В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Ðàññìàòðèâàÿ æèäêîñòè è ãàçû êàêñïëîøíûå ñðåäû, ìû îòìåòèì, ÷òî æèäêîñòè, íå èìåÿ îïðåäåëåííîé ôîðìû,ñîõðàíÿþò ïðàêòè÷åñêè íåèçìåííûì ñâîé îáúåì. Ãàçû æå íå èìåþò íè îïðåäåëåííîé ôîðìû, íè ôèêñèðîâàííîãî îáúåìà. æèäêîñòè (äàëåå ýòîò òåðìèí áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ è äëÿ ãàçîâ, çà èñêëþ÷åíèåì òîëüêî îòäåëüíî îãîâàðèâàåìûõ ñëó÷àåâ) ïðè ñæàòèè ñèëû îòòàëêèâàíèÿ ìåæäó ìîëåêóëàìè ìîãóò áûòü âåñüìà çíà÷èòåëüíûìè. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ãîâîðÿò íå î ðàñòÿãèâàþùèõ è ñäâèãîâûõ íàïðÿæåíèÿõ σij, à î äàâëåíèÿõpij = −σij êàê îá îòðèöàòåëüíûõ íàïðÿæåíèÿõ. Ñîâîêóïíîñòü äàâëåíèé pij, äåéñòâóþùèõ íà ïëîùàäêè, ïåðïåíäèêóëÿðíûå îñÿì êîîðäèíàò è îãðàíè÷èâàþùèå êóáè÷åñêèé ýëåìåíò æèäêîñòè, îáðàçóåò òåíçîð äàâëåíèé.Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè ìåäëåííîì îòíîñèòåëüíîì ïåðåìåùåíèè äâóõïðèëåãàþùèõ ñëîåâ æèäêîñòè òàíãåíöèàëüíûå íàïðÿæåíèÿ pij (i ≠ j ) ÿâëÿþòñÿíåçíà÷èòåëüíûìè.
 ýòîì ìîæíî óáåäèòüñÿ, ïðèâåäÿ â äâèæåíèå òåëî, ïëàâàþùåå íà ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè, ñ ïîìîùüþ ñêîëü óãîäíî ìàëîé ñèëû. Ïîýòîìóñëåäóåò ïðèíÿòü, ÷òî â ñîñòîÿíèè ïîêîÿ òàíãåíöèàëüíûå íàïðÿæåíèÿ pij ðàâíûíóëþ.Æèäêîñòü è ãàç â ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ. Óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ. Çàêîí Ïàñêàëÿ.Èç óñëîâèé ðàâíîâåñèÿ ëþáîãî ýëåìåíòàðíîãî îáúåìà ïîêîÿùåéñÿ æèäêîñòèñëåäóåò, ÷òîp11 = p22 = p33 = p,(16.1)ãäå äàâëåíèå p âîçíèêàåò âñëåäñòâèå âîçäåéñòâèÿ ñîñåäíèõ ýëåìåíòîâ æèäêîñòè è ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðíîé âåëè÷èíîé.Çàìåòèì, ÷òî ñîîòíîøåíèÿ (16.1) ñïðàâåäëèâû íåçàâèñèìî îò òîãî, äåéñòâóþò íà ýëåìåíòàðíûé îáúåì êàêèå-ëèáî ìàññîâûå ñèëû (òÿæåñòè, èíåðöèè) èëè íåò. Ñ óìåíüøåíèåì îáúåìà ìàññîâûå ñèëû óáûâàþò ïðîïîðöèîíàëüíî îáúåìó ýëåìåíòà æèäêîñòè, à ñèëû äàâëåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíî ïëîùàäèåãî ïîâåðõíîñòè.
 ñèëó ýòîãî ðàññìàòðèâàåìûé ýëåìåíòàðíûé îáúåì âñåãäàìîæíî âûáðàòü ñòîëü ìàëûì, ÷òîáû ìàññîâûìè ñèëàìè ìîæíî áûëî ïðåíåáðå÷ü. Óñëîâèå (16.1) àâòîìàòè÷åñêè îáåñïå÷èâàåò íå òîëüêî ðàâåíñòâî íóëþñóììû ñèë äàâëåíèÿ, ïðèëîæåííûõ ê ïîâåðõíîñòè äàííîãî îáúåìà, íî è ðàâåíñòâî íóëþ ñóììàðíîãî ìîìåíòà ýòèõ ñèë.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óñëîâèÿ (16.1) ðàññìîòðèì íåïîäâèæíóþ æèäêîñòü âöèëèíäðè÷åñêîì ñîñóäå ñ ïëîùàäüþ îñíîâàíèÿ S1, çàêðûòîì ñâåðõó ïîðøíåì(ðèñ. 16.1, ëåâûé ñîñóä). Åñëè íàäàâèòü íà ïîðøåíü ñ ñèëîé F1, òî â æèäêîñòèáóäóò ñîçäàíû âíóòðåííèå íàïðÿæåíèÿ (äàâëåíèÿ). Ðàññìîòðèì óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ ýëåìåíòàðíîãî îáúåìà æèäêîñòè, èìåþùåãî ôîðìó êóáèêà. Íà åäèíèöóåãî ïîâåðõíîñòè áóäåò äåéñòâîâàòü ñæèìàþùàÿ ñèëà fii = −pii ni, íàïðàâëåííàÿïðîòèâîïîëîæíî íîðìàëè ni ê i-é ïîâåðõíîñòè (íà ðèñ.
16.1 óêàçàíû ëèøü äâåñèëû). Ïîñêîëüêó ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ïðîòèâîïîëîæíûå ãðàíè êóáèêà, ðàâíû272ïî âåëè÷èíå, òî p11 = F1/S1. Ðàâåíñòâîäàâëåíèé p11 è p22 ñëåäóåò èç óñëîâèÿðàâíîâåñèÿ ïîëîâèíû êóáèêà, èçîáðàæåííîãî íà ôðàãìåíòå. Äåéñòâèòåëüíî,f11ΔS = f 22 ΔS = Fn 2 , ïîýòîìó p22 = p11.ßñíî, ÷òî è ïðè ïðîèçâîëüíîé îðèåíòàöèè êóáèêà ñèëû äàâëåíèÿ, äåéñòâóþùèå íà åãî ãðàíè, áóäóò îäèíàêîâûïî âåëè÷èíå. Åñëè ïðèíÿòü, ÷òî íèêàêèå âíåøíèå ñèëû, êðîìå ñèëû äàâëåíèÿ ïîðøíÿ, íà æèäêîñòü íå äåéñòâóþò, òî èç óñëîâèé ðàâíîâåñèÿ ýëåìåíòàðíûõ îáúåìîâ â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõæèäêîñòè ïîëó÷èì, ÷òî âñþäó âíóòðèîáúåìà æèäêîñòèÐèñ. 16.1pii = p = F1/S1.(16.2)Òàêèì îáðàçîì, äàâëåíèå â ëþáîì ìåñòå ïîêîÿùåéñÿ æèäêîñòè îäèíàêîâî ïîâñåì íàïðàâëåíèÿì, ïðè÷åì îíî îäèíàêîâî ïåðåäàåòñÿ ïî âñåìó îáúåìó ïîêîÿùåéñÿæèäêîñòè (çàêîí Ïàñêàëÿ).Åñëè ðàññìîòðåííûé ñîñóä ñîåäèíèòü ïðè ïîìîùè òðóáêè ñ äðóãèì öèëèíäðè÷åñêèì ñîñóäîì ñ ïëîùàäüþ îñíîâàíèÿ S2, òî ïðè îòêðûâàíèè êðàíà Kâíóòðåííèå íàïðÿæåíèÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì Ïàñêàëÿ ïåðåäàäóòñÿ âî âòîðîé ñîñóä (ðèñ.
16.1). Íà ïîðøåíü, çàêðûâàþùèé ýòîò ñîñóä, æèäêîñòü áóäåòäàâèòü ââåðõ ñ ñèëîéF2 = pS 2 =F1S .S1 2(16.3)Åñëè S2 > S1, òî ðàçâèâàåìîå óñèëèå F2 > F1. Ýòîò âûèãðûø â ñèëå èñïîëüçóåòñÿ âî ìíîãèõ ãèäðîïðèâîäíûõ óñòðîéñòâàõ (ãèäðîïðèâîäàõ): â ïðèâîäåêîâøà ýêñêàâàòîðà, ðóëåé ðàêåò è ñàìîëåòîâ. Íà ýòîì æå ïðèíöèïå ðàáîòàþòãèäðàâëè÷åñêèå ïðåññ è äîìêðàò, ãèäðàâëè÷åñêèå òîðìîçíûå ñèñòåìû àâòîìîáèëåé è ò. ä. ÑÈ çà åäèíèöó äàâëåíèÿ ïðèíèìàåòñÿ ïàñêàëü.
 òåõíèêå â êà÷åñòâå åäèíèöû äàâëåíèÿ èñïîëüçóåòñÿ òåõíè÷åñêàÿ àòìîñôåðà: 1 àò = 1 êãñ/ñì2 = 9,8 ⋅ 104 Ïà.Æèäêîñòü â ïîëå âíåøíèõ ñèë. Ðàññìîòðèì íàïðÿæåíèÿ, âîçíèêàþùèå âæèäêîñòè, íàõîäÿùåéñÿ â ïîëå âíåøíèõ ñèë (ñèë òÿæåñòè, èíåðöèè è äð.).Ïóñòü ê ýëåìåíòó æèäêîñòè îáúåìîì dV = dxdydz ïðèëîæåíà âíåøíÿÿ ñèëàfdV (f ïëîòíîñòü ñèëû, ò.
å. ñèëà, ïðèõîäÿùàÿñÿ íà åäèíèöó îáúåìà æèäêîñòè, ðèñ 16.2).  ðåçóëüòàòå âîçíèêàþùèõ âíóòðåííèõ íàïðÿæåíèé íà íèæíþþ ãðàíü êóáèêà ñ êîîðäèíàòîé x è ïëîùàäüþ dydz â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè x äåéñòâóåò ñèëà äàâëåíèÿ p (x, y, z)dydz, à íà âåðõíþþ ãðàíü p (x + dx, y, z)dydz. Ïðè ðàâíîâåñèè êóáèêà, î÷åâèäíî, íåîáõîäèìî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ðàâåíñòâî:p (x, y, z)dydz − p (x + dx, y, z)dydz + fxdxdydz = 0.(16.4à)273Àíàëîãè÷íûå ïî ñìûñëó ðàâåíñòâà äîëæíû áûòüçàïèñàíû è äëÿ äâóõ äðóãèõ íàïðàâëåíèé (âäîëüîñåé êîîðäèíàò Oy è Oz):p (x, y, z)dxdz − p (x, y + dy, z)dxdz ++ fy dxdydz = 0;(16.4á)p (x, y, z)dxdy − p (x, y, z + dz)dxdy ++ fzdxdydz = 0.(16.4â)Ðàçäåëèâ ëåâûå è ïðàâûå ÷àñòè çàïèñàííûõâûøå ðàâåíñòâ íà ýëåìåíòàðíûé îáúåì, ïîëó÷àåì óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ â âèäå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéÐèñ.
16.2−∂p∂p∂p+ f x = 0; −+ f y = 0; −+ f z = 0.∂x∂y∂z(16.5)Èç óðàâíåíèé (16.5) ñëåäóåò, ÷òî äàâëåíèå íå îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì è èçìåíÿåòñÿ â òåõ íàïðàâëåíèÿõ, âäîëü êîòîðûõ äåéñòâóåò âíåøíÿÿ ñèëà. Åñëè ââåñòèâåêòîð ãðàäèåíòà äàâëåíèÿgrad p = ∇p =∂p∂p∂pex +ey +e ,∂x∂y∂z z(16.6)ãäå ex, ey è ez åäèíè÷íûå âåêòîðû âäîëü îñåé êîîðäèíàò, òî óðàâíåíèÿ (16.5)ìîæíî çàïèñàòü â áîëåå êîìïàêòíîì âåêòîðíîì âèäå− grad p + f = 0.(16.7) ñîîòâåòñòâèè ñî ñìûñëîì ââåäåííîãî â ïðåäûäóùèõ ëåêöèÿõ âåêòîðà ãðàäèåíòà ñêàëÿðíîé âåëè÷èíû èç (16.7) ñëåäóåò, ÷òî äàâëåíèå íàèáîëåå áûñòðîíàðàñòàåò â íàïðàâëåíèè äåéñòâèÿ âíåøíåé ñèëû f, à â ïåðïåíäèêóëÿðíûõíàïðàâëåíèÿõ îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì.
Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ãîâîðèòü î ïîâåðõíîñòÿõ ðàâíîãî äàâëåíèÿ, íîðìàëü ê êîòîðûì â êàæäîé òî÷êå ñîâïàäàåò ñíàïðàâëåíèåì äåéñòâóþùåé â ýòîé òî÷êå âíåøíåé ñèëû. Íåñëîæíî ðàññ÷èòàòü ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèé ïî îáúåìó æèäêîñòè, åñëè ïðèíÿòü âî âíèìàíèå, ÷òî êîìïîíåíòû âíåøíåé ñèëû f âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ïðîèçâîäíûå ñêàëÿðíîé ôóíêöèè êîîðäèíàò p (x, y, z).
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñèëà f ïîòåíöèàëüíàÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, ìîæåò áûòü âûðàæåíà ÷åðåç ïîòåíöèàëüíóþ ôóíêöèþ U(ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ åäèíèöû îáúåìà æèäêîñòè âî âíåøíåì ïîëå) ñëåäóþùèì îáðàçîì:f = − gradU.(16.8)Ïîäñòàâèâ (16.8) â (16.7), ïîëó÷èìgrad(p + U ) = 0, èëè p + U = const.(16.9)Êîíñòàíòà â (16.9) îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè ïîòåíöèàëà.Æèäêîñòü â ïîëå ñèëû òÿæåñòè. Ïóñòü íåñæèìàåìàÿ îäíîðîäíàÿ æèäêîñòü(íàïðèìåð, âîäà) íàõîäèòñÿ â ïîëå ñèëû òÿæåñòè f = ρg, ïëîòíîñòü æèäêîñòè274ρ = const. Äëÿ ðàñ÷åòà ðàñïðåäåëåíèÿ äàâëåíèé óäîáíî íàïðàâèòü îñü Îx âäîëüñèëû òÿæåñòè, ñîâìåñòèâ íà÷àëî îñè ñî ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòüþ æèäêîñòè.Ïîñêîëüêó ïîòåíöèàëüíóþ ôóíêöèþ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå U (x) = −ρgx [íîðìèðîâêà ïîòåíöèàëà òàêîâà, ÷òî U (0) = 0)], òî ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèé ïîãëóáèíå íàõîäÿò èç ñîîòíîøåíèÿp (x) − ρgx = const.(16.10)Êîíñòàíòó îïðåäåëÿþò èç óñëîâèÿ ðàâåíñòâà äàâëåíèÿ íà ïîâåðõíîñòè âîäûàòìîñôåðíîìó äàâëåíèþ p0. Ñëåäîâàòåëüíî,p (x) = p0 + ρgx.(16.11)Åñëè ïðèíÿòü àòìîñôåðíîå äàâëåíèå p0 ≈ 105 Ïà, ïëîòíîñòü âîäû ρ = 103 êã/ì3,òî èç (16.11) ëåãêî ïîäñ÷èòàòü, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì ãëóáèíû íà êàæäûå 10 ì(Δx = 10 ì) äàâëåíèå óâåëè÷èâàåòñÿ íà âåëè÷èíó àòìîñôåðíîãî äàâëåíèÿ (Δp = p0).Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî âîçðàñòàíèå äàâëåíèÿ ñ ãëóáèíîé íå çàâèñèò îò ôîðìûñîñóäà, â êîòîðûé íàëèòà æèäêîñòü.
ßðêîé èëëþñòðàöèåé ñïðàâåäëèâîñòè ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî óðîâíåé æèäêîñòè â äâóõ ñîîáùàþùèõñÿñîñóäàõ ïðîèçâîëüíîé ôîðìû (ðèñ. 16.3). Äåéñòâèòåëüíî, ðàâåíñòâî äâóõ ãîðèçîíòàëüíûõ ñèë äàâëåíèÿ, îáåñïå÷èâàþùèõ ðàâíîâåñèå êóáèêà æèäêîñòè â íèæíåé ÷àñòè ñîîáùàþùèõñÿ ñîñóäîâ, âîçìîæíî ëèøü ïðè ðàâåíñòâå âûñîò ñòîëáîâ âîäû â îáîèõ ñîñóäàõ.Ìîäèôèöèðóåì ýêñïåðèìåíò ñ ñîîáùàþùèìèñÿ ñîñóäàìè. Ïóñòü îáà êîëåíà U-îáðàçíîãî ñîñóäà (ðèñ. 16.4) ðàçäåëåíû ïîäâèæíîé ïåðåãîðîäêîé Ï, ïðèýòîì ïðàâîå êîëåíî çàïîëíåíî âîäîé, à ëåâîå ðòóòüþ, ïëîòíîñòü êîòîðîé ρ1áîëåå ÷åì â 10 ðàç ïðåâûøàåò ïëîòíîñòü âîäû ρ (ρ1 = 13,6ρ).
Î÷åâèäíî, ðàâíîρh, çíà÷èâåñèå â ýòîé ñèòóàöèè äîñòèãàåòñÿ ïðè âûñîòå ñòîëáà ðòóòè h1 =ρ1òåëüíî ìåíüøåé âûñîòû h ñòîëáà âîäû. Còîëá ðòóòè âûñîòîé h1 = 760 ìì óðàâíîâåøèâàåò äàâëåíèå 10-ìåòðîâîãî ñòîëáà âîäû, èëè ïî÷òè 10-êèëîìåòðîâîãîñòîëáà àòìîñôåðû. Ïîýòîìó äëÿ èçìåðåíèÿ àòìîñôåðíîãî äàâëåíèÿ (â ìì ðò.ñò.) èñïîëüçóþò ðòóòíûé ìàíîìåòð, ïðåäñòàâëÿþùèé ñîáîé äâà ñîîáùàþùèõñÿ ñîñóäà, çàïîëíåííûõ ðòóòüþ.
Îäèí èç ñîñóäîâ â âèäå òîíêîé òðóáêè çàïàÿíñâåðõó, è âîçäóõ â íåì íàä ïîâåðõíîñòüþ ðòóòè îòñóòñòâóåò (òîððè÷åëëèåâàïóñòîòà), à âòîðîé ñîîáùàåòñÿ ñ àòìîñôåðîé (ðèñ. 16.5).Åñëè èçìåðÿåìûå äàâëåíèÿ íà 1 2 ïîðÿäêà ìåíüøå àòìîñôåðíîãî äàâëåíèÿ, òî ìîæíî èñïîëüçîâàòü è âîäÿíûå ìàíîìåòðû (ñì.
ïîñëåäóþùèå ëåêöèè).Ðèñ. 16.3Ðèñ. 16.4275Çàâåðøàÿ îïèñàíèå ðàâíîâåñèÿ æèäêîñòè, îòìåòèì, ÷òî â Ìèðîâîì îêåàíå èç-çà áîëüøèõ ãëóáèí ôîðìóëà (16.11) íóæäàåòñÿ â óòî÷íåíèè, òàêêàê ïëîòíîñòü óâåëè÷èâàåòñÿ ñ ãëóáèíîé. Çà èñêëþ÷åíèåì íåñêîëüêèõ îñîáûõ ìåñò, îíà ìîæåòìåíÿòüñÿ â çàâèñèìîñòè îò ãåîãðàôè÷åñêîãî ïîëîæåíèÿ â ïðåäåëàõ 2 % îò ïîñòîÿííîé âåëè÷èíûρ = 1035 êã/ì3.
Ýòè èçìåíåíèÿ ïëîòíîñòè îáóñëîâëåíû â îñíîâíîì êîëåáàíèÿìè òåìïåðàòóðû è ñîëåíîñòè âîäû.Æèäêîñòü â íåèíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà. Ïðè óñêîðåííîì äâèæåíèè ñîñóäà ñ îäíîðîäíîé æèäêîñòüþ íà ÷àñòèöû æèäêîñòè, íàðÿäó ññèëîé òÿæåñòè, äåéñòâóþò ñèëû èíåðöèè. Ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèé â ïîêîÿùåéñÿ îòíîñèòåëüíî ñîÐèñ. 16.5ñóäà æèäêîñòè ëåãêî îïðåäåëÿåòñÿ èç (16.9), ãäåïîä U ñëåäóåò ïîíèìàòü ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþæèäêîñòè â ïîëå ñèë òÿæåñòè è èíåðöèè.Åñëè ñîñóä ñ æèäêîñòüþ äâèæåòñÿ ïîñòóïàòåëüíî ñ ïîñòîÿííûì ãîðèçîíòàëüíûì óñêîðåíèåì a (ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
