В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 48
Текст из файла (страница 48)
13.9). Åñëèóäàð (êîðîòêîäåéñòâóþùàÿ ñèëà F) íàíåñåí áëèçêî ê îñè âðàùåíèÿ, òî îñüïðîãèáàåòñÿ â íàïðàâëåíèè äåéñòâèÿ ñèëû F (ðèñ. 13.9, à). Åñëè óäàð íàíåñåíïî íèæíåìó êîíöó ñòåðæíÿ, âáëèçè òî÷êè Â, òî îñü ïðîãèáàåòñÿ â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè (ðèñ. 13.9, á ). Íàêîíåö, åñëè óäàð íàíåñåí â ñòðîãîîïðåäåëåííóþ òî÷êó ñòåðæíÿ Ñ, íàçûâàåìóþ öåíòðîì óäàðà (ðèñ. 13.9, â), òîîñü íå èñïûòûâàåò íèêàêèõ äîïîëíèòåëüíûõ íàãðóçîê, ñâÿçàííûõ ñ óäàðîì.Î÷åâèäíî, â ýòîì ñëó÷àå ñêîðîñòü ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ, ïðèîáðåòàåìîãî227Ðèñ.
13.9òî÷êîé À âìåñòå ñ öåíòðîì ìàññ O, áóäåò êîìïåíñèðîâàòüñÿ ëèíåéíîé ñêîðîñòüþ âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ âîêðóã öåíòðà ìàññ Î (îáà ýòè äâèæåíèÿ èíèöèèðóþòñÿ ñèëîé F è ïðîèñõîäÿò îäíîâðåìåííî).Âû÷èñëèì, íà êàêîì ðàññòîÿíèè l îò òî÷êè ïîäâåñà ñòåðæíÿ íàõîäèòñÿ öåíòðóäàðà. Óðàâíåíèå ìîìåíòîâ îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ OO′ äàåòdω= Fl .dtJ(13.15)Ñèë ðåàêöèè ñî ñòîðîíû îñè, êàê ïðåäïîëàãàåòñÿ, ïðè óäàðå íå âîçíèêàåò,ïîýòîìó íà îñíîâàíèè òåîðåìû î äâèæåíèè öåíòðà ìàññ ìîæíî çàïèñàòümdL0= F,dt(13.16)ãäå m ìàññà òåëà; L0 ñêîðîñòü öåíòðà ìàññ.Åñëè à ðàññòîÿíèå îò îñè äî öåíòðà ìàññ òåëà, òîL0 = ω a,(13.17)è â ðåçóëüòàòå èç óðàâíåíèÿ ìîìåíòîâ è óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññíàõîäèìl =J.ma(13.18)Ïðè ýòîì òî÷êà C (öåíòð óäàðà) ñîâïàäàåò ñ òàê íàçûâàåìûì öåíòðîì êà÷àíèÿ äàííîãî ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà òî÷êîé, ãäå íàäî ñîñðåäîòî÷èòü âñþ ìàññó òåëà, ÷òîáû ïîëó÷åííûé ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê èìåë òàêîé æå ïåðèîäêîëåáàíèé, êàê è äàííûé ôèçè÷åñêèé.
 ñëó÷àå ñïëîøíîãî îäíîðîäíîãî ñòåðæíÿ äëèíîé L èìååì:a=LmL22; J =; l = L.233Îòìåòèì, ÷òî ïîëó÷åííîå äëÿ l âûðàæåíèå (13.18) ñïðàâåäëèâî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî òâåðäîãî òåëà. Ïðè ýòîì íàäî èìåòü â âèäó, ÷òî òî÷êà ïîäâåñà òåëà À228è öåíòð ìàññ Î äîëæíû ëåæàòü íà îäíîé âåðòèêàëè, à îñü âðàùåíèÿ äîëæíà ñîâïàäàòü ñ îäíîé èç ãëàâíûõ îñåé èíåðöèè òåëà, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òî÷êó À.n Ïðèìåð 1.
Ïðè óäàðàõ ïàëêîé äëèíîé L ïîïðåïÿòñòâèþ ðóêà «íå ÷óâñòâóåò» óäàðà (íå èñïûòûâàåò îòäà÷è) â òîì ñëó÷àå, åñëè óäàð ïðèõîäèòñÿ â òî÷êó, ðàñïîëîæåííóþ íà ðàññòîÿ-Ðèñ. 13.1021íèè L − l = L − L = L îò ñâîáîäíîãî êîíöà33ïàëêè.n Ïðèìåð 2. Ïðè ãîðèçîíòàëüíîì óäàðå êèåì ïî áèëüÿðäíîìó øàðó (ðèñ. 13.10)øàð íà÷èíàåò êà÷åíèå áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ â òîì ñëó÷àå, åcëè óäàð íàíåñåí âòî÷êó, íàõîäÿùóþñÿ íà âûñîòå7mR 2J75== Rh=mamR52R âûøå öåíòðà øàðà. Åñëè óäàð áóäåò5íàíåñåí íèæå, êà÷åíèå áóäåò ñîïðîâîæäàòüñÿ ñêîëüæåíèåì â íàïðàâëåíèèäâèæåíèÿ øàðà. Åñëè óäàð íàíåñåí âûøå, òî øàð â òî÷êå êàñàíèÿ ñ áèëüÿðäíûì ñòîëîì áóäåò ïðîñêàëüçûâàòü íàçàä.Ïëîñêîå äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà.
Íàïîìíèì, ÷òî ïðè ïëîñêîì äâèæåíèèâñå òî÷êè òåëà äâèæóòñÿ â ïëîñêîñòÿõ, ïàðàëëåëüíûõ íåêîòîðîé íåïîäâèæíîéïëîñêîñòè, ïîýòîìó äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü äâèæåíèå îäíîãî èç ñå÷åíèé òåëà,íàïðèìåð, òîãî, â êîòîðîì ëåæèò öåíòð ìàññ. Ïðè ðàçëîæåíèè ïëîñêîãî äâèæåíèÿ íà ïîñòóïàòåëüíîå è âðàùàòåëüíîå ñêîðîñòü ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿîïðåäåëåíà íåîäíîçíà÷íî îíà çàâèñèò îò âûáîðà îñè âðàùåíèÿ, îäíàêîóãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ îêàçûâàåòñÿ îäíîé è òîé æå (ñì.ëåêöèþ 11).Åñëè â êà÷åñòâå îñè âðàùåíèÿ âûáðàòü îñü, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç öåíòð ìàññ,òî óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà áóäóò:óðàâíåíèå äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññîò ïîâåðõíîñòè ñòîëà, ò. å.
íà h − R =mdv 0= F0 ;dt(13.19)óðàâíåíèå ìîìåíòîâ îòíîñèòåëüíî îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ìàññ,rdωJ0= M0 .(13.20)dtÎòëè÷èòåëüíîé îñîáåííîñòüþ ïëîñêîãî äâèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îñü âðàùåíèÿ ñîõðàíÿåò ñâîþ îðèåíòàöèþ â ïðîñòðàíñòâå, îñòàâàÿñü ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïëîñêîñòè, â êîòîðîé äâèæåòñÿ öåíòð ìàññ.Åùå ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî óðàâíåíèå ìîìåíòîâ (13.20) çàïèñàíî îòíîñèòåëüíî äâèæóùåãîñÿ öåíòðà ìàññ, îäíàêî, êàê áûëî îòìå÷åíî â íà÷àëå ëåê229Ðèñ.
13.11öèè, îíî èìååò òàêîé æå âèä, êàê è óðàâíåíèåìîìåíòîâ îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé òî÷êè. êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì çàäà÷ó î ñêàòûâàíèè öèëèíäðà ñ íàêëîííîé ïëîñêîñòè.Ïðèâåäåì äâà ñïîñîáà ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ñèñïîëüçîâàíèåì óðàâíåíèé äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà.Ñïîñîá 1. Ðàññìàòðèâàåòñÿ âðàùåíèå öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòðìàññ (ðèñ. 13.11).Ñèñòåìà óðàâíåíèé (13.19)(13.20) èìååòâèädv 0= mg + Fòð + N;dtrdωJ0= R × Fòð .dtm(13.21)(13.22)Ýòó ñèñòåìó íåîáõîäèìî äîïîëíèòü óðàâíåíèåì êèíåìàòè÷åñêîé ñâÿçè:rdv 0dω=R×.(13.23)dtdtÏîñëåäíåå óðàâíåíèå ó÷èòûâàåò òî, ÷òî öèëèíäð ñêàòûâàåòñÿ áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ, ò.
å. ñêîðîñòü òî÷êè Ì öèëèíäðà ðàâíà íóëþ.Çàïèøåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ (13.21) â ïðîåêöèÿõ íà îñü x(âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè), à óðàâíåíèå ìîìåíòîâ (13.22) â ïðîåêöèÿõ íàîñü y, ñîâïàäàþùóþ ñ îñüþ öèëèíäðà. Íàïðàâëåíèÿ îñåé x è ó âûáðàíû òàê,÷òî ïîëîæèòåëüíîìó ëèíåéíîìó óñêîðåíèþ îñè öèëèíäðà ñîîòâåòñòâóåò ïîëîæèòåëüíîå óãëîâîå óñêîðåíèå âðàùåíèÿ.  èòîãå ïîëó÷èìma = mg sin α − Fòð ;J0dω= Fòð R ;dta=dωR.dt(13.24)(13.25)(13.26)Îòñþäàa=g sin α.1 + J 0 mR 2(13.27)Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî âåëè÷èíà Fòð ñèëû òðåíèÿ ñöåïëåíèÿ ìîæåòïðèíèìàòü ëþáîå çíà÷åíèå â èíòåðâàëå îò íóëÿ äî ìàêñèìàëüíîãî, ðàâíîãîâåëè÷èíå ñèëû òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ.
Ýòà ñèëà íå ñîâåðøàåò ðàáîòû, íî îáåñïå÷èâàåò óñêîðåííîå âðàùåíèå öèëèíäðà ïðè åãî ñêàòûâàíèè ñ íàêëîííîé ïëîñêîñòè. äàííîì ñëó÷àåFòð =230g sin αJ0.R 2 1 + J 0 mR 2(13.28)Åñëè öèëèíäð ñïëîøíîé, òî121mR 2 ; a = g sin α; Fòð = mg sin α.233J0 =(13.29)Êà÷åíèå áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ èìååò ìåñòî â ñëó÷àå, åñëèFòð ≤ kN,(13.30)ãäå k êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ; N = mg cos α ñèëà ðåàêöèè îïîðû.Ýòî óñëîâèå ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåìó:èëè1mg sin α ≤ kmg cos α,3(13.31)tg α ≤ 3k.(13.32)Ñïîñîá 2.
Ðàññìàòðèâàåòñÿ âðàùåíèå öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîéîñè, ñîâïàäàþùåé â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè ñ ìãíîâåííîé îñüþ âðàùåíèÿ(ðèñ. 13.12).Ìãíîâåííàÿ îñü âðàùåíèÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó ñîïðèêîñíîâåíèÿ öèëèíäðà ñ ïëîñêîñòüþ (òî÷êó Ì ). Ïðè òàêîì ïîäõîäå îòïàäàåò íåîáõîäèìîñòü â óðàâíåíèè äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ.
Óðàâíåíèå ìîìåíòîâ îòíîñèòåëüíî ìãíîâåííîéîñè èìååò âèärdωJ= R × mg.(13.33)dtÇäåñüJ = J0 + mR2.(13.34) ïðîåêöèè íà îñü âðàùåíèÿ (îñü y)Jdω= Rmg sin ( π − α ) = Rmg sin α.dt(13.35)Óñêîðåíèå öåíòðà ìàññ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç óãëîâîå óñêîðåíèå:a=g sin αdωR =.dt1 + J 0 mR 2(13.36)Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïðè ïëîñêîì äâèæåíèè.Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ òâåðäîãî òåëà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó êèíåòè÷åñêèõ ýíåðãèé ñîñòàâëÿþùèõ åãî ýëåìåíòîâ:T =∑imi Li2=212∑ 2 mi ( v 0 + ui ), (13.37)iãäå v0 ñêîðîñòü öåíòðà ìàññ òåëà; ui ñêîðîñòü i-ãî ýëåìåíòà îòíîñèòåëüíî ñèñòåìûêîîðäèíàò, ñâÿçàííîé ñ öåíòðîì ìàññ è ñîâåðøàþùåé ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå âìåñòåñ íèì.Ðèñ. 13.12231Âîçâîäÿ ñóììó ñêîðîñòåé â êâàäðàò, ïîëó÷èìT =òàê êàê∑ mi uiL022∑ mi + v 0 ∑ mi uiii+m L 2 J ω21mi ui2 = i 0 + 0 ,∑2 i22(13.38)= 0 (ñóììàðíûé èìïóëüñ ÷àñòèö â ñèñòåìå öåíòðà ìàññ ðàâåíiíóëþ).Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïëîñêîì äâèæåíèè êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ðàâíà ñóììåêèíåòè÷åñêèõ ýíåðãèé ïîñòóïàòåëüíîãî è âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèé (òåîðåìà Êåíèãà).Åñëè ðàññìàòðèâàòü ïëîñêîå äâèæåíèå êàê âðàùåíèå âîêðóã ìãíîâåííîé îñè,òî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ òåëà åñòü ýíåðãèÿ âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ.
 ýòîéñâÿçè çàäà÷ó î ñêàòûâàíèè öèëèíäðà ñ íàêëîííîé ïëîñêîñòè ìîæíî ðåøèòü,èñïîëüçóÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè (íàïîìíèì, ÷òî ñèëà òðåíèÿ ïðè êà÷åíèè áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ ðàáîòû íå ñîâåðøàåò). Ïðèðàùåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè öèëèíäðà ðàâíî óáûëè åãî ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè:J ω2= mgh = mgx sin α,2(13.39)ãäå x ñìåùåíèå öèëèíäðà âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè; J = J0 + mR2 ìîìåíòèíåðöèè öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî ìãíîâåííîé îñè âðàùåíèÿ.Ïîñêîëüêó ñêîðîñòü îñè öèëèíäðà L =dx= ωR, òîdtJ L2= mgx sin α.2 R2(13.40)Äèôôåðåíöèðóÿ îáå ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ ïî âðåìåíè, ïîëó÷èìJdLdx= mg2Lsin α,dtdt2R 2(13.41)dLîñè öèëèíäðà áóäåì èìåòü òî æå âûdtðàæåíèå, ÷òî è ïðè äèíàìè÷åñêîì ñïîñîáå ðåøåíèÿ [ñì.
(13.27), (13.36)].Çàìåòèì,÷òî åñëè öèëèíäð êàòèòñÿ ñ ïðîñêàëüçûâàíèåì, òî èçìåíåíèå åãîêèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè áóäåò çàâèñåòü òàêæå è îò ðàáîòû ñèë òðåíèÿ.Äâèæåíèå àêñèàëüíî ñèììåòðè÷íîãî òâåðäîãî òåëà ñ íåïîäâèæíûì öåíòðîììàññ. Òàêîå äâèæåíèå ìîæíî ðåàëèçîâàòü ñ ïîìîùüþ ñïåöèàëüíîãî óñòðîéñòâà, íàçûâàåìîãî êàðäàíîâûì ïîäâåñîì (ðèñ. 13.13).
Ïîëîæåíèå òåëà â ïîäâåñåäîëæíî áûòü òàêèì, ÷òîáû îñè AA ′, BB ′ è CC ′ ïåðåñåêàëèñü â öåíòðå ìàññ. ýòîì ñëó÷àå ïðè ëþáûõ âîçìîæíûõ äâèæåíèÿõ òåëà åãî öåíòð ìàññ îñòàåòñÿíåïîäâèæíûì. Ïðè ýòîì îñü AA′ (â äàííîì ñëó÷àå îñü ñèììåòðèè òåëà) ìîæåò èìåòü ïðîèçâîëüíóþ îðèåíòàöèþ â ïðîñòðàíñòâå.Çàäà÷åé î äâèæåíèè òâåðäîãî òåëà, çàêðåïëåííîãî â òî÷êå, çàíèìàëèñü ìíîãèåó÷åíûå: Ë. Ýéëåð, áîëüøàÿ ÷àñòü æèçíè êîòîðîãî áûëà ñâÿçàíà ñ Ïåòåðáóðãñêîé àêàäåìèåé íàóê, âûäàþùèåñÿ ðóññêèå ó÷åíûå Í. Å.
Æóêîâñêèé, Ñ. Â. Êîâàëåâñêàÿ, Ñ. À. ×àïëûãèí, ôðàíöóçñêèå ó÷åíûå Æ. Ëàãðàíæ, Ñ. Ïóàññîí, Ë. Ïó-îòêóäà äëÿ ëèíåéíîãî óñêîðåíèÿ a =232Ðèñ. 13.13Ðèñ. 13.14àíñî. Îêàçàëîñü, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå ýòà çàäà÷à àíàëèòè÷åñêè íåðàçðåøèìà.Äàæå â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà òîëüêî ïîä äåéñòâèåì ñèëûòÿæåñòè òî÷íîå ðåøåíèå ñóùåñòâóåò ëèøü â íåêîòîðûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ. Îäèíèç ýòèõ ñëó÷àåâ, êîãäà îäíîðîäíîå òåëî âðàùåíèÿ çàêðåïëåíî â öåíòðå ìàññ,ìû ðàññìîòðèì â ýòîé ëåêöèè, äðóãîé, èìåþùèé îòíîøåíèå ê äâèæåíèþ ãèðîñêîïà, â ëåêöèè 14.Óðàâíåíèÿ Ýéëåðà. Ðàññìîòðèì îäíîðîäíîå àêñèàëüíî ñèììåòðè÷íîå òåëîâðàùåíèÿ ñ íåïîäâèæíûì öåíòðîì ìàññ Î (ðèñ. 13.14).
Öåíòðàëüíûé ýëëèïñîèäèíåðöèè òàêîãî òåëà ÿâëÿåòñÿ ýëëèïñîèäîì âðàùåíèÿ ñ îñüþ ñèììåòðèè Oz.Ñèñòåìà êîîðäèíàò x0y0z0 íà ðèñ. 13.14 ñîâïàäàåò ñ ââåäåííîé âûøå ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìîé XYZ, ñèñòåìà xyz æåñòêî ñâÿçàíà ñ òåëîì, ïðè÷åì îñè Ox, Oyè Oz ãëàâíûå öåíòðàëüíûå îñè èíåðöèè òåëà. Ïîñêîëüêó ýòî òåëî âðàùåíèÿ,òî ãëàâíûå îñåâûå ìîìåíòû èíåðöèè Jx è Jy ðàâíû ìåæäó ñîáîé: Jx = Jy.Ñóììàðíûé ìîìåíò ñèë òÿæåñòè îòíîñèòåëüíî òî÷êè çàêðåïëåíèÿ (öåíòðàìàññ) ðàâåí íóëþ, èíûõ ñèë, êðîìå ñèëû òÿæåñòè, íåò, ïîýòîìó óðàâíåíèåìîìåíòîâ (13.2) èìååò âèädL= 0,dt(13.42)L = const,(13.43)îòêóäàò. å. ìîìåíò èìïóëüñà ðàñêðó÷åííîãî è ïðåäîñòàâëåííîãî ñàìîìó ñåáå òåëà îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì ïî âåëè÷èíå è íàïðàâëåíèþ.Îòìåòèì, ÷òî åñëè èññëåäóåìîå òåëî øàð, òî Jz = Jx = Jy, è öåíòðàëüíûéýëëèïñîèä èíåðöèè ïðåâðàùàåòñÿ â ñôåðó. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ëþáàÿ öåíòðàëüíàÿ233îñü âðàùåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ãëàâíîé îñüþ èíåðöèè øàðà, ò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
