В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Óñëîâèå îïòèìàëüíîãî âîçáóæäåíèÿ ñòîÿ÷èõ âîëí (ìîä)ïîëó÷àåòñÿ èç òåõ ñîîáðàæåíèé, ÷òî èìïóëüñ èçìåíÿåò ïîëÿðíîñòü òîëüêî ïðèîòðàæåíèè îò ëåâîãî êîíöà øíóðà. Äëÿ óñèëåíèÿ èìïóëüñà íåîáõîäèìî, ÷òîáûëåâûé êîíåö â ìîìåíò âðåìåíè t = Δt äâèãàëñÿ âíèç, ïðîõîäÿ ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ:s (Δt ) = ξ0 sin (ωΔt ) = 0;.s (Δt ) = ξ0ω cos (ωΔt) = −ξ0ω.(22.41)Ïîýòîìó ÷àñòîòà ω äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ:ωp Δt = (2p − 1) π,(22.42)πc0( 2 p − 1) .2l(22.43)ãäå p = I, II, III, ¾ .Îòêóäàωp =Ïîñëåäíåå óñëîâèå ñòàíîâèòñÿ áîëåå íàãëÿäíûì, åñëè ïåðåéòè ê äëèíå âîëíû λp :l = (2p − 1) λp / 4,(22.44)ãäå p = I, II, III, ¾ .Ñîîòâåòñòâóþùèå òðè ïåðâûå ìîäû èçîáðàæåíû íà ðèñ. 22.16.
Î÷åâèäíî, ÷òîýòî áóäóò ñòîÿ÷èå âîëíû, îòâå÷àþùèå ðàçíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì: íà ëåâîìêîíöå äîëæåí áûòü óçåë, à íà ïðàâîì ïó÷íîñòü. Íà äëèíå øíóðà ïðè ýòîìóêëàäûâàåòñÿ íå÷åòíîå ÷èñëî ÷åòâåðòåé äëèíû âîëíû.404Ç à ì å ÷ à í è å. Ïðè âîçáóæäåíèè ìîäû ìû çàäàâàëè çàêîí äâèæåíèÿ çàêðåïëåííîãî êîíöà øíóðà â âèäå s (t ) = ξ0 sin ωt, ÷òî ìîæåò âûçâàòü íåêîòîðîå íåäîóìåíèå êàê ìîæåò äâèãàòüñÿ çàêðåïëåííûé êîíåö? Îäíàêî àìïëèòóäà êîëåáàíèé ξ0 îáû÷íî çíà÷èòåëüíî ìåíüøå àìïëèòóäû êîëåáàíèé â ïó÷íîñòÿõ, ïîýòîìó íåçíà÷èòåëüíî âèáðèðóþùèé êîíåö øíóðà ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàêíåïîäâèæíûé.Âîëíû â óïðóãèõ òåëàõ.
Êàê ìû âèäåëè, ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ñîñåäíèìè êîëåáëþùèìèñÿ ýëåìåíòàìè øíóðà îáåñïå÷èâàþò ðàñïðîñòðàíåíèå â íåìâîëí.  óïðóãèõ òåëàõ òàêèå ñèëû ñâîäÿòñÿ ê êàñàòåëüíûì è íîðìàëüíûì íàïðÿæåíèÿì, âîçíèêàþùèì ïðè äåôîðìàöèÿõ ñäâèãà è ðàñòÿæåíèÿ (ñæàòèÿ). Ýòèìäåôîðìàöèÿì ñîîòâåòñòâóþò äâà òèïà âîëí: ïîïåðå÷íûå è ïðîäîëüíûå.Ïîïåðå÷íûå âîëíû. Åñëè ïî ñòåðæíþ, èçãîòîâëåííîìó èç óïðóãîãî ìàòåðèàëà, óäàðèòü ìîëîòêîì â åãî ñðåäíåé ÷àñòè (ðèñ. 22.17), òî â îáå ñòîðîíû îòìåñòà óäàðà ïîáåãóò èìïóëüñû, êàê ýòî èìåëî ìåñòî â øíóðå ñ ãðóçàìè (ðèñ.22.1).
Îäíàêî ïîïåðå÷íûå ñìåùåíèÿ ÷àñòèö ñòåðæíÿ áóäóò íåçàìåòíû äëÿ ãëàçà, ïîýòîìó äëÿ ðåãèñòðàöèè áåãóùèõ ïî ñòåðæíþ âîçìóùåíèé òðåáóþòñÿ ñïåöèàëüíûå ìåòîäû.Ïîñêîëüêó äèñïåðñèÿ âîëí ìåõàíè÷åñêîé ïðèðîäû â ñïëîøíîé ñðåäå îòñóòñòâóåò, òî ñêîðîñòü èõ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ìîæíî ðàññ÷èòàòü ñ ïîìîùüþ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ. Íà ðèñ. 22.18 ïîêàçàí ôðàãìåíò êîëåáëþùåãîñÿ ñòåðæíÿ. Íàñðåäíèé ýëåìåíò äëèíîé Δx äåéñòâóþò êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ [ñëåâà στ(x) èñïðàâà στ(x + Δx)], çíà÷åíèÿ êîòîðûõ ïðîïîðöèîíàëüíû äåôîðìàöèÿì ñäâèãàñîñåäíèõ ýëåìåíòîâ:στ ( x ) = G tg [γ( x )] = G∂s;∂x x∂sστ ( x + Δx ) = G tg [γ( x + Δx )] = G∂x(22.45)x +Δx,ãäå G ìîäóëü ñäâèãà; γ óãîë ñäâèãà.Åñëè ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ ðàâíà S, òî ìàññà ýëåìåíòàΔm = SρΔx (ρ ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà).
Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ýòîãî ýëåìåíòà ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå:S ρΔxÐèñ. 22.17⎛ ∂s∂2s=G ⎜2∂t⎝ ∂xx +Δx−∂s ⎞S.∂x x ⎟⎠(22.46)Ðèñ. 22.18405Ïîäåëèâ îáå ÷àñòè (22.46) íà S è Δx è ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè Δõ → 0,ïîëó÷àåì âîëíîâîå óðàâíåíèå:∂2s G ∂2s=.ρ ∂x 2∂t 2(22.47)Åãî ðåøåíèåì, êàê ìû óæå îòìå÷àëè âûøå, ÿâëÿåòñÿ ëþáàÿ ôóíêöèÿ àðãóìåíòà θ = t m x / c:s (x, t ) = s (θ) = s (t m x / c ),(22.48)à ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû(22.49)c = G ρ.Ïðîöåññû ðàñïðîñòðàíåíèÿ è îòðàæåíèÿ ïîïåðå÷íûõ âîëí â ñòåðæíå ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íû òàêîâûì â îäíîðîäíîì íàòÿíóòîì øíóðå, ïîýòîìó ìû èõðàññìàòðèâàòü íå áóäåì. Ñêîíöåíòðèðóåì âíèìàíèå íà çàêîíîìåðíîñòÿõ ïåðåíîñà ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè áåãóùåé âîëíîé.Ýíåðãèÿ, ïåðåíîñèìàÿ âîëíîé. Âåêòîð Óìîâà.  ëåêöèè 15 ìû îòìå÷àëè, ÷òîïðè äåôîðìàöèè ñäâèãà â åäèíèöå îáúåìà òåëà çàïàñàåòñÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿwγ =( ),∂s1 2 1Gγ = G∂x222(22.50)íàçûâàåìàÿ îáúåìíîé ïëîòíîñòüþ ýíåðãèè ïðè äåôîðìàöèè ñäâèãà.
 (22.50)∂s. Ïîìèìî ýòîãî, åäèíèöà îáúåìà ñ ìàññîé, ðàâíîé ρ èïîëàãàåì γ ≈ tg γ =∂x∂sñêîðîñòüþ êîëåáàíèé L =èìååò êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ∂twL =( ).1 2 1 ∂sρL = ρ22 ∂t2(22.51)Ïîëíàÿ ýíåðãèÿ åäèíèöû îáúåìà ðàâíàw = wγ + wL =( ) + ρ ( ∂∂st ) ⎤⎥⎦ .1 ⎡ ∂s⎢G2 ⎣ ∂x22(22.52)Ïîêàæåì, ÷òî â áåãóùåé âîëíå (22.48) wγ = wL. Äëÿ ýòîãî âû÷èñëèì ïðîèçâîäíûå:( )1∂s ds ∂θ dsm ;==∂x d θ ∂x d θ c∂s ds ∂θ ds.==∂t d θ ∂t d θ(22.53)Èç (22.53) ïîëó÷àåìèëè1 ∂s∂s,=mc ∂t∂x(22.54)γ = m L/ c.Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî â áåãóùåé âîëíå äåôîðìàöèè γ êàêîãî-ëèáî ýëåìåíòà ïðîïîðöèîíàëüíû ñêîðîñòè åãî êîëåáàíèé L. Âîçâîäÿ (22.54) â êâàäðàò èó÷èòûâàÿ, ÷òî c 2 = G / ρ, ïîëó÷àåì406Ðèñ.
22.19Ðèñ. 22.20( )( )22∂s11 ∂s= ρ,G(22.55)∂x22 ∂tèëè wγ = wL. Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïîçâîëÿåò çàïèñàòü ïîëíóþ ïëîòíîñòü ýíåðãèèw â âèäå:w = 2wγ = 2wL.(22.56)Ïîñêîëüêó âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ, òî îíà ïåðåíîñèò ìåõàíè÷åñêóþ ýíåðãèþ. Òàê, çà âðåìÿ Δt ÷åðåç ïëîùàäêó åäèíè÷íîé ïëîùàäè, çàøòðèõîâàííóþ íàðèñ. 22.19, áóäåò ïåðåíåñåíà ýíåðãèÿ, ðàâíàÿΔW = wcΔt.(22.57) ôèçèêå èñïîëüçóþò ïîíÿòèå ïëîòíîñòè ïîòîêà ýíåðãèè, îïðåäåëÿåìîéêîëè÷åñòâîì ýíåðãèè, ïåðåíîñèìîé çà åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç åäèíè÷íóþ ïëîùàäêó, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû. Ñîãëàñíî(22.57), ýòà ïëîòíîñòü ðàâíàJ =ΔW= wc.Δt(22.58)Åñëè ïëîùàäêà èìååò ïëîùàäü dS, à åå íîðìàëü n ñîñòàâëÿåò ñ íàïðàâëåíèåì ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû (îñüþ Oõ) óãîë α (ðèñ. 22.20), òî êîëè÷åñòâî ýíåðãèè, ïåðåíîñèìîå âîëíîé ÷åðåç ýòó ïëîùàäêó çà åäèíèöó âðåìåíè (ïîòîê ýíåðãèè), ðàâíîdΦ = wc ⋅ dS cos α.(22.59)Ïðîôåññîðîì Ìîñêîâñêîãî óíèâåðñèòåòà Í.
À. Óìîâûì â 1874 ã. áûë ââåäåíâåêòîð ïëîòíîñòè ïîòîêà ýíåðãèèJ = w c,(22.60)ïîëó÷èâøèé íàçâàíèå âåêòîð Óìîâà. Ñ åãî èñïîëüçîâàíèåì ïîòîê dΦ ìîæåòáûòü çàïèñàí â âèäåd Φ = Jd S = JdS cos α,(22.61)ãäå dS = dS ⋅ n. Ñ ïîäîáíûì ïðåäñòàâëåíèåì ïîòîêà âåêòîðà ñêîðîñòè ìû âñòðå÷àëèñü ïðè èçó÷åíèè äâèæåíèÿ æèäêîñòåé.Óäîáñòâî âåêòîðà Óìîâà ñòàíîâèòñÿ îñîáåííî îùóòèìûì, êîãäà âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Òîãäà ïîòîê ýíåðãèè ÷åðåç ïðîèçâîëüíóþ ïîâåðõíîñòü S âûðàæàåòñÿ â âèäå èíòåãðàëà ïî ýòîé ïîâåðõíîñòè:Φ =∫ J d S.(22.62)S407Ïîäñ÷èòàåì ñðåäíåå çà ïåðèîä çíà÷åíèå âåêòîðà Óìîâà äëÿ áåãóùåé âäîëüñòåðæíÿ ïîïåðå÷íîé ãàðìîíè÷åñêîéâîëíûs (x, t ) = s0 sin (ωt − kx).(22.63)Îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè (ñóììàïîòåíöèàëüíîé è êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèé) ðàâíàÐèñ.
22.21w=ρ( ∂∂st )2= ρs02 ω2 cos 2 (ωt − kx ).(22.64) íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè îíà ðàñïðåäåëåíà âäîëü ñòåðæíÿ òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 22.21. Ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ýòî ðàñïðåäåëåíèå ñìåùàåòñÿ âäîëüîñè Oõ ñî ñêîðîñòüþ ñ. Ïëîòíîñòü ïîòîêà ýíåðãèè ÷åðåç ëþáîå ñå÷åíèå x = constáóäåò ïåðèîäè÷åñêè âîçðàñòàòü îò íóëÿ äî ìàêñèìàëüíîé âåëè÷èíû ρs02ω2.
Ïîýòîìó óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ñðåäíèì çíà÷åíèåì J çà ïåðèîä T = 2π / ω:1TI =T1∫ Jdt = 2 cρω2 s02 .(22.65)0Ýòà âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ èíòåíñèâíîñòüþ áåãóùåé âîëíû. Âàæíî îòìåòèòü,÷òî èíòåíñèâíîñòü ïðîïîðöèîíàëüíà êâàäðàòó àìïëèòóäû. ñòîÿ÷åé âîëíå íåò ïåðåíîñà ýíåðãèè, òàê êàê îíà ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèåéäâóõ áåãóùèõ âîëí, ïåðåíîñÿùèõ îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî ýíåðãèè â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ. Îäíàêî ëîêàëüíîå äâèæåíèå ýíåðãèè â îãðàíè÷åííîìïðîñòðàíñòâå ìåæäó ñîñåäíèìè óçëàìè âñå æå ïðîèñõîäèò. Çàïèøåì óðàâíåíèåñòîÿ÷åé âîëíû (22.34), îïóñòèâ â íåì ïîñòîÿííûå ôàçîâûå äîáàâêè ϕîòð / 2 è kl:s (x, t ) = 2s0 cos (kx) sin (ωt ).(22.66)Îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè ïðè äåôîðìàöèè ñäâèãà ðàâíàwγ =( )2∂s1G∂x2= 2s02k 2G sin 2 (kx ) sin 2 (ωt ) ,(22.67)à îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè âûðàæàåòñÿ â âèäå:wL =( )1 ∂sρ2 ∂t2= 2s02 ω2ρ cos 2 (kx ) cos 2 (ωt ) == 2s02 k 2G cos 2 (kx ) cos 2 (ωt ),(22.68)ïîñêîëüêó c2 = ω2/ k2 = G/ρ.Ëîêàëüíîå äâèæåíèå ýíåðãèè íàãëÿäíî äåìîíñòðèðóåò ðèñ.
22.22, íà êîòîðîì ïîêàçàí ôðàãìåíò ñòîÿ÷åé âîëíû â ìîìåíòû âðåìåíè t1 = 0 è t2 = t1 + T/ 4 (à)è ñîîòâåòñòâóþùèå ðàñïðåäåëåíèÿ wγ (á) è wL (â). Âèäíî, ÷òî ïðè t = t1, êîãäàýëåìåíòû ñòåðæíÿ ïðîõîäÿò ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ è èìåþò ìàêñèìàëüíûåñêîðîñòè, äåôîðìàöèÿ îòñóòñòâóåò (wγ = 0), à âñÿ ýíåðãèÿ çàïàñåíà â âèäå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè wL è ëîêàëèçîâàíà âáëèçè ïó÷íîñòè.
Îäíàêî ÷åðåç ÷åòâåðòü408Ðèñ. 22.22Ðèñ. 22.23ïåðèîäà êîëåáàíèé ÷àñòèöû ñòåðæíÿ ñìåñòÿòñÿ íà ìàêñèìàëüíûå ðàññòîÿíèÿ èîñòàíîâÿòñÿ (wL = 0). Ýíåðãèÿ áóäåò çàïàñåíà â âèäå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè wγ èëîêàëèçîâàíà âáëèçè óçëîâ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ýíåðãèÿ èç îáëàñòè âáëèçè ïó÷íîñòè çà ÷åòâåðòü ïåðèîäà êîëåáàíèé ïåðåòåêàåò â îáå ñòîðîíû ïî íàïðàâëåíèþ êóçëàì. Çàòåì îíà äâèæåòñÿ â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè, è ýòîò ïðîöåññ ïîâòîðÿåòñÿìíîãîêðàòíî. Ïîòîê ýíåðãèè ÷åðåç óçëû îòñóòñòâóåò.
Ñðåäíåå çà ïåðèîä çíà÷åíèåïîòîêà ýíåðãèè ÷åðåç ëþáîå ñå÷åíèå x = const áóäåò ðàâíî íóëþ (I = 0).Ïðîäîëüíûå âîëíû. Òàêèå âîëíû ìîãóò áûòü âîçáóæäåíû óäàðîì ìîëîòêà ïîîäíîìó èç òîðöîâ óïðóãîãî ñòåðæíÿ. Âîçìóùåíèå, ðàñïðîñòðàíÿþùååñÿ âäîëüñòåðæíÿ, âèçóàëüíî íåçàìåòíî, îäíàêî îñíîâíûå çàêîíîìåðíîñòè òàêîãî âîëíîâîãî ïðîöåññà ìîæíî óñòàíîâèòü, åñëè âìåñòî ñòåðæíÿ èñïîëüçîâàòü äëèííóþ ïðóæèíó ñ âèòêàìè áîëüøîãî äèàìåòðà (ðèñ. 22.23). Åñëè ýòó ïðóæèíóïîäâåñèòü ãîðèçîíòàëüíî íà íåñêîëüêèõ íèòÿõ (íå ïîêàçàííûõ íà ðèñóíêå) èðåçêî óäàðèòü ëàäîíüþ ïî åå ëåâîìó òîðöó, òî ïî ïðóæèíå ïîáåæèò èìïóëüññæàòèÿ ñ íåêîòîðîé ñêîðîñòüþ c. Íà ðèñ.
22.23, à ýòîò èìïóëüñ èìååò äëèíó cτè(τè äëèòåëüíîñòü èìïóëüñà, ðàâíàÿ äëèòåëüíîñòè óäàðà). Äîáåæàâ äî ïðàâîãîêîíöà ïðóæèíû, îí îòðàçèòñÿ. Ïðè ýòîì, åñëè êîíåö çàêðåïëåí (ðèñ. 22.23, á ),òî îòðàæåííûé èìïóëüñ òàêæå áóäåò èìïóëüñîì ñæàòèÿ. Åñëè ïðàâûé êîíåöñâîáîäåí, òî îòðàæåííûé èìïóëüñ áóäåò èìïóëüñîì ðàñòÿæåíèÿ (ðèñ. 22.23, â).Îí âîçíèêàåò â ìîìåíò ñìåùåíèÿ âïðàâî ñâîáîäíîãî êîíöà ïðóæèíû, êîãäàäî íåãî äîáåæèò èìïóëüñ ñæàòèÿ. Ýòà ñèòóàöèÿ íàïîìèíàåò ñìåùåíèå ñâîáîäíîãî êîíöà øíóðà. Îòìåòèì, ÷òî â ðàññìîòðåííîì ñëó÷àå ñìåùåíèÿ âèòêîâïðóæèíû ïðîèñõîäÿò âäîëü íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû, ïîýòîìó âîëíàíàçûâàåòñÿ ïðîäîëüíîé.Ðàññìîòðèì òåïåðü ðàñïðîñòðàíåíèå èìïóëüñîâ ñæàòèÿ è ðàñòÿæåíèÿ âñòåðæíå.409Ðàçäåëèì ñòåðæåíü íà ðÿä ýëåìåíòîâäëèíîé Δx êàæäûé.
Ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ïðîäîëüíîé âîëíû êîíöû êàæäîãîýëåìåíòà, îòìå÷åííûå íà ðèñ. 22.24ñïëîøíûìè ëèíèÿìè, áóäóò ñìåùåíûÐèñ. 22.24â íîâûå ïîëîæåíèÿ, îòìå÷åííûå øòðèõîâûìè ëèíèÿìè. Ýòè ñìåùåíèÿ s áóäåì ñ÷èòàòü ïîëîæèòåëüíûìè, åñëè îíè ïðîèñõîäÿò â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè Oõ, è îòðèöàòåëüíûìè â ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå.Ïóñòü ëåâûé êîíåö íåêîòîðîãî ýëåìåíòà, èìåþùèé êîîðäèíàòó õ, ñìåñòèëñÿ â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè t íà ðàññòîÿíèå s (x, t ), à ïðàâûé êîíåö íàs (x + Δx, t ). Äåôîðìàöèÿ ðàñòÿæåíèÿ (ñæàòèÿ) îïðåäåëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíûì óäëèíåíèåì ýëåìåíòà Δx:ε ( x, t ) = limΔx →0s ( x + Δx, t ) − s ( x, t ) ∂s=.Δx∂x(22.69)Îòìåòèì, ÷òî äåôîðìàöèè ðàñòÿæåíèÿ ñîîòâåòñòâóåò ε > 0, à äåôîðìàöèèñæàòèÿ ε < 0. îòëè÷èå îò ïîïåðå÷íîé âîëíû, ïëîòíîñòü ñðåäû ρ ïðè ðàñòÿæåíèè (ñæàòèè) óìåíüøàåòñÿ (óâåëè÷èâàåòñÿ). Åå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåρ = ρ0 + δ ρ; |δ ρ| = ρ0.(22.70)Çäåñü δ ρ ìàëàÿ äîáàâêà ê ðàâíîâåñíîé ïëîòíîñòè ρ0, ïðè÷åì δ ρ ìîæåòáûòü êàê ïîëîæèòåëüíîé, òàê è îòðèöàòåëüíîé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
