В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Ðàìêà èìååò óâåëè÷åííûé (ïî ñðàâíåíèþ ñ îáû÷íûì ãàëüâàíîìåòðîì) ìîìåíò èíåðöèè, ÷òî ïîâûøàåò ïåðèîä åå ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé äîíåñêîëüêèõ ñåêóíä. Òàê êàê ðàìêà íàõîäèòñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå ïîñòîÿííîãîìàãíèòà, òî ïðè ïðîòåêàíèè ÷åðåç íåå ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà íà ðàìêó áóäåò äåéñòâîâàòü ìîìåíò ñèë, ïðîïîðöèîíàëüíûé òîêó.
Ïðè êðàòêîâðåìåííîì ïðîòåêàíèè òîêà ðàìêà ïðèîáðåòàåò óãëîâóþ ñêîðîñòü è çàòåì çà ÷åòâåðòü ïåðèîäà êîëåáàíèé îòêëîíÿåòñÿ íà íåêîòîðûé ìàêñèìàëüíûé óãîë, êîòîðûé ïðîïîðöèîíàëåí èíòåãðàëó îò ïðîòåêøåãî ÷åðåç ðàìêó òîêà, ò. å. âåëè÷èíå ïðîòåêøåãî çàðÿäà.Óñòàíîâëåíèå êîëåáàíèé.
Ìû óæå îòìå÷àëè, ÷òî åñëè ê ïîêîÿùåìóñÿ ìàÿòíèêó ïðèëîæèòü ãàðìîíè÷åñêóþ ñèëó â ìîìåíò âðåìåíè t = 0, òî ìàÿòíèê íà÷íåò ïîñòåïåííî ðàñêà÷èâàòüñÿ. Óñòàíîâëåíèå êîëåáàíèé ñâÿçàíî ñ òåì ôàêòîì,÷òî íàðÿäó ñ âûíóæäåííûìè êîëåáàíèÿìè íà ÷àñòîòå ω áóäóò âîçáóæäåíû èñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ íà ÷àñòîòå ω02 − δ2 , êîòîðûå, êîíå÷íî, áóäóò çàòóõàòü.Èç ìàòåìàòèêè èçâåñòíî, ÷òî îáùåå ðåøåíèå ëèíåéíîãî íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (20.10) ïðè δ < ω0 èìååò âèä:s (t ) = s 0c e −δ t sin()ω 02 − δ 2 t + ϕ c + s 0 sin (ω t + ϕ 0 ) .(20.46)Ýòî ðåøåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóïåðïîçèöèþ ñîáñòâåííûõ çàòóõàþùèõêîëåáàíèé íà ÷àñòîòåω02 − δ2 è íåçàòóõàþùèõ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé íà÷àñòîòå ω.
Èç (20.46) âèäíî, ÷òî êîëåáàíèÿ óñòàíîâÿòñÿ ëèøü òîãäà, êîãäàçàòóõíóò ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ. Ýòî ïðîèçîéäåò ïî èñòå÷åíèè âðåìåíèΔtóñò ≈ τ = 1/δ.(20.47)Çà ýòî âðåìÿ â ñèñòåìó «çàêà÷èâàåòñÿ» ýíåðãèÿ, ïîñêîëüêó äî óñòàíîâëåíèÿ êîëåáàíèé ðàáîòà âíåøíåé ñèëû ïðåâûøàåò ðàáîòó ñèë òðåíèÿ.  óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå èìååò ìåñòî áàëàíñ ïîñòóïàþùåé è ðàñõîäóåìîé ýíåðãèé.. ÷àñòíîñòè, åñëè ω = ω02 − δ2 , òî ïðè s (0) = 0, s (0) = 0 è δ = ω0 ôîðìóëà(20.46) èìååò âèä363Ðèñ. 20.7s (t) = s0 (1 − e−δt) sin (ωt − π/ 2)(20.48)(ðèñ.
20.7, à), ïîñêîëüêó ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ s0c = s0, ϕc = −ϕ0 ≈ π/ 2.Îòìåòèì, ÷òî ôîðìóëà (20.47) îïðåäåëÿåò ëèøü ïîðÿäîê âåëè÷èíû (âðåìåííîé ìàñøòàá) Δtóñò. Íà ïðàêòèêå âðåìÿ óñòàíîâëåíèÿ (ðàâíî êàê è âðåìÿçàòóõàíèÿ) êîëåáàíèé ïðèíèìàþò ðàâíûì Δtóñò = (3 ÷ 5)τ.Íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè (ðèñ. 20.7, á ) ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ áóäåò ïîñòåïåííî«ðàñêðó÷èâàòüñÿ» èç íà÷àëà êîîðäèíàò è ñòðåìèòüñÿ ê ïðåäåëüíîìó öèêëó ýëëèïñó.Õàðàêòåðèñòèêè ðàçëè÷íûõ êîëåáàòåëüíûõ ñèñòåì. Èíòåðåñíî ñîïîñòàâèòü îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè ðàçëè÷íûõ êîëåáàòåëüíûõ ñèñòåì (èíîãäà èõ äëÿ êðàòêîñòè íàçûâàþò îñöèëëÿòîðàìè).
Ïðèìåðàìè òàêèõ îñöèëëÿòîðîâ ìîãóò áûòüìåõàíè÷åñêèå (ðàññìîòðåííûå âûøå), ýëåêòðè÷åñêèå (èçâåñòíûå èç øêîëüíîãî êóðñà ôèçèêè, íàïðèìåð, êîëåáàòåëüíûé êîíòóð), îïòè÷åñêèå (íàïðèìåð,ýëåêòðîí â àòîìå) è äðóãèå ñèñòåìû.Âíà÷àëå îáðàòèìñÿ ê õàðàêòåðèñòèêàì íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííîãî îñöèëëÿòîðà ìàÿòíèêà, ïðåäñòàâëÿþùåãî ñîáîé òåëî, ïîäâåøåííîå íà íèòè.Ìàÿòíèê ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç äðåâíåéøèõ ôèçè÷åñêèõ ïðèáîðîâ. Ñ ïîìîùüþ êðóòèëüíûõ ìàÿòíèêîâ áûëè îòêðûòû çàêîíû ãðàâèòàöèîííîãî è ýëåêòðè÷åñêîãî âçàèìîäåéñòâèé, èçìåðåíî äàâëåíèå ñâåòà, âûïîëíåíî ìíîæåñòâîäðóãèõ ôèçè÷åñêèõ ýêñïåðèìåíòîâ.  ïîñëåäíåå âðåìÿ ïðåäëîæåí è ðåàëèçóåòñÿ ðÿä íîâûõ ýêñïåðèìåíòîâ äëÿ èçó÷åíèÿ ôóíäàìåíòàëüíûõ ñâîéñòâ ìàòåðèè, â êîòîðûõ î÷åíü ìàëûå ñèëû èçìåðÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ êðóòèëüíûõ ìàÿòíèêîâ. ×óâñòâèòåëüíîñòü òàêèõ ýêñïåðèìåíòîâ çàâèñèò îò òîãî, íàñêîëüêîîñëàáëåíû ñåéñìè÷åñêèå âîçìóùåíèÿ, äåéñòâóþùèå íà ìàÿòíèê, à òàêæå îòñòàáèëüíîñòè åãî ïàðàìåòðîâ, íàïðèìåð, óïðóãèõ ñâîéñòâ íèòè ïîäâåñà.
Íîäàæå åñëè óñòðàíåíû âñå âíåøíèå âîçìóùàþùèå âîçäåéñòâèÿ, îñòàåòñÿ îäèíïðèíöèïèàëüíûé èñòî÷íèê ôëóêòóàöèé àìïëèòóäû è ôàçû åãî êîëåáàíèé.Ýòî õàîòè÷åñêîå òåïëîâîå äâèæåíèå ìîëåêóë â íèòè ïîäâåñà è ïîäâåøåííîìòåëå. Äåéñòâóþùàÿ íà íåãî ôëóêòóàöèîííàÿ ñèëà çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû èäîáðîòíîñòè ìàÿòíèêà. ×åì âûøå äîáðîòíîñòü ìàÿòíèêà, òåì ìåäëåííåå çàòóõàþò åãî êîëåáàíèÿ è äèññèïèðóåò åãî ýíåðãèÿ, ïðåâðàùàÿñü â òåïëîòó, ò. å.364õàîòè÷åñêîå äâèæåíèå ìîëåêóë. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îñëàáåâàåò è îáðàòíûé ïðîöåññ ðàñêà÷êè ìàÿòíèêà õàîòè÷åñêèì äâèæåíèåì ìîëåêóë, ò.
å. óìåíüøàåòñÿôëóêòóàöèîííàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ìàÿòíèê. Äëÿ òîãî ÷òîáû óìåíüøèòüçàòóõàíèå, òåëî è íèòü ïîäâåñà èçãîòàâëèâàþò èç âûñîêîêà÷åñòâåííîãî ïëàâëåíîãî êâàðöà ìàòåðèàëà ñ íèçêèìè ïîòåðÿìè óïðóãîé ýíåðãèè, à òàêæåïðèíèìàþò ñïåöèàëüíûå ìåðû äëÿ èñêëþ÷åíèÿ äðóãèõ èñòî÷íèêîâ äèññèïàöèè ýíåðãèè.  ðåçóëüòàòå äîáðîòíîñòü êðóòèëüíûõ ìàÿòíèêîâ äîñòèãàåò âåëè÷èíû ∼ 107. íàñòîÿùåå âðåìÿ â ðÿäå ñòðàí ñîçäàþòñÿ ëàçåðíûå ãðàâèòàöèîííûå àíòåííû äëÿ ðåãèñòðàöèè ãðàâèòàöèîííîãî èçëó÷åíèÿ îò êîñìè÷åñêèõ îáúåêòîâ.Ïðèíöèï äåéñòâèÿ àíòåííû îñíîâàí íà òîì, ÷òî ãðàâèòàöèîííàÿ âîëíà äåéñòâóåò íà ñâîáîäíûå ìàññû, ïîìåùåííûå â ðàçíûå òî÷êè ïðîñòðàíñòâà, èçìåíÿÿ ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè.
Ýòî èçìåíåíèå ïðîïîðöèîíàëüíî èíòåíñèâíîñòè âîëíû è ðàññòîÿíèþ ìåæäó ìàññàìè. Ïî ýòîé ïðè÷èíå â ãðàâèòàöèîííûõ àíòåííàõ ïðîáíûå ìàññû ðàñïîëàãàþò â íåñêîëüêèõ êèëîìåòðàõ äðóã îòäðóãà â ñïåöèàëüíûõ âàêóóìíûõ êàìåðàõ, à ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè èçìåðÿþòóíèêàëüíûì ëàçåðíûì èíòåðôåðîìåòðîì. Êàæäóþ ïðîáíóþ ìàññó ïîäâåøèâàþò íà òîíêèõ íèòÿõ, îáðàçóÿ, òàêèì îáðàçîì, ìàÿòíèê êà÷àíèÿ. Ñ ìàññàìèñâÿçûâàþò äâà çåðêàëà, îòðàæàþùèå ëàçåðíûé ëó÷, ðàñïðîñòðàíÿþùèéñÿ âäîëüïðÿìîé, ñîåäèíÿþùåé ýòè ìàññû. Ïî ñäâèãó èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû,ôîðìèðóåìîé ýòîé ñëîæíîé îïòè÷åñêîé ñèñòåìîé, ìîæíî «ïî÷óâñòâîâàòü»âçàèìíîå ñìåùåíèå ìàññ íà âåëè÷èíó ïîðÿäêà 10−17 ñì, ÷òî íà 7 ïîðÿäêîâìåíüøå ðàçìåðîâ àòîìà!×óâñòâèòåëüíîñòü ãðàâèòàöèîííîé àíòåííû îãðàíè÷åíà òåïëîâûìè ôëóêòóàöèÿìè êîëåáàíèé òàêîãî ìàÿòíèêà, à çíà÷èò, òàêæå îïðåäåëÿåòñÿ åãî äîáðîòíîñòüþ.
 îòëè÷èå îò äîáðîòíîñòè êðóòèëüíûõ ìàÿòíèêîâ, äîáðîòíîñòü ìàÿòíèêîâ êà÷àíèÿ çàâèñèò íå òîëüêî îò ïîòåðü â óïðóãîì ýëåìåíòå íèòè ïîäâåñà,íî è îò åå íàòÿæåíèÿ. Çà ñ÷åò ýòîãî ìîæíî çíà÷èòåëüíî óâåëè÷èòü äîáðîòíîñòüìàÿòíèêà êà÷àíèÿ. Òàê, äîáðîòíîñòü ìàÿòíèêîâ êà÷àíèÿ, èçãîòîâëåííûõ öåëèêîì èç ïëàâëåíîãî êâàðöà, ìîæåò ïðåâûøàòü 108, ò. å. âðåìÿ çàòóõàíèÿ èõ êîëåáàíèé äîñòèãàåò íåñêîëüêèõ ëåò. Êîíå÷íî, ïðè ñòîëü ìàëîé äèññèïàöèè ýíåðãèè ìàÿòíèêà íà åãî äîáðîòíîñòü âëèÿþò âåñüìà ñëàáûå âíåøíèå âîçäåéñòâèÿ,íàïðèìåð, ýëåêòðè÷åñêèå è ìàãíèòíûå ïîëÿ, èëè ÷àñòèöû ïûëè, îñåâøèå íàíèòè ïîäâåñà, è ò.
ä.Ïðè òàêèõ âûñîêèõ çíà÷åíèÿõ äîáðîòíîñòè è ñîîòâåòñòâóþùåì ïîäàâëåíèèñåéñìè÷åñêèõ âîçìóùåíèé ïðîÿâëÿþòñÿ êâàíòîâûå ñâîéñòâà ìàÿòíèêà.  ýòîìñëó÷àå ïîâåäåíèå âïîëíå ìàêðîñêîïè÷åñêîãî îáúåêòà áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ïðèíöèïîì íåîïðåäåëåííîñòè Ãåéçåíáåðãà. Ïðàâäà, íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ðåàëèçóþòñÿ ïîêà äëÿ ìàëûõ âðåìåííûõ èíòåðâàëîâ (îêîëî 10−3 ñ), è äëÿ íàáëþäåíèÿêâàíòîâûõ îñîáåííîñòåé ïîâåäåíèÿ ìàÿòíèêîâ òðåáóþòñÿ î÷åíü ÷óâñòâèòåëüíûå ðåãèñòðèðóþùèå óñòðîéñòâà, íî èìåííî òàêèå ìàÿòíèêè, îáëàäàþùèåïðåäåëüíî âûñîêîé äîáðîòíîñòüþ, ïðåäïîëàãàåòñÿ èñïîëüçîâàòü â áóäóùèõ ãðàâèòàöèîííûõ àíòåííàõ.Êàìåðòîí, ñëóæàùèé äëÿ íàñòðîéêè ìóçûêàëüíûõ èíñòðóìåíòîâ, òàêæåÿâëÿåòñÿ âûñîêîäîáðîòíûì îñöèëëÿòîðîì.
Çâóê, èçäàâàåìûé âèáðèðóþùèìèíîæêàìè êàìåðòîíà, çàòèõàåò çà äîñòàòî÷íî äëèòåëüíîå âðåìÿ ïî ñðàâíåíèþñ ïåðèîäîì èõ êîëåáàíèé. Åñëè, íàïðèìåð, ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà êàìåðòîíà365ðàâíà ν = 440 Ãö, à ïðîäîëæèòåëüíîñòü çâó÷àíèÿ ñîñòàâëÿåò τ ≈ 10 ñ, òî êàìåðòîí ñîâåðøèò ντ ≈ 4400 êîëåáàíèé. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî åãî äîáðîòíîñòü ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû ðàâíà Q ∼ 104.Êàê ýòî íè ïîêàæåòñÿ ïàðàäîêñàëüíûì, ýëåêòðè÷åñêèé êîëåáàòåëüíûé êîíòóðÿâëÿåòñÿ ìåíåå äîáðîòíîé ñèñòåìîé, õîòÿ ÷àñòîòà åãî ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèéèìååò ïîðÿäîê âåëè÷èíû ν ∼ (105 ÷ 108) Ãö. Äîáðîòíîñòü êîíòóðà îãðàíè÷åíà,ãëàâíûì îáðàçîì, îìè÷åñêèìè ïîòåðÿìè è ñîñòàâëÿåò Q ∼ 102. Ýòî, â ñâîþî÷åðåäü, îçíà÷àåò, ÷òî ïîëîñà ïðîïóñêàíèÿ Δν = Q −1ν, ââåäåííàÿ ðàíåå ïðèðàññìîòðåíèè âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé, ðàâíà Δν ∼ (103 ÷ 106) Ãö.Åñëè ÷àñòîòà ðàäèîïåðåäàþùåé ñòàíöèè νc âûñîêà (νc > 106 Ãö), òî â ðàäèîïðèåìíûõ óñòðîéñòâàõ åå ïðåîáðàçóþò äî íèçêîé (íàçûâàåìîé ïðîìåæóòî÷íîé) ÷àñòîòû νï ≈ 105 Ãö.
Òîãäà êîëåáàòåëüíûé êîíòóð ðàäèîïðèåìíèêà áóäåòèìåòü î÷åíü ìàëóþ ïîëîñó ïðîïóñêàíèÿ Δν = Q −1 ⋅ νï ≈ 5 ⋅ 103 Ãö. Ýòî îçíà÷àåò,÷òî åñëè ÷àñòîòû äâóõ ñòàíöèé ν1c è ν2c ðàçëè÷àþòñÿ áîëåå, ÷åì íà âåëè÷èíóïîëîñû ïðîïóñêàíèÿ (| ν1c − ν2c | > Δν), òî, ïåðåñòðàèâàÿ ñîáñòâåííóþ ÷àñòîòóêîëåáàòåëüíîãî êîíòóðà ïðèåìíèêà, ìîæíî ïî îòäåëüíîñòè íàñòðîèòüñÿ íàêàæäóþ èç ýòèõ ïåðåäàþùèõ ñòàíöèé.Îïòè÷åñêèé ýëåêòðîí â àòîìå, îñóùåñòâëÿÿ ïåðåõîäû ñ îäíîé îðáèòû íàäðóãóþ, â ñîîòâåòñòâèè ñ ïîñòóëàòàìè Áîðà, èçëó÷àåò êâàíò ñâåòà ñ ýíåðãèåéω = E2 − E1. Ñ êëàññè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ýòî ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü òàêèìîáðàçîì, ÷òî ýëåêòðîí ñîâåðøàåò êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîé ω, ò. å. ÿâëÿåòñÿ îïòè÷åñêèì îñöèëëÿòîðîì.
Ïîñêîëüêó ýëåêòðîí òåðÿåò ýíåðãèþ íà èçëó÷åíèå, òîàìïëèòóäà åãî êîëåáàíèé äîëæíà çàòóõàòü â òå÷åíèå íåêîòîðîãî õàðàêòåðíîãîâðåìåíè τ. Äëÿ óåäèíåííîãî àòîìà (íå âçàèìîäåéñòâóþùåãî ñ äðóãèìè àòîìàìè) ýòî âðåìÿ îïðåäåëÿåòñÿ çàðÿäîì è ìàññîé ýëåêòðîíà è çàâèñèò îò ÷àñòîòû ω. Îäíàêî äëÿ âñåõ àòîìîâ îíî èìååò îäèí è òîò æå ïîðÿäîê âåëè÷èíû:τ ∼ 10−8 ÷ 10−9 c.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî â âèäèìîì îïòè÷åñêîì äèàïàçîíå ïåðèîä êîëåáàíèé T = 2π/ω ≈ 10−15 c, ëåãêî ïîäñ÷èòàòü ÷èñëî êîëåáàíèé äî èõ çàòóõàíèÿ. Îíîèìååò ïîðÿäîê âåëè÷èíû τ/T ∼ 106 ÷ 107. Ïîýòîìó äîáðîòíîñòü îïòè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà (Q ∼ 107), õîòÿ è âûñîêà, íî âñå æå íå ïðåâûøàåò äîáðîòíîñòèïðåöèçèîííûõ êâàðöåâûõ ìàÿòíèêîâ.Ïàðàìåòðè÷åñêèå êîëåáàíèÿ.
 ïîâñåäíåâíîé æèçíè ìû èìååì äåëî ñ íåçàòóõàþùèìè êîëåáàíèÿìè, äëÿ ïîääåðæàíèÿ êîòîðûõ òðåáóåòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìåíÿòü êàêîé-ëèáî ïàðàìåòð êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû. Îäíèì èç ÿðêèõ ïðèìåðîâ ÿâëÿþòñÿ êîëåáàíèÿ êà÷åëåé. Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ìîæíî ïîääåðæèâàòüêîëåáàíèÿ äëèòåëüíîå âðåìÿ, åñëè áûñòðî ïðèñåäàòü â ìîìåíò íàèáîëüøåãîîòêëîíåíèÿ êà÷åëåé è òàêæå áûñòðî âñòàâàòü ïðè ïðîõîæäåíèè ïîëîæåíèÿðàâíîâåñèÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
