .dxi(15.13)Ïóñòü â îêðåñòíîñòè òî÷êè P (x1, x2, x3) äåôîðìàöèè òàêîâû, ÷òî ïàðàëëåëåïèïåä ñî ñòîðîíàìè dx1, dx2 è dx3 ïðåâðàùàåòñÿ â äðóãîé ïàðàëëåëåïèïåä.Äëÿ íàãëÿäíîñòè ðàññìîòðèì êàðòèíó äåôîðìàöèé â ïëîñêîñòè Îx1x2 (ðèñ.
15.6,à). Ñìåùåíèÿ âåðøèí ïðÿìîóãîëüíèêà ïðè äåôîðìàöèè èçîáðàæåíû ñîîòâåòñòâóþùèìè âåêòîðàìè. Äëèíû ïðÿìîóãîëüíèêà â íàïðàâëåíèè ãëàâíûõ îñåéÎx1 è Îx2 èçìåíèëèñü äî âåëè÷èídx′1 = dx1 + u1 (x1 + dx1, x2) − u1 (x1, x2);dx′2 = dx2 + u2 (x1, x2 + dx2) − u1 (x1, x2).(15.14)Èç (15.14) ëåãêî âû÷èñëÿþòñÿ îòíîñèòåëüíûå óäëèíåíèÿ:ε1 =dx1′ − dx1 u1 ( x1 + dx1, dx2 ) − u1 ( x1, x2 ) ∂u1=== U 11;dx1dx1∂x1dx ′ − dx2 u2 ( x1, x2 + dx2 ) − u2 ( x1, x2 ) ∂u2ε2 = 2=== U 22 .dx2dx2∂x2(15.15)255Ðèñ.
15.6Ñîîòíîøåíèå (15.13) ïîçâîëÿåò ñâÿçàòü èçìåíåíèå ýëåìåíòàðíîãî îáúåìà ñäèàãîíàëüíûìè êîìïîíåíòàìè òåíçîðà. Îáúåì ýëåìåíòàðíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà äî äåôîðìàöèè ðàâåí dV = dx1dx2dx3, à ïîñëå äåôîðìàöèèdV ′ = dx1′dx2′ dx3′ = dx1dx2dx3 1 + 2U 11 1 + 2U 22 1 + 2U 33 .(15.16)Îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå îáúåìà dV ïðè ìàëûõ äåôîðìàöèÿõ (|Uii| = 1), êàêñëåäóåò èç (15.16), ðàâíî:dV ′ − dV≈ U 11 + U 22 + U 33 .dV(15.17)Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ïðè ñäâèãå îáúåì òåëà íå ìåíÿåòñÿ. Ïîýòîìó ïðè äåôîðìàöèÿõ ñäâèãà ñóììà äèàãîíàëüíûõ êîìïîíåíò òåíçîðà äåôîðìàöèé (èíîãäà óïîòðåáëÿþò òåðìèí «ñëåä òåíçîðà»), ïðèâåäåííîãî ê ãëàâíûì îñÿì, ðàâíàíóëþ.Ïîÿñíèì òåïåðü ôèçè÷åñêèé ñìûñë íåäèàãîíàëüíûõ êîìïîíåíò òåíçîðàäåôîðìàöèé.
Ïóñòü ïàðàëëåëåïèïåä èñïûòûâàåò äåôîðìàöèþ, â ðåçóëüòàòå êîòîðîé ïðÿìîóãîëüíèê, èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 15.6, á, ïðåâðàùàåòñÿ â ïàðàëëåëîãðàìì.  ðàññìàòðèâàåìîì ïðèìåðå ìû îòâëåêàåìñÿ, êàê è ðàíåå, îò ñìåùåíèÿ ÷àñòèö âäîëü îñè Îx3. Ëåãêî ïîäñ÷èòàòü óãëû α1 è α2, íà êîòîðûå ïîâåðíóëèñü ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà îòíîñèòåëüíî ñòîðîí ïðÿìîóãîëüíèêà. Îíè, î÷åâèäíî, ðàâíûα1 ≈ tg α1 = γ12 =u2 ( x1 + dx1, x2 ) − u2 ( x1, x2 ) ∂u2=;dx1dx1α 2 ≈ tg α 2 = γ 21 =u1 ( x1, x2 + dx2 ) − u1 ( x1, x2 ) ∂u1=.dx2dx2Òîãäà ïîëíûé óãîë ñäâèãà â ïëîñêîñòè Îõ1õ2 ñîñòàâèòα = α1 + α 2 =256∂u1 ∂u2+= 2U 12 = 2U 21 .dx2 dx1Òàêèì îáðàçîì, íåäèàãîíàëüíûå êîìïîíåíòû òåíçîðà äåôîðìàöèé îïðåäåëÿþò ñäâèãîâûå óãëû α â ñîîòâåòñòâóþùèõ ïëîñêîñòÿõ.Âîçâðàùàÿñü ê âåëè÷èíàì îòíîñèòåëüíûõ óäëèíåíèé εii è ñäâèãîâ γi j, ââåäåííûì â íà÷àëå äàííîãî ðàçäåëà, òåíçîð äåôîðìàöèé ìîæíî çàïèñàòü â âèäå⎛U 11 U 12⎜µU = U ij = ⎜U 21 U 22⎜U⎝ 31 U 32⎛ε11⎜U 13 ⎞ ⎜⎟1U 23 ⎟ = ⎜ ( γ 21 + γ12 )2⎜U 33 ⎟⎠ ⎜ 1⎜ ( γ 31 + γ13 )⎝21( γ + γ 21 )2 12ε221( γ + γ 23 )2 321( γ + γ31 ) ⎞⎟2 13⎟1( γ 23 + γ32 ) ⎟ .
(15.18)2⎟⎟ε33⎟⎠Óïðóãèå äåôîðìàöèè. Ìîäóëè Þíãà è ñäâèãà. Êàê óæå îòìå÷àëîñü âûøå, ïðèäåôîðìàöèÿõ âîçíèêàþò âíóòðåííèå íàïðÿæåíèÿ, êîòîðûå, â îáùåì ñëó÷àå,çàâèñÿò íå òîëüêî îò äåôîðìàöèé, íî è îò ñêîðîñòåé, ñ êîòîðûìè ýòè äåôîðìàöèè ïðîèñõîäÿò.  ýòîì ëåãêî óáåäèòüñÿ íà îïûòå, åñëè âçÿòü ïîëèìåðíîåâåùåñòâî, êîòîðîå â îáû÷íûõ óñëîâèÿõ ìåäëåííî ðàñòåêàåòñÿ ïîäîáíî çàìàçêå.Ìîæíî áåç îñîáûõ óñèëèé èçìåíèòü åãî ôîðìó, åñëè äåëàòü ýòî ìåäëåííî. Îäíàêî, åñëè èç ýòîãî âåùåñòâà âûëåïèòü øàðèê, òî ëåãêî îáíàðóæèòü, ÷òî òàêîéøàðèê îáëàäàåò õîðîøèìè óïðóãèìè ñâîéñòâàìè, ïîäñêàêèâàÿ ïîñëå óäàðà îáïîë ïðàêòè÷åñêè íà òó æå âûñîòó, ñ êîòîðîé îí áûë áðîøåí áåç íà÷àëüíîéñêîðîñòè.
Ýòîò îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî íàïðÿæåíèÿ, ïîäîáíî ñèëàì âÿçêîãî òðåíèÿ, âîçðàñòàþò ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ ñêîðîñòè äåôîðìàöèè. Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî íàïðÿæåíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ òîëüêî äåôîðìàöèÿìè. Òàêèåòåëà íàçûâàþòñÿ àáñîëþòíî óïðóãèìè. Çàìå÷àòåëüíûì ñâîéñòâîì àáñîëþòíî óïðóãèõ òåë ÿâëÿåòñÿ èõ ñïîñîáíîñòü ïîëíîñòüþ âîññòàíàâëèâàòü ñâîþ ôîðìó ïîñëåñíÿòèÿ âíåøíèõ âîçäåéñòâèé.Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ðàñòÿæåíèå (èëè ñæàòèå) ñòåðæíÿ ñ ïëîùàäüþ ñå÷åíèÿ S ïîä äåéñòâèåì ñèëû F, ïðèëîæåííîé ïåðïåíäèêóëÿðíî ê òîðöåâîéãðàíè. Ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì âîçðàñòàíèè íàãðóçêè äåôîðìàöèè âíà÷àëå îäíîðîäíû ïî äëèíå ñòåðæíÿ è ðàñòóò ïðîïîðöèîíàëüíî íàãðóçêå, ò.
å.ε=l1 − lF= χ = χσ,lSãäå σ = F/S íîðìàëüíîå íàïðÿæåíèå.Ïðîïîðöèîíàëüíîñòü äåôîðìàöèé ε íàïðÿæåíèþ σ ñîñòàâëÿåò ñîäåðæàíèåçàêîíà Ãóêà. Êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè χ íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîìóäëèíåíèÿ, äëÿ êàæäîãî ìàòåðèàëà îí îïðåäåëÿåòñÿ îïûòíûì ïóòåì. Òàê êàê÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ ε ãîðàçäî ìåíüøå σ, òî χ âåñüìà ìàëàÿ âåëè÷èíà. Ïîýòîìó îáû÷íî ââîäÿò ìîäóëü óïðóãîñòè (ìîäóëü Þíãà) E = χ−1, è çàêîí Ãóêàçàïèñûâàþò â âèäåε = σ/E.(15.19)Âåëè÷èíû σ è Å â ÑÈ èçìåðÿþò â ïàñêàëÿõ (1 Ïà = 1Í/ì2).Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî çàêîí Ãóêà âûïîëíÿåòñÿ ëèøü â îïðåäåëåííîì èíòåðâàëå íàïðÿæåíèé. Åñëè ðàñòÿãèâàòü ñòåðæåíü, ïîñëåäîâàòåëüíî óâåëè÷èâàÿ257Ðèñ. 15.7Ðèñ.
15.8îò íóëÿ ïðèëîæåííóþ ê íåìó ñèëó, òî êàæäûé ðàç ïîñëå ñíÿòèÿ íàãðóçêè äåôîðìàöèÿ èñ÷åçàåò. Îäíàêî ïðè íåêîòîðîì íàïðÿæåíèè σ ≥ σó ïîÿâëÿåòñÿ îñòàòî÷íîå óäëèíåíèå. Ýòî íàïðÿæåíèå σó íàçûâàþò ïðåäåëîì óïðóãîñòè. Íàðèñ. 15.7 èçîáðàæåíà äèàãðàììà ðàñòÿæåíèé ãðàôèê çàâèñèìîñòè σ = σ(ε).Çàêîí Ãóêà âûïîëíÿåòñÿ òîëüêî â ÷àñòè îáëàñòè óïðóãîñòè îáëàñòè ïðîïîðöèîíàëüíîñòè, êîãäà 0 ≤ σ ≤ σï.Ïðè σ > σó íàáëþäàåòñÿ ÿâëåíèå òåêó÷åñòè, êîãäà óäëèíåíèå îáðàçöà ðàñòåòïðè ïðàêòè÷åñêè ïîñòîÿííîé íàãðóçêå σò, íàçûâàåìîé ïðåäåëîì òåêó÷åñòè. Ïðèýòîì òå÷åíèå ìàòåðèàëà ïðîèñõîäèò ðàâíîìåðíî ïî âñåé äëèíå ñòåðæíÿ. Çà ïðåäåëàìè îáëàñòè òåêó÷åñòè äåôîðìàöèè áóäóò óæå íåîäíîðîäíûìè (ðèñ. 15.8) â íåêîòîðîì ìåñòå ìîæíî çàìåòèòü îáðàçîâàíèå øåéêè.
Óâåëè÷åíèå σ â ýòîéîáëàñòè îáóñëîâëåíî èìåííî óìåíüøåíèåì ïëîùàäè S ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿøåéêè, à íå âîçðàñòàíèåì ñèëû F. Ïðè íàïðÿæåíèè σì, íàçûâàåìîì ïðåäåëîìïðî÷íîñòè, â îñëàáëåííîì ñå÷åíèè ñòåðæíÿ ïðîèñõîäèò ðàçðûâ.ßñíî, ÷òî íà ïðàêòèêå ìàòåðèàë íå äîëæåí èñïûòûâàòü îïàñíûõ íàãðóçîê.Ðàñ÷åòû êîíñòðóêöèé ïðîâîäÿò òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû σ < [σ], ãäå [σ] òàêíàçûâàåìîå äîïóñòèìîå íàïðÿæåíèå. Îáû÷íî [σ] < σï, è âñå ðàñ÷åòû ïðîâîäÿòíà îñíîâå çàêîíà Ãóêà. Ïðè ýòîì äîïóñòèìîå íàïðÿæåíèå ñóùåñòâåííî ìåíüøå, ÷åì ïðåäåë ïðî÷íîñòè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
