В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 78
Текст из файла (страница 78)
 òî æå âðåìÿ â ïðîöåññå áèåíèéýíåðãèÿ ïåðâîãî îñöèëëÿòîðà çà âðåìÿ,ðàâíîå ïîëîâèíå ïåðèîäà áèåíèé, «ïåðåòåêàåò» êî âòîðîìó îñöèëëÿòîðó è çàòåì çà òàêîå æå âðåìÿ âîçâðàùàåòñÿ îáðàòíî. Ïîëíûé ýíåðãîîáìåí ìåæäó îñöèëëÿòîðàìè âîçìîæåí ëèøü òîãäà, êîã-Ðèñ. 21.10383äà ìàññû îáîèõ ãðóçîâ îäèíàêîâû è îòíîøåíèå (ωI + ωII) / (ωII − ωI) ðàâíî öåëîìó ÷èñëó n, ò. å.ωI + ωII 2ω0== n.ωII − ωIΩδ(21.40)Ñëåäîâàòåëüíî, ÷àñòîòà ω0 äîëæíà áûòü êðàòíîé ÷àñòîòå áèåíèé.  ñàìîìäåëå, ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (21.40) êàæäûé èç ãðóçîâ áóäåò ïåðèîäè÷åñêèîñòàíàâëèâàòüñÿ â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ [êàê ñëåäóåò èç ôîðìóë (21.17)].Ñ òå÷åíèåì âðåìåíè êîëåáàíèÿ áóäóò çàòóõàòü, è áóäåò ýêñïîíåíöèàëüíîóìåíüøàòüñÿ ýíåðãèÿ ìîä:E I(t ) = ms02e−2δtωI2 = E I0e−2δt;E II(t ) = ms02e−2δtωII2 = E II0e−2δt.(21.41)Âàæíî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ÷åðåç âðåìÿ τE = 1/ 2δ ýíåðãèÿ êàæäîé èç ìîä óìåíüøèòñÿ â å ðàç, ïðè ýòîì ïðîòèâîôàçíàÿ ìîäà «ïîòåðÿåò» áîëüøå ýíåðãèè, ÷åìñèíôàçíàÿ, ïîñêîëüêó íà÷àëüíàÿ ýíåðãèÿ E II0 ó íåå áûëà áîëüøå, ÷åì E I0 [ñì.(21.39)].Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ.
Ðåçîíàíñ. Ðàññìîòðèì îñíîâíûå çàêîíîìåðíîñòèóñòàíîâèâøèõñÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé â ñèñòåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 21.11,åñëè íà ãðóç ìàññîé m1 äåéñòâóåò ñèëà F (t ) = F0 sin ωt. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ âýòîì ñëó÷àå áóäóò îòëè÷àòüñÿ îò (21.34) íàëè÷èåì ýòîé ñèëû â ïðàâîé ÷àñòèïåðâîãî óðàâíåíèÿ:F0sin ωt ;m1...s2 = −α2s1 − ω22s2 − 2δ2s2.s&&1 = −ω12 s1 − 2δ1 s&1 − α1 s 2 +(21.42)Íåòðóäíî äîãàäàòüñÿ, ÷òî ðåøåíèÿìè ýòîé ñèñòåìû â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå ÿâëÿþòñÿ ãàðìîíè÷åñêèå ôóíêöèès1 (t ) = s01 sin (ωt + ϕ1); s2 (t ) = s02 sin (ωt + ϕ2),(21.43)êîòîðûå îòðàæàþò òîò ôàêò, ÷òî îáà ãðóçà êîëåáëþòñÿ íà ÷àñòîòå âûíóæäàþùåé ñèëû.
Ïîäñòàâëÿÿ (21.43) â (21.42), ìîæíî âû÷èñëèòü àìïëèòóäû è ôàçûâûíóæäåííûõ êîëåáàíèé. Îãðàíè÷èìñÿ ëèøü îáñóæäåíèåì ïîëó÷àåìûõ ïðè ýòîìðåçóëüòàòîâ.Íà ðèñ. 21.12 èçîáðàæåíà àìïëèòóäíàÿ ðåçîíàíñíàÿ êðèâàÿ äëÿ ïåðâîãî îñöèëëÿòîðà, ê êîòîðîìó ïðèëîæåíà ñèëà. Îáðàùàåò íà ñåáÿ âíèìàíèå íàëè÷èåäâóõ ðåçîíàíñîâ, êîòîðûå ïðè ìàëîì çàòóõàíèè íàáëþäàþòñÿ íà íîðìàëüíûõ÷àñòîòàõ ωI è ωII. Ïðè èçìåíåíèè ÷àñòîòû ω îò ωI äî ωII àìïëèòóäà s01 ïàäàåò,äîñòèãàÿ ìèíèìóìà íà âòîðîé ïàðöèàëüíîé ÷àñòîòå ω2, ïðè ýòîì ñ óìåíüøåíèåì çàòóõàíèÿ àìïëèòóäà íà ýòîé ÷àñòîòå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî èñïîëüçóþò äëÿ ïîäàâëåíèÿ îòêëèêà ñèñòåìû íà äåéñòâèå âíåøíåé ñèëû. ðàäèîòåõíèêå, ãäå èñïîëüçóþòñÿ ñâÿçàííûå êîëåáàòåëüíûå êîíòóðû, èõ ïðèìåíÿþò êàê ôèëüòðû è äåìïôåðû.Ðèñ.
21.11384Äâà ðåçîíàíñà èìåþò ìåñòî è äëÿ ñìåùåíèÿ s2 âòîðîãî ãðóçà. Åñëè ïðîàíàëèçèðîâàòü îòíîøåíèå àìïëèòóä s02 / s01 â çàâèñèìîñòè îò ÷àñòîòû ω, òî îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýòî îòíîøåíèå âáëèçè ÷àñòîòû ωIðàâíî êîýôôèöèåíòó ðàñïðåäåëåíèÿ àìïëèòóä ζI äëÿ ïåðâîé ìîäû, à âáëèçè ÷àñòîòû ωII êîýôôèöèåíòó ðàñïðåäåëåíèÿ àìïëèòóä ζII äëÿ âòîðîé ìîäû. Îòìåòèì, ÷òî ýêñïåðèìåíòàëüíîå îïðåäåëåíèåÐèñ. 21.12ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ ïðè âûíóæäåííûõêîëåáàíèÿõ ïðîùå, ÷åì ïðè ñîáñòâåííûõ.Êîëåáàíèÿ ñèñòåì ñî ìíîãèìè ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Îñíîâíûå èäåè, ñôîðìóëèðîâàííûå ïðè ðàññìîòðåíèè êîëåáàíèé ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû,òåïåðü ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ àíàëèçà êîëåáàíèé ñèñòåì ñ òðåìÿ, ÷åòûðüìÿ, ..., N ñòåïåíÿìè ñâîáîäû è â ïðåäåëå, ïðè N → ∞, äëÿ àíàëèçà êîëåáàíèé â ñïëîøíûõ ñðåäàõ, ò. å.
âîëí.Îáðàòèìñÿ âíà÷àëå ê êîëåáàíèÿì òðåõ ãðóçîâ îäèíàêîâîé ìàññû m, çàêðåïëåííûõ íà ðàâíûõ ðàññòîÿíèÿõ à íà íàòÿíóòîì ëåãêîì ðåçèíîâîì øíóðå,êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 21.13, à. Ëþáîå êîëåáàíèå ýòîé ñèñòåìû ìîæåò áûòüïðåäñòàâëåíî êàê ñóïåðïîçèöèÿ òðåõ íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé ñ ÷àñòîòàìè ωI,ωII è ωIII. Îïóñêàÿ íà âðåìÿ âîïðîñ î âåëè÷èíå ÷àñòîò, íàéäåì êîíôèãóðàöèþýòèõ ìîä. Ïðèìåì âî âíèìàíèå, ÷òî êâàäðàò ÷àñòîòû êîëåáàíèé êàæäîãî ãðóçà âäàííîé ìîäå äîëæåí áûòü îäèíàêîâ. Ýòîãî ìîæíî äîáèòüñÿ â ñëó÷àå, êîãäà îòíîøåíèÿ âîçâðàùàþùåé ñèëû ê âåëè÷èíå ìàññû m è åå ñìåùåíèþ s ó âñåõ ãðóçîâáóäóò îäèíàêîâûìè. Òàêèå óñëîâèÿ ðåàëèçóþòñÿ ïðè ñìåùåíèè ãðóçîâ òðåìÿñïîñîáàìè (ðèñ. 21.13, á ã). Ïðè îòïóñêàíèè ãðóçîâ èç ïîëîæåíèÿ (á) â ñèñòåìå áóäåò ïðîèñõîäèòü ïåðâîå íîðìàëüíîå êîëåáàíèå íà ÷àñòîòå ωI; èç ïîëîæåíèÿ (â) âòîðîå íà ÷àñòîòå ωII; èç ïîëîæåíèÿ (ã) òðåòüå íà ÷àñòîòå ωIII.
Î÷åâèäíî, ÷òî ωIII > ωII > ωI.Êîíôèãóðàöèÿ êàæäîé èç ìîä ìîæåòáûòü îïèñàíà ñ ïîìîùüþ äâóõ êîýôôèöèåíòîâ ðàñïðåäåëåíèÿ àìïëèòóä. Çàáåãàÿ âïåðåä, îòìåòèì, ÷òî äëÿ ÷åòûðåõãðóçîâ òàêèõ êîýôôèöèåíòîâ äîëæíîáûòü òðè, äëÿ ïÿòè ãðóçîâ ÷åòûðåè ò. ä. Ñèòóàöèþ ìîæíî óïðîñòèòü, åñëèîáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî ÷åðåç òî÷êè, â êîòîðûõ ðàñïîëîæåíû ãðóçû (ðèñ.21.13, á ã), ìîæíî ïðîâåñòè ñèíóñîèäû (øòðèõîâûìè ëèíèÿìè èçîáðàæåíûôðàãìåíòû ôóíêöèè sin kx, ãäå k íåêîòîðûé ïàðàìåòð, õàðàêòåðèçóþùèéïåðèîä ýòîé ôóíêöèè).
Òîãäà êîíôèãóðàöèÿ ìîä áóäåò îïèñàíà ñëåäóþùèìîáðàçîì.Ðèñ. 21.13385Äëÿ ïåðâîé ìîäûπ.4a(21.44à)s II0(x ) = s0 sin kIIx; kII = 2kI.(21.44á)s III0 (x ) = s0 sin kIIIx; kIII = 3kI.(21.44â)s0I ( x ) = s0 sin kI x; kI =Äëÿ âòîðîé ìîäûÄëÿ òðåòüåé ìîäûÐîëü áåçðàçìåðíûõ êîýôôèöèåíòîâ ζ âûïîëíÿåò ôóíêöèÿ sin kp x (p = I, II,III), âû÷èñëåííàÿ â òî÷êàõ x = x1 = a, x = x2 = 2a, x = x3 = 3a.Äðóãèìè ïðèìåðàìè òðåõ ñâÿçàííûõ îñöèëëÿòîðîâ ÿâëÿþòñÿ àòîìû â ìîëåêóëàõ CO2, H2O è ò. ä. Íà ðèñ.
21.14 èçîáðàæåíû êîíôèãóðàöèè ìîä è ïðèâåäåíû çíà÷åíèÿ ÷àñòîò íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé ìîëåêóë. Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òîýòè ÷àñòîòû èìåþò ïîðÿäîê âåëè÷èíû (1014÷ 1015) ñ−1 è çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàþò (íà íåñêîëüêî ïîðÿäêîâ) ÷àñòîòû ìåõàíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ñèñòåì. Ðåçîíàíñíûå êîëåáàíèÿ ýòèõ (è äðóãèõ) ìîëåêóë âîçáóæäàþòñÿïðè âçàèìîäåéñòâèè ðàçíîèìåííî çàðÿæåííûõ èîíîâ, ñîñòàâëÿþùèõ ýòè ìîëåêóëû, ñ ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì ñâåòîâîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû èíôðàêðàñíîãî (ÈÊ) äèàïàçîíà.Óâåëè÷èì ÷èñëî ãðóçîâ, çàêðåïëåííûõ íà øíóðå ÷åðåç ðàâíûå ïðîìåæóòêèà. Åñëè N ÷èñëî ýòèõ ãðóçîâ, òî ïîëíàÿ äëèíà øíóðà ðàâíà l = a (N + 1) (ðèñ.21.15). Ðàññ÷èòàåì íîðìàëüíûå ÷àñòîòû âñåõ ìîä è èõ êîíôèãóðàöèè.
Áóäåìñ÷èòàòü, ÷òî íåâåñîìûé øíóð íàòÿíóò ñ ñèëîé F, è ïðè ìàëûõ îòêëîíåíèÿõìàññ îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ (s = l) ýòà ñèëà íå ìåíÿåòñÿ. Êàæäûé ãðóçèñïûòûâàåò äåéñòâèå ñèë íàòÿæåíèÿ øíóðà ïî îáå ñòîðîíû îò íåãî.Íà ðèñ. 21.16 ïîêàçàíî ìãíîâåííîå ïîëîæåíèå ôðàãìåíòà øíóðà è òðåõ ãðóçîâ. Åñëè óãëû θ1 è θ2 ìàëû, òî âîçâðàùàþùàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ñðåäíèéãðóç, ðàâíà:f = −F (sin θ1 + sin θ2) ≈ −F (θ1 + θ2).Ðèñ. 21.15Ðèñ. 21.14386Ðèñ. 21.16(21.45)Óãëû θ1 è θ2 çàâèñÿò îò âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ãðóçîâ:θ1 ≈sn − sn −1s − sn +1; θ2 ≈ n.aa(21.46)Ñ ó÷åòîì (21.45) è (21.46) óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ñðåäíåãî ãðóçà ïðèíèìàåòâèä:⎛ s − sn −1 sn − sn +1 ⎞ms&&n = −F ⎜ n+⎟.aa⎝⎠(21.47) ñëó÷àå íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìûsn − 1 (t ) = s0, n − 1 sin ωt;sn(t ) = s0, n sin ωt;(21.48)sn + 1(t ) = s0, n + 1 sin ωt,ïðè÷åì ÷àñòîòó ω è ðàñïðåäåëåíèå àìïëèòóä ïðåäñòîèò îïðåäåëèòü.Ïîäñòàâëÿÿ (21.48) â (21.47), ïîëó÷èì:⎛maω2 ⎞s − s0,n +1 = 0.−s0,n −1 + ⎜ 2 −F ⎠⎟ 0,n⎝(21.49)Ïîñêîëüêó n = 1, 2, 3, ..., N, òî (21.49) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèñòåìó N ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé.
Èç óñëîâèÿ ðàâåíñòâà íóëþ åå îïðåäåëèòåëÿìîæíî ðàññ÷èòàòü âñå N íîðìàëüíûõ ÷àñòîò, à çàòåì äëÿ êàæäîé èç ýòèõ ÷àñòîòíàéòè ðàñïðåäåëåíèå àìïëèòóä äëÿ êàæäîé ìîäû, ÷èñëî êîòîðûõ, î÷åâèäíî,áóäåò ðàâíî N. Ìû æå èñïîëüçóåì óæå îïèñàííûé ðàíåå áîëåå ëåãêèé ïóòü èáóäåì èñêàòü êîíôèãóðàöèþ êàæäîé ìîäû â âèäå «ñèíóñîèäàëüíîé» êîíôèãóðàöèè:s0(x) = s0 sin kx, èëè s0, n = s0(xn),(21.50)ãäå x1 = a, x2 = 2a, ..., xn = na, ..., xN = Na.Óáåäèìñÿ, ÷òî êîíôèãóðàöèÿ (21.50) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (21.49), êîòîðîå ïåðåïèøåì â âèäå:s0,n +1 + s0,n −1 2Ω2 − ω2=,s0,nΩ2(21.51)F.maÏîäñòàâèì (21.50) â ëåâóþ ÷àñòü (21.51):ãäå Ω2 =sin k (n + 1) a + sin k (n − 1) a2Ω2 − ω2.= 2 cos ka =sin knaΩ2(21.52)Î÷åâèäíî, ÷òî (21.50) óäîâëåòâîðèò óðàâíåíèþ (21.49), åñëè äëÿ äàííîãî kïîäîáðàòü ïîäõîäÿùóþ ÷àñòîòó ω.Ïàðàìåòð k íàçîâåì âîëíîâûì ÷èñëîì (îáúÿñíåíèå ýòîãî òåðìèíà áóäåò äàíîâ ñëåäóþùåé ëåêöèè).
Ýòîò ïàðàìåòð äîëæåí áûòü òàêèì, ÷òîáû íà êîíöàõ387çàêðåïëåííîãî øíóðà óäîâëåòâîðÿëèñü ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ. Ïðè x = 0 ýòè óñëîâèÿâûïîëíÿþòñÿ: sin (k ⋅ 0) = 0. Íà äðóãîì êîíöå, ãäå x = a (N + 1),sin [ka (N + 1)] = 0,îòêóäà ïîëó÷èìk p a (N + 1) = p π, èëè k p =pπ,a ( N + 1)(21.53)(21.54)ãäå öåëîå ÷èñëî p = I, II, ..., N óêàçûâàåò íà íîìåð ìîäû (êîëè÷åñòâî ìîä, êàêáûëî ïîêàçàíî âûøå, ðàâíî N ). Êàæäîé p-é ìîäå ñîîòâåòñòâóåò ñâîÿ ÷àñòîòà,êîòîðóþ ìîæíî íàéòè èç óðàâíåíèÿ (21.52):⎛pπ ⎞ω2p = 2Ω 2 (1 − cos k p a ) = 2Ω 2 ⎜⎜ 1 − cos⎟.(N + 1) ⎠⎟⎝(21.55)Çíàÿ âîëíîâûå ÷èñëà kp è íîðìàëüíûå ÷àñòîòû ωp, íå ñîñòàâëÿåò òðóäà ïîëó÷èòü âûðàæåíèÿ äëÿ ñìåùåíèé âñåõ ãðóçîâ êàê ôóíêöèé âðåìåíè.
Äëÿ ð-éìîäû ìîæíî çàïèñàòü:sp (xn, t) = s0p sin kp xn ⋅ sin (ωpt + ϕp),ãäå xn = na; n = 1, 2, ..., N.Ðèñ. 21.17388(21.56)Àìïëèòóäà s0p è íà÷àëüíàÿ ôàçà ϕp îïðåäåëÿþòñÿ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè,à kp è ωp ñâîéñòâàìè ñàìîé ñèñòåìû [ôîðìóëû (21.54) è (21.55)]. ñèëó ëèíåéíîñòè êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû â ñàìîì îáùåì ñëó÷àå êîëåáàíèé äëÿ ñìåùåíèÿ âñåõ ÷àñòèö ïîëó÷àåì âûðàæåíèå:s ( xn,t ) =∑ s p ( xn,t ),p(21.57)ãäå ñóììèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ òîëüêî ïî òåì ìîäàì, êîòîðûå «ó÷àñòâóþò» âêîëåáàíèÿõ. Òàê, óäåðæèâàÿ âñå âðåìÿ ñðåäíèé ãðóç â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ,ìû íå ìîæåì âîçáóäèòü ìîäû ñ íå÷åòíûìè íîìåðàìè p = I, III, ..., ïîñêîëüêóýòè ìîäû «òðåáóþò» ñìåùåíèÿ öåíòðàëüíîãî ãðóçà.Ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé (21.55), ìîæíî âû÷èñëèòü íîðìàëüíûå ÷àñòîòû êîëåáëþùèõñÿ ãðóçîâ íà øíóðå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
