В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 42
Текст из файла (страница 42)
å. íåçàêðåïëåííîãî òâåðäîãî òåëà.Ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå. Äâèæåíèå, ïðè êîòîðîì ëþáîé âûäåëåííûé âòåëå îòðåçîê îñòàåòñÿ ïàðàëëåëüíûì ñàìîìó ñåáå, íàçûâàåòñÿ ïîñòóïàòåëüíûì.Êëàññè÷åñêèì ïðèìåðîì ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèå êàáèíîê êîëåñà îáîçðåíèÿ (ðèñ.11.4). Çäåñü íàãëÿäíî ïîêàçàíî, ÷òî ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå ñîâñåì íå îáÿçàòåëüíî ïðÿìîëèíåéíîå.
Î÷åâèäíî, ÷òî ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû òåëà â ýòîìñëó÷àå ðàâíî òðåì, òàê êàê äîñòàòî÷íî îïèñàòü äâèæåíèå êàêîé-íèáóäü îäíîéòî÷êè òåëà (íàïðèìåð, òî÷êè À íà ðèñ. 11.5). Òðàåêòîðèè âñåõ îñòàëüíûõ òî÷åê(íàïðèìåð, òî÷êè  íà ðèñ. 11.5) ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ïóòåì «ïàðàëëåëüíîãî»ïåðåíîñà.Äîïóñòèì, ÷òî çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êè À çàäàí â âèäåRA = RA(t ).194(11.2)Ðèñ. 11.4Ðèñ. 11.5Òîãäà çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êè  áóäåò èìåòü âèäRB = RA + rAB,(11.3)ãäå rAB âåêòîð, íàïðàâëåííûé îò òî÷êè À ê òî÷êå Â.Ñêîðîñòü òî÷êè ÀdR A,dt(11.4)dR B= v A,dt(11.5)vA =ñêîðîñòü òî÷êè ÂvB =òàê êàê rAB âåêòîð, ïîñòîÿííûé ïî âåëè÷èíå (àáñîëþòíî òâåðäîå òåëî) èíàïðàâëåíèþ (ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå).Óñêîðåíèÿ òî÷åê À è  òàêæå ñîâïàäàþò:aA =dv A dv B== aB.dtdt(11.6)Òàêèì îáðàçîì, ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ çàêîíîì äâèæåíèÿ êàêîé-ëèáî åãî òî÷êè.Âðàùåíèå âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè.
Åñëè ïðè äâèæåíèè òâåðäîãî òåëà êàêèåëèáî äâå åãî òî÷êè âñå âðåìÿ îñòàþòñÿ íåïîäâèæíûìè, òî ÷åðåç ýòè òî÷êèìîæíî ïðîâåñòè ïðÿìóþ, íàçûâàåìóþ íåïîäâèæíîé îñüþ âðàùåíèÿ. Òàêîå äâèæåíèå ìû íàáëþäàåì åæåäíåâíî, îòêðûâàÿ è çàêðûâàÿ äâåðü â êîìíàòó. Î÷åâèäíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå òåëî îáëàäàåò ëèøü îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû, ñâÿçàííîé ñ óãëîì åãî ïîâîðîòà âîêðóã îñè. Âñå òî÷êè òåëà äâèæóòñÿ ïî îêðóæíîñòÿì, ëåæàùèì â ïëîñêîñòÿõ, êîòîðûå ïåðïåíäèêóëÿðíû îñè âðàùåíèÿ; öåíòðû îêðóæíîñòåé ëåæàò íà ýòîé îñè.195Ñóùåñòâåííî, ÷òî ëèíåéíûå ñêîðîñòè òî÷åê, íàõîäÿùèõñÿ íà ðàçíûõ ðàññòîÿíèÿõ îò îñè âðàùåíèÿ, ðàçíûå. ýòîì ìîæíî óáåäèòüñÿ, êàñàÿñü ñòàëüíîé ïðîâîëîêîé âðàùàþùåãîñÿ äèñêàòî÷èëà (ðèñ. 11.6): ÷åì äàëüøå îò îñè,òåì äëèííåå ñíîï èñêð òåì áîëüøåñêîðîñòü ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êè äèñêà.Âèäíî òàêæå, ÷òî èñêðû ëåòÿò ïî êàñàòåëüíîé ê îêðóæíîñòè, îïèñûâàåìîéäàííîé òî÷êîé äèñêà.ßñíî, ÷òî óãëîâîå ïåðåìåùåíèå âñåõÐèñ.
11.6òî÷åê òâåðäîãî òåëà çà îäíî è òî æå âðåìÿ áóäåò îäèíàêîâûì. Îáùåé êèíåìàòè÷åñêîé õàðàêòåðèñòèêîé ÿâëÿåòñÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòüω = limΔt → 0Δϕ d ϕ=,dtΔt(11.7)ãäå Δϕ óãîë ïîâîðîòà òåëà çà âðåìÿ Δt.Àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî áûëî ñäåëàíî â ëåêöèè 2 äëÿ äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè uurïî îêðóæíîñòè, ìîæíî ââåñòè âåêòîð ýëåìåíòàðíîãî óãëîâîãîïåðåìåùåíèÿ dϕ, íàïðàâëåííûé âäîëü îñè âðàùåíèÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëîì ïðàâîãî áóðàâ÷èêà: åñëè ðóêîÿòêó áóðàâ÷èêà ïîâîðà÷èâàòü â íàïðàâëåíèèâðàùåíèÿòåëà, òî ïîñòóïàòåëüíîåïåðåìåùåíèå áóðàâ÷èêà äàñò íàïðàâëåíèåuuruurdϕ . Ïîñëå äåëåíèÿ dϕ íà èíòåðâàë âðåìåíè dt, çà êîòîðîå ýòî óãëîâîå ïåðåìåùåíèå ïðîèçîøëî, ïîëó÷èì âåêòîðíóþ âåëè÷èíóuuurr dϕ,ω=dt(11.8)êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò, âî-ïåðâûõ, ìîäóëü óãëîâîé ñêîðîñòè òåëà, âî-âòîðûõ, îðèåíòàöèþ îñè âðàùåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå, à â-òðåòüèõ, íàïðàâëåíèå âðàrùåíèÿ òåëà. Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî âåêòîð ω ñêîëüçÿùèé âåêòîð â òîìñìûñëå, ÷òî åãî íà÷àëî ìîæíî ñîâìåñòèòü ñ ëþáîé òî÷êîé, ïðèíàäëåæàùåéîñè âðàùåíèÿ.Íàïðèìåð, äëÿ Çåìëè, âðàùàþùåéñÿ âîêðóã ñâîåé îñè ñ çàïàäà íà âîñòîê,râåêòîð ω èìååò íàïðàâëåíèå îò þæíîãî ïîëþñà ê ñåâåðíîìó.
Óãëîâàÿ ñêîðîñòüωÇ =2π≈ 7,3 ⋅ 10−5 c−1 .24 ⋅ 3600 ñÄëÿ ñðàâíåíèÿ: óãëîâàÿ ñêîðîñòü îðáèòàëüíîãî äâèæåíèÿ Çåìëè ñîñòàâëÿåòωîðá ≈ωÇ≈ 2, 0 ⋅ 10 −7 c−1 .365Çàìåòèì, ÷òî ïåðèîä îðáèòàëüíîãî äâèæåíèÿ íå êðàòåí ïðîäîëæèòåëüíîñòè ñóòîê, ÷òî ñîçäàåò èçâåñòíûå òðóäíîñòè â ïîñòðîåíèè êàëåíäàðÿ (íåîáõîäèìî ââîäèòü âèñîêîñíûå ãîäû è äð.).196Ðèñ. 11.7Ðèñ. 11.8rÇíàÿ ω, ìîæíî îïðåäåëèòü ëèíåéíóþ ñêîðîñòü ëþáîé òî÷êè òâåðäîãî òåëà.Ââåäåì ðàäèóñ-âåêòîð rA íåêîòîðîé òî÷êè À òåëà, ïîìåñòèâ åãî íà÷àëî â òî÷êórÎ íà îñè âðàùåíèÿ (ðèñ. 11.7).
Âåêòîð ρ ïðîâåäåí â òî÷êó À îò îñè âðàùåíèÿrïåðïåíäèêóëÿðíî ê íåé. Âåêòîð ñêîðîñòè vA ñâÿçàí ñ âåêòîðàìè rA è ω ñîîòíîøåíèåìrvA = ω × rA(11.9)(ôîðìóëà Ýéëåðà). ÑêîðîñòüLA = ωrA ⋅ sin α = ωρ.(11.10)ßñíî, ÷òî òî÷êó Î íà îñè âðàùåíèÿ ìîæíî âûáðàòü ïðîèçâîëüíî çíà÷åíèå ρ = rA sin α áóäåò ïðè ýòîì îäíèì è òåì æå.Óñêîðåíèå òî÷êè Àrr drrrdω× rA + ω × A = ε × rA + ω × v A ,aA =(11.11)dtdtrr dωãäå ε = óãëîâîå óñêîðåíèå òåëà.dtrÝòî àêñèàëüíûé âåêòîð, íàïðàâëåííûé â òó æå ñòîðîíó, ÷òî è ω, åñëè óãëîâàÿrñêîðîñòü âîçðàñòàåò, è ïðîòèâîïîëîæíî ω, åñëè ýòà âåëè÷èíà óáûâàåò.Òàêèì îáðàçîì, óñêîðåíèå a A ÿâëÿåòñÿ ñóììîé äâóõ âåëè÷èí:a A = a τ + a n,(11.12)(ðèñ.
11.8), ïðè÷åì âñå òðè âåêòîðà aA, aτ è an ëåæàò â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè âðàùåíèÿ.197Óñêîðåíèårraτ = ε × rA = ε ρ τ(11.13)r ýòî òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèå ( τ åäèíè÷íûé âåêòîð â íàïðàâëåíèè vA);rrran = ω × vA = ω × (ω × rA) = ω2ρn (11.14) ýòî öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå(n åäèíè÷íûé âåêòîð â íàïðàâëåíèèê îñè âðàùåíèÿ). Ýòè ñîñòàâëÿþùèåïîëíîãî óñêîðåíèÿ ïîäðîáíî îáñóæäàëèñü â ëåêöèè 2, êîãäà ðàññìàòðèâàëîñüâðàùàòåëüíîå äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîéòî÷êè.Ïëîñêîå äâèæåíèå.
Äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà, ïðè êîòîðîì òðàåêòîðèè âñåõåãî òî÷åê ëåæàò â ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ, íàçûâàþò ïëîñêèì. Åñëè ïðîâåÐèñ. 11.9ñòè íåêîòîðóþ ïðÿìóþ O1O2, æåñòêîñâÿçàííóþ ñ òåëîì è ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ýòèì ïëîñêîñòÿì (ðèñ. 11.9), òî âñåòî÷êè ýòîé ïðÿìîé áóäóò äâèãàòüñÿ ïî îäèíàêîâûì òðàåêòîðèÿì ñ îäèíàêîâûìè ñêîðîñòÿìè è óñêîðåíèÿìè; ñàìà ïðÿìàÿ áóäåò, åñòåñòâåííî, ñîõðàíÿòüñâîþ îðèåíòàöèþ â ïðîñòðàíñòâå. Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïëîñêîì èëè, êàê åãîèíîãäà íàçûâàþò, ïëîñêîïàðàëëåëüíîì äâèæåíèè òâåðäîãî òåëà äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü äâèæåíèå îäíîãî ñå÷åíèÿ òåëà.Îáðàòèìñÿ ê êëàññè÷åñêîìó ïðèìåðó ïëîñêîãî äâèæåíèÿ êà÷åíèþ öèëèíäðà ïî ïëîñêîñòè áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ. Ðàññìàòðèâàÿ îäíî èç ñå÷åíèé öèëèíäðà ïëîñêîñòüþ, ïåðïåíäèêóëÿðíîé åãî îñè, ìû ïðèäåì ê èçâåñòíîé çàäà÷å î êàòÿùåìñÿ êîëåñå (ðèñ.
11.10). Öåíòð êîëåñà äâèæåòñÿ ïðÿìîëèíåéíî, òðàåêòîðèè äðóãèõ òî÷åê ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êðèâûå, íàçûâàåìûå öèêëîèäàìè (ñì.ëåêöèþ 2). Ïðè îòñóòñòâèè ïðîñêàëüçûâàíèÿ ìãíîâåííàÿ ñêîðîñòü ñàìîé íèæíåé òî÷êè êîëåñà (òî÷êè M ) ðàâíà íóëþ. Ýòî ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü êà÷åíèåêîëåñà êàê ñóïåðïîçèöèþ äâóõ äâèæåíèé: ïîñòóïàòåëüíîãî ñî ñêîðîñòüþ îñè L0è âðàùàòåëüíîãî ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω = L0/R, ãäå R ðàäèóñ êîëåñà. ßñíî,÷òî â ýòîì ñëó÷àå LM = L0 − ωR = 0.Òåïåðü èñïîëüçóåì ýòîò ïðèåì ïðè ïðîèçâîëüíîì ïëîñêîì äâèæåíèè.
Âûäåëèì îòðåçîê ÀB â ðàññìàòðèâàåìîì ñå÷åíèè òâåðäîãî òåëà (ðèñ. 11.11). Ïåðåâîäñå÷åíèÿ èç ïîëîæåíèÿ 1 â ïîëîæåíèå 2 ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñóïåðïîçè-Ðèñ. 11.10198Ðèñ. 11.11öèþ äâóõ äâèæåíèé: ïîñòóïàòåëüíîãî èç 1 â 1′ è âðàùàòåëüíîãî èç 1′ â 2 âîêðóãòî÷êè A ′, íàçûâàåìîé ïîëþñîì (ðèñ. 11.11, à).  êà÷åñòâå ïîëþñà ìîæíî âûáðàòüëþáóþ òî÷êó, ëåæàùóþ â ïëîñêîñòè ñå÷åíèÿ (äàæå âíå òåëà). Íà ðèñ. 11.11, á âêà÷åñòâå ïîëþñà âûáðàíà òî÷êà Â. Ñóùåñòâåííî, ÷òî äëèíà ïóòè ïðè ïîñòóïàòåëüíîì ïåðåìåùåíèè èçìåíèëàñü (â äàííîì ñëó÷àå óâåëè÷èëàñü), íî óãîë ïîâîðîòà îñòàëñÿ ïðåæíèì!Ïðèáëèæàÿ êîíå÷íîå ïîëîæåíèå òåëà ê íà÷àëüíîìó (ñîêðàùàÿ ðàññìàòðèâàåìûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè), ïðèõîäèì ê âûâîäó: ïëîñêîå äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóïåðïîçèöèþ ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ñî ñêîðîñòüþ íåêîòîðîé òî÷êè, âûáðàííîé â êà÷åñòâåïîëþñà, è âðàùåíèÿ âîêðóã îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ïîëþñ.
 ðåàëüíîé ñèòóàöèè îáà ýòè äâèæåíèÿ, åñòåñòâåííî, ïðîèñõîäÿò îäíîâðåìåííî. Ñóùåñòâåííî,÷òî ðàçëîæåíèå íà ïîñòóïàòåëüíîå è âðàùàòåëüíîå äâèæåíèÿ îêàçûâàåòñÿ íåîäíîçíà÷íûì, ïðè÷åì â çàâèñèìîñòè îò âûáîðà ïîëþñà ñêîðîñòü ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ áóäåò èçìåíÿòüñÿ, à óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ îñòàíåòñÿ íåèçìåííîé. ñîîòâåòñòâèè ñî ñêàçàííûì ñêîðîñòü vA ëþáîé òî÷êè À òåëà (ðèñ.
11.12)ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíîé ñóììîé ñêîðîñòè v0 êàêîé-ëèáî äðóãîé òî÷êè O, ïðèíÿròîé çà ïîëþñ, è ñêîðîñòè ω × r âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ âîêðóã ýòîãî ïîëþñàr(âåêòîð ω íàïðàâëåí «çà ÷åðòåæ»). Ñèñòåìà êîîðäèíàò XYZ íà ðèñ. 11.12 íåïîäâèæíàÿ (ëàáîðàòîðíàÿ); íà÷àëî ñèñòåìûx0y0z0 ïîìåùåíî â íåêîòîðóþ òî÷êó Î òåëà(ïîëþñ), à ñàìà ñèñòåìà x0y0z0 äâèæåòñÿîòíîñèòåëüíî XYZ ïîñòóïàòåëüíî, ïðè÷åì òàê, ÷òî îñè Oy0 è Oz0 îñòàþòñÿ âïëîñêîñòè ðèñóíêà; ðàññìàòðèâàåìàÿ òî÷êà À òåëà òàêæå äâèæåòñÿ â ïëîñêîñòèðèñóíêà.Ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè À â ñèñòåìå XYZRA = R0 + r.(11.15)Ñêîðîñòü òî÷êè ÀvA =rdR A dR 0 dr=+= v 0 + ω × r. (11.16)dtdtdtÐèñ.
11.12199Ðèñ. 11.13Ðèñ. 11.14Èç (11.16) ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè äîëæíà ñóùåñòâîâàòü òàêàÿ òî÷êà M, ñêîðîñòü êîòîðîé â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå XYZ ðàâíà íóëþ. Åå ïîëîæåíèå îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ:r(11.17)v0 = − ω × r(ðèñ. 11.13). Çàìåòèì, ÷òî ýòà òî÷êà íå îáÿçàòåëüíî äîëæíà ïðèíàäëåæàòü òåëó,ò. å. ìîæåò íàõîäèòüñÿ è âíå åãî. Òàêèì îáðàçîì, ïëîñêîå äâèæåíèå òâåðäîãîòåëà â ëþáîé çàäàííûé ìîìåíò âðåìåíè ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ÷èñòîå âðàùåíèå âîêðóã îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó M òàêàÿ îñü íàçûâàåòñÿ ìãíîâåííîéîñüþ âðàùåíèÿ.  ÷àñòíîñòè, äëÿ êîëåñà, êàòÿùåãîñÿ ïî ïëîñêîñòè áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ (ñì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
