В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Äåéñòâèòåëüíî, äîïóñòèì, ÷òî ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (19.36) áóäåò ãàðìîíè÷åñêîå êî-345ëåáàíèå âèäà α (t) = α0 sin (ωt + ϕ0). Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â ïðàâóþ ÷àñòü(19.36) è ó÷èòûâàÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêîå òîæäåñòâîsin3 ωt ≡31sin ωt − sin 3ωt ,44(19.37)ïðèõîäèì ê ïðîòèâîðå÷èþ. Ïîëó÷àåòñÿ òàê, ÷òî íåëèíåéíûé ÷ëåí â ïðàâîé÷àñòè óðàâíåíèÿ èçìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè íå òîëüêî ñ îñíîâíîé ÷àñòîòîé ω, íîòàêæå è ñ óòðîåííîé ÷àñòîòîé 3ω (÷àñòîòîé òðåòüåé ãàðìîíèêè). ×òîáû óñòðàíèòü ýòî ïðîòèâîðå÷èå, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êîëåáàíèÿ ìàÿòíèêà ïðîèñõîäÿòîäíîâðåìåííî íà ÷àñòîòàõ ω è 3ω òàê, ÷òîα (t) = α0 sin (ωt + ϕ0) + ε α0 sin 3(ωt + ϕ0),(19.38)ãäå ε áåçðàçìåðíûé ïàðàìåòð.Ïîäñòàâëÿÿ (19.38) â (19.36), ñíîâà îáíàðóæèâàåì, ÷òî íåëèíåéíûé ÷ëåí,ïîìèìî äâóõ ÷àñòîò ω è 3ω, ìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè è íà ÷àñòîòå 9ω. Ýòî ãîâîðèòî òîì, ÷òî ðåøåíèå (19.38) íå ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì (â íåì îòñóòñòâóþò âûñøèåãàðìîíèêè 9ω, 27ω è ò.
ä.). Ìåæäó òåì, åñëè àìïëèòóäà êîëåáàíèé α0 íå î÷åíüâåëèêà, òî ïàðàìåòð ε = 1, è îòñóòñòâóþùèå ÷ëåíû ñ âûñøèìè ãàðìîíèêàìèèìåþò àìïëèòóäû ε2α0, ε3α0 è ò. ä., êîòîðûå ìíîãî ìåíüøå àìïëèòóäû òðåòüåéãàðìîíèêè ε α0.Òåïåðü ðàññ÷èòàåì ÷àñòîòó ω. Äëÿ ïðîñòîòû ïîëîæèì ϕ0 = 0 (ìàÿòíèê ïîëó÷àåò íà÷àëüíûé òîë÷îê â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ). Èñïîëüçóÿ (19.38), çàïèøåìêàæäûé èç òðåõ ÷ëåíîâ óðàâíåíèÿ (19.36), îïóñêàÿ ñëàãàåìûå, èìåþùèå ïîðÿäîê ìàëîñòè ε2 è âûøå:d 2α= −ω2 α0 sin ωt − 9ω2 εα0 sin 3ωt ;dt 2(19.39)ω02 α = ω02 α 0 sin ωt + ω02 εα 0 sin 3ωt ;ω2ω23ω21− ω02α3 = − 0 α30 sin ωt + 0 α30 sin 3ωt − 0 α30ε sin 2 ωt sin 3ωt .624242Çàìåòèì, ÷òî â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå òðåòüå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè, ñîäåðæàùåå ìíîæèòåëü α03ε, ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ äâóìÿ ïðåäûäóùèìè, è åãîòàêæå ìîæíî îòáðîñèòü.Ñëîæèì ïîëó÷åííûå òðè ðàâåíñòâà.
 ñèëó (19.36), ñóììà ëåâûõ ÷àñòåé ðàâåíñòâ (19.39) ðàâíà íóëþ. Ïîýòîìó(0 = α0 −ω2 + ω02 −)()3 2 21 2 2ω α sin ωt + α0 −9ω2 ε + ω02 ε +ω α sin 3ωt . (19.40)24 0 024 0 0Ïîñêîëüêó ðàâåíñòâî (19.40) äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ äëÿ ëþáîãî ìîìåíòà âðåìåíè, òî êàæäîå èç âûðàæåíèé, ñòîÿùèõ â êðóãëûõ ñêîáêàõ, äîëæíî ðàâíÿòüñÿíóëþ.
Èç ðàâåíñòâà íóëþ ïåðâîãî âûðàæåíèÿ ìîæíî îïðåäåëèòü êâàäðàò ÷àñòîòû îñíîâíîé ãàðìîíèêè:(ω2 = ω02 1 −346)1 2α .8 0(19.41)Åñëèα 02= 1, òî äëÿ ÷àñòîòû ω ïîëó÷èì812⎛⎛α2 ⎞α2 ⎞(19.42)ω = ω0 ⎜1 − 0 ⎟ ≈ ω0 ⎜ 1 − 0 ⎟ .⎝⎝8 ⎠16 ⎠Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî ñ âîçðàñòàíèåì àìïëèòóäû êîëåáàíèé èõ ÷àñòîòà óìåíüøàåòñÿ (ïåðèîä óâåëè÷èâàåòñÿ), ò. å.
íàðóøàåòñÿ èçîõðîííîñòü êîëåáàíèé.Äàëåå ïðèðàâíÿåì íóëþ âòîðîå âûðàæåíèå â êðóãëûõ ñêîáêàõ â ôîðìóëå(19.40):ω02 2(19.43)α = 0.24 0Ñ÷èòàÿ, ÷òî ω ≈ ω0, íàõîäèì âûðàæåíèå äëÿ ìàëîãî êîýôôèöèåíòà ε:−9ω2 ε + ω02 ε +α02.(19.44)192Åñëè ïîëîæèòü α0 = 15° ≈ 0,26 ðàä, òî ε ≈ 3,5 ⋅ 10−4, è âêëàä òðåòüåé ãàðìîíèêè â êîëåáàíèÿ íè÷òîæíî ìàë. Îòëè÷èå ÷àñòîòû ω îò ÷àñòîòû ãàðìîíè÷åñêèõêîëåáàíèé ω0 ñîñòàâèò âåëè÷èíó:ε=ω0 − ω α02=≈ 4, 2 ⋅ 10 −3.ω016(19.45)Äàæå ïðè α0 ≈ 1 ðàä ε ≈ 5 ⋅ 10−3, à (ω0 − ω)/ω0 ≈ 6 %. Òàêèì îáðàçîì, ïðèáëèæåííûì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (19.36) áóäåò (19.38), ãäå ÷àñòîòó ω îïðåäåëÿþòèç (19.41), à ïàðàìåòð ε èç (19.44).Çàìåòèì, ÷òî íåãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ìîãóò âîçíèêàòü íå òîëüêî ïðèáîëüøèõ îòêëîíåíèÿõ ñèñòåìû îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.
Íàïðèìåð, åñëè âðàçëîæåíèè âîçâðàùàþùåé ñèëû Fτ (s) ïî ñòåïåíÿì s îòñóòñòâóåò ëèíåéíûé÷ëåí, è îíî íà÷èíàåòñÿ ñ âûðàæåíèÿ, ïðîïîðöèîíàëüíîãî s 3, òî êîëåáàíèÿáóäóò íåãàðìîíè÷åñêèìè ïðè ëþáûõ, äàæå ñêîëü óãîäíî ìàëûõ îòêëîíåíèÿõ.Ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ â äèññèïàòèâíûõ ñèñòåìàõ ñ âÿçêèì òðåíèåì.  ðåàëüíûõ ñèñòåìàõ âñåãäà ïðîèñõîäèò äèññèïàöèÿ ýíåðãèè. Åñëè ïîòåðè ýíåðãèè íåáóäóò êîìïåíñèðîâàòüñÿ çà ñ÷åò âíåøíèõ óñòðîéñòâ, òî êîëåáàíèÿ áóäóò çàòóõàòü è ÷åðåç êàêîé-òî ïðîìåæóòîê âðåìåíè ïðåêðàòÿòñÿ âîâñå.Ôîðìàëüíî çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèåì:ms&& = Fτ ( s ) + Fòð ( s& ) ,(19.46)êîòîðîå, â îòëè÷èå îò (19.2), ïîìèìî âîçâðàùàþùåé ñèëû Fτ ñîäåðæèò èñèëó òðåíèÿ Fòð. Ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ äâèæåíèþ çàâèñèò êàê îò íàïðàâëåíèÿñêîðîñòè (íàïðèìåð, ïðè ñóõîì òðåíèè), òàê è îò åå âåëè÷èíû (ïðè äâèæåíèè â âÿçêîé ñðåäå).
Åñëè âîçâðàùàþùàÿ ñèëà ïðîïîðöèîíàëüíà ñìåùåíèþ:Fτ (s) = −ks, ãäå k êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè (äëÿ ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà æåñòêîñòü ïðóæèíû), òî óðàâíåíèå (19.46) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäåFòð+ ω02 s = 0,(19.47)mãäå ω0 = k m ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà íåçàòóõàþùèõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé.s&& −347Âíà÷àëå ìû ðàññìîòðèì çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ â ñëó÷àå, êîãäà íà êîëåáëþùååñÿ òåëî äåéñòâóåò ñèëà âÿçêîãî òðåíèÿ, ïðîïîðöèîíàëüíàÿ ñêîðîñòè:.Fòð = −Γs. Òàêàÿ ñèòóàöèÿ ìîæåò èìåòü ìåñòî, íàïðèìåð, ïðè êîëåáàòåëüíîìäâèæåíèè òåëà â âîçäóõå èëè æèäêîñòè, êîãäà ÷èñëî Ðåéíîëüäñà Re X 1. Òîãäàóðàâíåíèå (19.47) ìîæíî çàïèñàòü â âèäås&& + 2δs& + ω02 s = 0,(19.48)ãäå δ = Γ/ 2m êîýôôèöèåíò, èëè ïîêàçàòåëü çàòóõàíèÿ.Îáùàÿ èäåÿ ðåøåíèÿ îäíîðîäíûõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé òèïà (19.48) çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: â êà÷åñòâå ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè s (t ) íàäî âûáðàòü òàêóþ, êîòîðàÿ ïðè äèôôåðåíöèðîâàíèè ïî âðåìåíè ïåðåõîäèò ñàìà âñåáÿ, ò.
å. s (t ) = s0e λt. Ïîäñòàâèì åå â óðàâíåíèå (19.48):s0e λt(λ2 + 2δλ + ω02) = 0.(19.49)Ïîñêîëüêó e λt ≠ 0, ïîëó÷àåì òàê íàçûâàåìîå õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèåλ2 + 2δλ + ω02 = 0,(19.50)êîòîðîå â äàííîì ñëó÷àå (äëÿ óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà) èìååò äâà êîðíÿ:(19.51)λ1,2 = −δ ± δ2 − ω02 ,à ñàìî óðàâíåíèå (19.48) äâà íåçàâèñèìûõ ðåøåíèÿ: s1(t ) = s01e λ1t è s2(t ) = s02e λ2t. ñèëó ëèíåéíîñòè óðàâíåíèÿ (19.48) ñóììà ëþáûõ åãî ðåøåíèé òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì, ò. å. ñïðàâåäëèâ ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè, è îáùèì ðåøåíèåì äàííîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ:s (t ) = s01e ()−δ+ δ2 −ω02 t+ s02e ().−δ− δ2 −ω02 t(19.52)Ðåøåíèå ñîäåðæèò äâå íåçàâèñèìûå êîíñòàíòû s01 è s02, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé s (0), L (0). çàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó δ è ω0 âîçìîæíû òðè ñëó÷àÿ.Åñëè δ < ω0, òîδ2 − ω02 = i ω02 − δ2 , ãäå i ≡−1 ìíèìàÿ åäèíèöà.
Ïîñêîëü-êó íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äåéñòâèòåëüíûå, òî ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Ýéëåðàe iϕ = cos ϕ + i sin ϕ(19.53)íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî îáùåå ðåøåíèå áóäåò äåéñòâèòåëüíûì è ìîæåò áûòüçàïèñàíî â âèäås(t) = s0e−δt sin (ωt + ϕ0),(19.54)ò. å. ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ, ÷àñòîòà ω êîòîðûõ ìåíüøå, ÷åìó ñîáñòâåííûõ íåçàòóõàþùèõ êîëåáàíèé:ω=ω02 − δ2 .(19.55)Êîëåáàíèÿ, îïèñûâàåìûå (19.54), íå ÿâëÿþòñÿ ãàðìîíè÷åñêèìè (ðèñ. 19.14).Èõ àìïëèòóäîé îáû÷íî íàçûâàþò âåëè÷èíó348A(t) = s0e−δt,(19.56)êîòîðàÿ ìîíîòîííî óáûâàåò ñî âðåìåíåì.Äëèòåëüíîñòü êîëåáàíèé õàðàêòåðèçóåòñÿ âðåìåíåì çàòóõàíèÿτ = 1/δ.(19.57)Åñëè δ èç (19.57) ïîäñòàâèòü â (19.56),òî ìîæíî óâèäåòü, ÷òî ïî èñòå÷åíèè âðåìåíè çàòóõàíèÿ τ àìïëèòóäà óáûâàåò â åðàç.
Êîëè÷åñòâî ñîâåðøåííûõ ñèñòåìîéêîëåáàíèé çà âðåìÿ τ ðàâíî îòíîøåíèþÐèñ. 19.14ýòîãî âðåìåíè ê ïåðèîäó çàòóõàþùèõêîëåáàíèé T = 2π/ω. Åñëè çàòóõàíèå â ñèñòåìå ìàëî (δ = ω0), òî ïåðèîä êîëåáàíèé T ≈ 2π/ω0 è ÷èñëî ýòèõ êîëåáàíèé âåëèêî:N =ωτ≈ 0 ? 1.T 2πδ(19.58)Ýêñïîíåíöèàëüíûé çàêîí óáûâàíèÿ àìïëèòóäû ñî âðåìåíåì ïîçâîëÿåò ââåñòè áåçðàçìåðíûé ïàðàìåòð ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ θ, êîòîðûé ðàâåí ëîãàðèôìó îòíîøåíèÿ äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ îòêëîíåíèé â îäíó èòó æå ñòîðîíó:θ = lnA (t )= δT .A (t + T )(19.59)θ = 1/ N.(19.60)Èç (19.57) (19.59) íàõîäèì:Ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ ìîæíî îöåíèòü, åñëè ïîäñ÷èòàòü÷èñëî êîëåáàíèé, ñîâåðøåííûõ ñèñòåìîé çà âðåìÿ çàòóõàíèÿ τ, ò. å.
äî óìåíüøåíèÿ àìïëèòóäû êîëåáàíèé ïðèìåðíî â 3 ðàçà. ×åì áîëüøå ýòèõ êîëåáàíèé,òåì ìåíüøå ïîòåðè ýíåðãèè â ñèñòåìå.Ïðîñëåäèì çà óáûâàíèåì ýíåðãèè, çàïàñåííîé îñöèëëÿòîðîì, ñ òå÷åíèåìâðåìåíè. Èñïîëüçóÿ (19.54), çàïèøåì, ïî àíàëîãèè ñ (19.24) è (19.25), âûðàæåíèÿ äëÿ ïîòåíöèàëüíîé è êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèé îñöèëëÿòîðà:Eï =1 2 1 2 −2δtks = ks 0 esin 2 (ω t + ϕ 0 );2211mL 2 ≈ mω 2 s 02e − 2δt cos 2 (ω t + ϕ 0 ).22Çàìåòèì, ÷òî ñêîðîñòü ðàâíàEê =L = s· = −s0δe−δt sin (ωt + ϕ0) + s0ωe−δt cos (ωt + ϕ0).(19.61)(19.62)(19.63)Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè δ = ω, òî ïåðâûì ñëàãàåìûì â (19.63) ìîæíî ïðåíåáðå÷üè çàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè â âèäå (19.62).
Ñóììàðíàÿ ýíåðãèÿîñöèëëÿòîðà óáûâàåò ñî âðåìåíåì:E (t ) = E ï + E ê =1 2 −2δt⎡⎣k sin 2 (ωt + ϕ0 ) + mω2 cos 2 (ωt + ϕ0 )⎤⎦ .s e2 0(19.64)349Ïðèìåì âî âíèìàíèå, ÷òî ïðè δ = ω0÷àñòîòà ω ≈ ω0. Òàê êàê k = mω02, òî (19.64)îêîí÷àòåëüíî çàïèøåì â âèäåE (t ) =Ðèñ. 19.151 2s mω02e −2δt = E 0e −2 δt . (19.65)2 0Ïîëíàÿ ýíåðãèÿ îñöèëëÿòîðà, ðàâíàÿâíà÷àëå E0 = s0mω02 / 2, ìîíîòîííî óáûâàåò ñî âðåìåíåì ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìóçàêîíó è óìåíüøàåòñÿ â å ðàç çà âðåìÿτE = 1/ 2δ = τ/ 2.(19.66)«Êà÷åñòâî» êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû õàðàêòåðèçóåòñÿ áåçðàçìåðíûì ïàðàìåòðîì Q, íàçûâàåìûì äîáðîòíîñòüþ.
Äîáðîòíîñòü ïðîïîðöèîíàëüíà îòíîøåíèþçàïàñåííîé ýíåðãèè E(t) ê ýíåðãèè ΔET, òåðÿåìîé çà ïåðèîä (ðèñ. 19.15):Q = 2πE 0e −2δtE (t )2π= 2π=.−2 δt−2 δ (t +T )ΔET1 − e −2δT− E0eE0e(19.67)Åñëè ÷èñëî êîëåáàíèé âåëèêî, òî ïðîèçâåäåíèå δT = 1/N = 1. ÒîãäàQ=π2π2π=≈ = πN .1 − e −2δT 1 − (1 − 2δT + K) θ(19.68)Ïðè ýêñïîíåíöèàëüíîì óáûâàíèè ýíåðãèè E(t) äîáðîòíîñòü Q îêàçûâàåòñÿïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé, êîòîðóþ, êàê è ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ θ, ìîæíî îöåíèòü ïî ÷èñëó êîëåáàíèé NQ = πN ≈ 3N, ñîâåðøåííûõ ñèñòåìîé äî èõ ïîëíîãî ïðåêðàùåíèÿ (çà âðåìÿ 3τ àìïëèòóäà êîëåáàíèé óìåíüøàåòñÿ â e3 ≈ 20 ðàç, ò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
