В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Ïóñòü îñü ãèðîñêîïà óêðåïëåíà â U-îáðàçíîé ðàìå, êîòîðàÿ ìîæåò ïîâîðà÷èâàòüñÿ âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè OO ′ (ðèñ. 14.10). Òàêîéãèðîñêîï îáû÷íî íàçûâàþò íåñâîáîäíûì åãî îñü ëåæèò â ãîðèçîíòàëüíîéïëîñêîñòè è âûéòè èç íåå íå ìîæåò.Ðàñêðóòèì ãèðîñêîï âîêðóã åãî îñè ñèììåòðèè äî áîëüøîé óãëîâîé ñêîðîñòè (ìîìåíò èìïóëüñà L) è ñòàíåì ïîâîðà÷èâàòü ðàìór ñ ãèðîñêîïîì âîêðóãâåðòèêàëüíîé îñè OO ′ ñ íåêîòîðîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ω, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ.14.10.
Ìîìåíò èìïóëüñà L ïîëó÷èò ïðè ýòîì ïðèðàùåíèå dL, êîòîðîå äîëæíîáûòü îáåñïå÷åíî ìîìåíòîì ñèë M, ïðèëîæåííûì ê îñè ãèðîñêîïà. Ìîìåíò Mñîçäàí ïàðîé ñèë F è F ′, âîçíèêàþùèõ ïðè âûíóæäåííîì ïîâîðîòå îñè ãèðîñêîïà è äåéñòâóþùèõ íà îñü ñî ñòîðîíû ðàìû. Ïî òðåòüåìó çàêîíó Íüþòîíà,îñü äåéñòâóåò íà ðàìó ñ ñèëàìè Φ è Φ′ (ðèñ. 14.10). Ýòè ñèëû íàçûâàþòñÿ ãèðîñêîïè÷åñêèìè; îíè ñîçäàþò ãèðîñêîïè÷åñêèé ìîìåíò M ′. Âîçíèêíîâåíèå ãèðîñêîïè÷åñêèõ ñèë íàçûâàþò ãèðîñêîïè÷åñêèì ýôôåêòîì. Èìåííî ýòè ñèëû ìûè ÷óâñòâóåì, ïûòàÿñü ïîâåðíóòü îñü âðàùàþùåãîñÿ êîëåñà (ñì. ðèñ.
14.9).Ãèðîñêîïè÷åñêèé ìîìåíò íåòðóäíî ðàññ÷èòàòü. Ïîëîæèì, ñîãëàñíî ýëåìåíòàðíîé òåîðèè, ÷òîrL = Jω,244(14.16)Ðèñ. 14.9Ðèñ. 14.10rãäå J ìîìåíò èíåðöèè ãèðîñêîïà îòíîñèòåëüíî åãî îñè ñèììåòðèè; ω óãëîâàÿ ñêîðîñòü ñîáñòâåííîãî âðàùåíèÿ.Òîãäà ìîìåíò âíåøíèõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà îñü, áóäåò ðàâåírrr(14.17)M = Ω × L = Ω × (Jω),rãäå Ω óãëîâàÿ ñêîðîñòü âûíóæäåííîãî ïîâîðîòà (èíîãäà ãîâîðÿò: âûíóæäåííîé ïðåöåññèè).Ñî ñòîðîíû îñè íà ïîäøèïíèêè äåéñòâóåò ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûéìîìåíòr rM ′ = −M = Jω × Ω.(14.18)Òàêèì îáðàçîì, âàë ãèðîñêîïà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 14.10, áóäåò ïðèæèìàòüñÿ êâåðõó â ïîäøèïíèêå  è îêàçûâàòü äàâëåíèå íà íèæíþþ ÷àñòü ïîäøèïíèêà À.Íàïðàâëåíèå ãèðîñêîïè÷åñêèõ ñèë ìîæíî ëåãêî íàéòè ñ ïîìîùüþ ïðàâèëà, ñôîðìóëèðîâàííîãî Í.
Å. Æóêîâñêèì: ãèðîñêîïè÷åñêèå ñèëû ñòðåìÿòñÿ ñîâìåñòèòü ìîìåíò èìïóëüñà ãèðîñêîïà ñ íàïðàâëåíèåì óãëîâîé ñêîðîñòè âûíóæäåííîãî ïîâîðîòà. Ýòî ïðàâèëî ìîæíî íàãëÿäíî ïðîäåìîíñòðèðîâàòü ñ ïîìîùüþ óñòðîéñòâà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 14.11. Îñü ãèðîñêîïà çàêðåïëåíà â êîëüöå,êîòîðîå ìîæåò ñâîáîäíî ïîâîðà÷èâàòüñÿ â îáîéìå. Ïðèâåäåìîáîéìó âî âðàùåríèå âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ω (âûíóæäåííûé ïîâîðîò),è êîëüöî ñ ãèðîñêîïîìáóäåò ïîâîðà÷èâàòüñÿ â îáîéìå äî òåõ ïîð, ïîêà íàrïðàâëåíèÿ L è Ω íå ñîâïàäóò. Òàêîé ýôôåêò ëåæèò â îñíîâå èçâåñòíîãî ìàãíèòîìåõàíè÷åñêîãî ÿâëåíèÿ íàìàãíè÷èâàíèÿ æåëåçíîãî ñòåðæíÿ ïðè åãî âðàùåíèè âîêðóã ñîáñòâåííîé îñè; ïðè ýòîì ñïèíû ýëåêòðîíîâ âûñòðàèâàþòñÿâäîëü îñè ñòåðæíÿ (îïûò Áàðíåòòà).Ãèðîñêîïè÷åñêèå óñèëèÿ èñïûòûâàþò ïîäøèïíèêè îñåé áûñòðî âðàùàþùèõñÿ ÷àñòåé ìàøèíû ïðè ïîâîðîòå ñàìîé ìàøèíû (òóðáèíû íà êîðàáëå,245âèíòà íà ñàìîëåòå è ò.
ä.). Ïðè áîëüøèõçíà÷åíèÿõ óãëîâîé ñêîðîñòè âûíóæäåííîé ïðåöåññèè Ω è ñîáñòâåííîãî âðàùåíèÿ ω, à òàêæå áîëüøèõ ðàçìåðàõ âðàùàþùèõñÿ ÷àñòåé ýòè ñèëû ìîãóò ñòàòüïðè÷èíîé ðàçðóøåíèÿ ïîäøèïíèêîâ.Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ïðèìåðûïðîÿâëåíèÿ ãèðîñêîïè÷åñêèõ ñèë.n Ïðèìåð 1.
Ëåãêèé îäíîìîòîðíûé ñàìîëåò ñîâåðøàåò ëåâûé âèðàæ (ðèñ.14.12). Ãèðîñêîïè÷åñêèé ìîìåíò ïåðåÐèñ. 14.11äàåòñÿ ÷åðåç ïîäøèïíèêè íà êîðïóñ ñàìîëåòà è äåéñòâóåò íà íåãî, ñòðåìÿñürñîâìåñòèòü îñü ñîáñòâåííîãîâðàùåíèÿâèíòà (âåêòîð ω) ñ îñüþ âûíóæäåííîérïðåöåññèè (âåêòîð Ω).
Ñàìîëåò íà÷èíàåò çàäèðàòü íîñ êâåðõó, è ëåò÷èê äîëæåí«äàòü ðó÷êó îò ñåáÿ», ò. å. îïóñòèòü âíèç ðóëü âûñîòû. Òàêèì îáðàçîì, ìîìåíòãèðîñêîïè÷åñêèõ ñèë áóäåò ñêîìïåíñèðîâàí ìîìåíòîì àýðîäèíàìè÷åñêèõ ñèë.n Ïðèìåð 2. Ïðè êèëåâîé êà÷êå êîðàáëÿ (ñ íîñà íà êîðìó è îáðàòíî) ðîòîðáûñòðîõîäíîé òóðáèíû ó÷àñòâóåò â äâóõ äâèæåíèÿõ: âðàùàåòñÿ âîêðóã ñâîåérîñè ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω è ïîâîðà÷èâàåòñÿ âîêðóã ãîðèçîíòàëüíîéîñè, ïåðrïåíäèêóëÿðíîé âàëó òóðáèíû, ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ω (ðèñ. 14.13). Ïðè ýòîìâàë òóðáèíû áóäåò äàâèòü íà ïîäøèïíèêè ñ ñèëàìè Φ è Φ′, ëåæàùèìè â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè. Ïðè êà÷êå ýòè ñèëû, êàê è ãèðîñêîïè÷åñêèé ìîìåíò,ïåðèîäè÷åñêè ìåíÿþò ñâîå íàïðàâëåíèå íà ïðîòèâîïîëîæíîå è ìîãóò âûçâàòü«ðûñêàíèå» êîðàáëÿ, åñëè îí íå ñëèøêîì âåëèê (íàïðèìåð, áóêñèð).Äîïóñòèì, ÷òî ìàññà òóðáèíû m = 3000 êã, åå ðàäèóñ èíåðöèè Rèí = J / m == 0,5 ì, ÷àñòîòà âðàùåíèÿ òóðáèíû n = 3000 ìèí−1, ìàêñèìàëüíàÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü êîðïóñà ñóäíà ïðè êèëåâîé êà÷êå Ω = 5 ãðàä/ñ, ðàññòîÿíèå ìåæäó ïîäøèïíèêàìè l = 2 ì.
Ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ãèðîñêîïè÷åñêîé ñèëû, äåéñòâóþùåé íà êàæäûé èç ïîäøèïíèêîâ, ñîñòàâèòΦ=2⋅ 2πnΩM J ωΩ mRèí==.lll(14.19)Ïîñëå ïîäñòàíîâêè ÷èñëîâûõ äàííûõ ïîëó÷èì Ô ≈ 10 êÍ.Ðèñ. 14.12246Ðèñ. 14.13n Ïðèìåð 3. Ãèðîñêîïè÷åñêèå ñèëû ìîãóò âûçâàòü òàê íàçûâàåìûå êîëåáàíèÿ«øèììè» êîëåñ àâòîìîáèëÿ (ðèñ. 14.14). Êîëåñó, âðàùàþùåìóñÿ âîêðóã îñè ÀÀ ′ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω, â ìîìåíò íàåçäà íà ïðåïÿòñòâèå ñîîáùàåòñÿ äîïîëíèòåëüíàÿ ñêîðîñòü âûíóæäåííîãî ïîâîðîòà âîêðóã îñè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïëîñêîñòè ðèñóíêà. Ïðè ýòîì âîçíèêàåò ìîìåíò ãèðîñêîïè÷åñêèõ ñèë, è êîëåñîíà÷èíàåò ïîâîðà÷èâàòüñÿ âîêðóã îñè BB ′. Ïðèîáðåòàÿ óãëîâóþ ñêîðîñòü ïîâîðîòà âîêðóã îñè BB ′, êîëåñî ñíîâà íà÷èíàåò ïîâîðà÷èâàòüñÿ âîêðóã îñè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïëîñêîñòè ðèñóíêà.  ðåçóëüòàòå âîçíèêàþò êîëåáàòåëüíûå äâèæåíèÿ êîëåñà âîêðóã äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ îñåé: îñè ïîâîðîòà BB ′è îñè, ñîâìåùåííîé ñ íàïðàâëåíèåì äâèæåíèÿ àâòîìîáèëÿ.
Åñëè â êîíñòðóêöèè àâòîìîáèëÿ íå ïðèíÿòü ñïåöèàëüíûõ ìåð, ýòè êîëåáàíèÿ ìîãóò ïðèâåñòè êñðûâó ïîêðûøêè ñ îáîäà êîëåñà è ïîëîìêå äåòàëåé åãî êðåïëåíèÿ. Ñîâðåìåííûå êîíñòðóêöèè ïîäâåñêè îáåñïå÷èâàþò óäåðæàíèå êîëåñà â âåðòèêàëüíîéïëîñêîñòè ïðè íàåçäå íà ïðåïÿòñòâèå.n Ïðèìåð 4. Ñ ãèðîñêîïè÷åñêèì ýôôåêòîì ìû ñòàëêèâàåìñÿ è ïðè åçäå íàâåëîñèïåäå (ðèñ. 14.15). Ñîâåðøàÿ, íàïðèìåð, ïîâîðîò íàïðàâî, âåëîñèïåäèñòèíñòèíêòèâíî ñìåùàåò öåíòð òÿæåñòè ñâîåãî òåëà âïðàâî, êàê áû çàâàëèâàÿâåëîñèïåä.
Âîçíèêøåå ïðèíóäèòåëüíîå âðàùåíèå âåëîñèïåäà ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ω ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ ãèðîñêîïè÷åñêèõ ñèë ñ ìîìåíòîì M ′. Íà çàäíåìêîëåñå ýòîò ìîìåíò áóäåò ïîãàøåí â ïîäøèïíèêàõ, æåñòêî ñâÿçàííûõ ñ ðàìîé.Ïåðåäíåå æå êîëåñî, èìåþùåå ïî îòíîøåíèþ ê ðàìå ñâîáîäó âðàùåíèÿ âðóëåâîé êîëîíêå, ïîä äåéñòâèåì ãèðîñêîïè÷åñêîãî ìîìåíòà íà÷íåò ïîâîðà÷èâàòüñÿ êàê ðàç â òîì íàïðàâëåíèè, êîòîðîå áûëî íåîáõîäèìî äëÿ ïðàâîãî ïîâîðîòà âåëîñèïåäà. Îïûòíûå âåëîñèïåäèñòû ñîâåðøàþò ïîäîáíûå ïîâîðîòû,÷òî íàçûâàåòñÿ «áåç ðóê».Âîïðîñ î âîçíèêíîâåíèè ãèðîñêîïè÷åñêèõ ñèë ìîæíî ðàññìàòðèâàòü è ñ äðóãîé òî÷êè çðåíèÿ. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ãèðîñêîï, èçîáðàæåííûé íà ðèñ.
14.10,ó÷àñòâóåò îäíîâðåìåííî â äâóõ äâèæåíèÿõ: îòíîñèòåëüíîì âðàùåíèè âîêðóãrñîáñòâåííîé îñè ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω è ïåðåíîñíîì,âûíóæäåííîì ïîâîðîròå âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ω. Òîãäà ýëåìåíòàðíûå ìàññûÐèñ. 14.14Ðèñ. 14.15247Δmi, íà êîòîðûå ìîæíî ðàçáèòü äèñê ãèðîñêîïà (ìàëåíüêèå êðóæêè íà ðèñ.14.16), äîëæíû èñïûòûâàòü êîðèîëèñîâû óñêîðåíèÿrai êîð = 2Ω × vi îòí.(14.20)Ýòè óñêîðåíèÿ áóäóò ìàêñèìàëüíû äëÿ ìàññ, íàõîäÿùèõñÿ â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè íà âåðòèêàëüíîì äèàìåòðå äèñêà, è ðàâíû íóëþ äëÿ ìàññ, êîòîðûå íàõîäÿòñÿ íà ãîðèçîíòàëüíîìäèàìåòðå.  ñèñòåìå îòñ÷åòà, âðàùàþùåéñÿ ñróãëîâîé ñêîðîñòüþ Ω (â ýòîé ñèñòåìå îòñ÷åòà îñü ãèðîñêîïà íåïîäâèæíà), íàìàññû Δmi áóäóò äåéñòâîâàòü êîðèîëèñîâû ñèëû èíåðöèèrFi êîð = 2Δmivi îòí × Ω.(14.21)Ýòè ñèëû ñîçäàþò ìîìåíò M′, êîòîðûéñòðåìèòñÿ ïîâåðíóòü îñü ãèðîñêîïàrròàê, ÷òîáû âåêòîð ω ñîâìåñòèëñÿ ñ Ω.
Ìîìåíò M′ äîëæåí áûòü óðàâíîâåøåíìîìåíòîì ñèë ðåàêöèè F è F ′ (ñì. ðèñ. 14.10), äåéñòâóþùèõ íà îñü ãèðîñêîïà ñîñòîðîíû ïîäøèïíèêîâ. Ïî òðåòüåìó çàêîíó Íüþòîíà, îñü áóäåò äåéñòâîâàòü íàïîäøèïíèêè, à ÷åðåç íèõ è íà ðàìó, â êîòîðîé îíà çàêðåïëåíà, ñ ãèðîñêîïè÷åñêèìè ñèëàìè Φ è Φ′. Ïîýòîìó è ãîâîðÿò, ÷òî ãèðîñêîïè÷åñêèå ñèëû îáóñëîâëåíû ñèëàìè Êîðèîëèñà.Âîçíèêíîâåíèå êîðèîëèñîâûõ ñèë ìîæíî ëåãêî ïðîäåìîíñòðèðîâàòü, åñëèâìåñòî æåñòêîãî âçÿòü ãèáêèé ðåçèíîâûé äèñê. Ïðè ïîâîðîòå âàëà ñ ðàñêðó÷åííûì äèñêîì âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè îí èçãèáàåòñÿ â íàïðàâëåíèè äåéñòâèÿêîðèîëèñîâûõ ñèë òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ.
14.17.Âîë÷êè. Âîë÷êè êàðäèíàëüíî îòëè÷àþòñÿ îò ãèðîñêîïîâ òåì, ÷òî â îáùåìñëó÷àå îíè íå èìåþò íè îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷êè. Ïðîèçâîëüíîå äâèæåíèåâîë÷êîâ èìååò ñëîæíûé õàðàêòåð: áóäó÷è ðàñêðó÷åíû âîêðóã îñè ñèììåòðèè èïîñòàâëåíû íà ãîðèçîíòàëüíóþ ïëîñêîñòü, îíè ïðåöåññèðóþò, «áåãàþò» ïîïëîñêîñòè, âûïèñûâàÿ çàìûñëîâàòûå ôèãóðû, à èíîãäà äàæå ïåðåâîðà÷èâàþòñÿ ñ îäíîãî êîíöà íà äðóãîé. Íå âäàâàÿñü â äåòàëè òàêîãî íåîáû÷íîãî ïîâåäåíèÿ âîë÷êîâ, îòìåòèì ëèøü, ÷òî íåìàëîâàæíóþ ðîëü çäåñü èãðàåò ñèëà òðåíèÿ, âîçíèêàþùàÿ â òî÷êå ñîïðèêîñíîâåíèÿ âîë÷êà ñ ïëîñêîñòüþ.Ðèñ. 14.16248Ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
