В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Ýòîò ôàêò èñïîëüçîâàëñÿâûøå ïðè ðàññìîòðåíèè îòðàæåíèÿ â ýòèõ ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿõ.ËÅÊÖÈß 23Òåïëîâûå êîëåáàíèÿ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè òâåðäûõ òåë. Àêóñòè÷åñêèåôîíîíû.  òâåðäîì òåëå èîíû ñîâåðøàþò òåïëîâûå êîëåáàíèÿ îêîëî ïîëîæåíèéðàâíîâåñèÿ â óçëàõ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè. Ïîñêîëüêó îíè âçàèìîäåéñòâóþòäðóã ñ äðóãîì, òî ñèñòåìà èîíîâ äîëæíà ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ñîâîêóïíîñòüñâÿçàííûõ îñöèëëÿòîðîâ. Òàêèå òåïëîâûå êîëåáàíèÿ èîíîâ ìîæíî ïðåäñòàâèòüâ âèäå ñóïåðïîçèöèè ñòîÿ÷èõ çâóêîâûõ âîëí, ÷àñòîòû ω êîòîðûõ çàêëþ÷åíû âäèàïàçîíå 0 < ω ≤ ωN, ãäå ωN ìàêñèìàëüíàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé, îáóñëîâëåííàÿ äèñêðåòíîñòüþ ñðåäû (ñì.
ëåêöèþ 22).Ïðè íàãðåâàíèè êðèñòàëëà ýíåðãèÿ òåïëîâûõ êîëåáàíèé óâåëè÷èâàåòñÿ. Åñòåñòâåííî, ÷òî èíôîðìàöèþ îá ýòèõ êîëåáàíèÿõ ìîæíî ïîëó÷èòü, èçìåðÿÿ òåïëîåìêîñòü êðèñòàëëîâ. Åñëè áû êàæäûé èîí ïðåäñòàâëÿë ñîáîé êëàññè÷åñêèé îñöèëëÿòîð, êîëåáëþùèéñÿ â òðåõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ íàïðàâëåíèÿõ, òî,â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé î ðàâíîðàñïðåäåëåíèè ýíåðãèè ïî ñòåïåíÿì ñâîáîäû, îí îáëàäàë áû ýíåðãèåé ε1 = 6kT / 2, ãäå k ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà, à T àáñîëþòíàÿ òåìïåðàòóðà.
Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî êîëåáëþùèéñÿ èîí îáëàäàåò ñðåäíåé êèíåòè÷åñêîé è ðàâíîé åé ñðåäíåé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé kT / 2 ïî êàæäîé èç òðåõ ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ïîñêîëüêó ýíåðãèÿ êðèñòàëëà, ñîñòîÿùåãî èç Nàòîìîâ, U = Nε1 = 3NkT, òî åãî òåïëîåìêîñòü ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå ðàâíà∂U ⎞cV = ⎛⎜⎟ = 3Nk⎝ ∂T ⎠V(23.1)(3R äëÿ îäíîãî ìîëÿ, çàêîí Äþëîíãà è Ïòè).Ìåæäó òåì ôîðìóëà (23.1) ñîãëàñóåòñÿ ñ ýêñïåðèìåíòîì ëèøü ïðè âûñîêèõòåìïåðàòóðàõ, à ïðè ïðèáëèæåíèè òåìïåðàòóðû ê àáñîëþòíîìó íóëþ, êàê ïîêàçûâàåò îïûò, cV ∼ T 3. ×òîáû îáúÿñíèòü òàêîå ïîâåäåíèå òåïëîåìêîñòè, À. Ýéíøòåéí ïðåäëîæèë ðàññìàòðèâàòü èîíû êàê íåçàâèñèìûå îñöèëëÿòîðû, îáëàäàþùèå äèñêðåòíûì íàáîðîì çíà÷åíèé ýíåðãèè, îäíàêî åìó íå óäàëîñü ïîëó÷èòü äëÿ òåïëîåìêîñòè çàâèñèìîñòü T 3.Íà ñàìîì äåëå òåïëîâûå êîëåáàíèÿ èîíîâ ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû êàêñóïåðïîçèöèÿ íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé, èëè ìîä ñèñòåìû ñâÿçàííûõ îñöèëëÿòîðîâ.
Êàæäàÿ ìîäà ñ ÷àñòîòîé ω îáëàäàåò ýíåðãèåé, êðàòíîé ω, ãäå = h / 2π(h ≈ 6,63 ⋅ 10−34 Äæ ⋅ ñ ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà). Åñëè ïðèíÿòü âî âíèìàíèå, ÷òî âòâåðäîì òåëå âîçìîæíî ðàñïðîñòðàíåíèå ïðîäîëüíîé âîëíû ñ ÷àñòîòîé ω èäâóõ ïîïåðå÷íûõ âîëí ñ òîé æå ÷àñòîòîé, èìåþùèõ äâà ðàçëè÷íûõ âçàèìíîïåðïåíäèêóëÿðíûõ íàïðàâëåíèÿ ñìåùåíèÿ àòîìîâ (äâå ðàçëè÷íûå ïîëÿðèçàöèè), òî ñ ó÷åòîì ðàçìåðîâ êðèñòàëëà è åãî äèñêðåòíîé ñòðóêòóðû ìîæíî ïîäñ÷èòàòü ÷èñëî ìîä â êðèñòàëëå. Òàêîé ïîäñ÷åò áûë âïåðâûå âûïîëíåí Ï. Äåáàåì, è ïîýòîìó ýòè âîëíû ïîëó÷èëè íàçâàíèå äåáàåâñêèõ.Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî, â îòëè÷èå îò êëàññè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ, ïðèâû÷èñëåíèè ýíåðãèè êðèñòàëëà ìîäà ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê êâàíòîâûé îáúåêò,îáëàäàþùèé äèñêðåòíûì íàáîðîì çíà÷åíèé ýíåðãèè (íàáîðîì ýíåðãåòè÷åñêèõóðîâíåé)416εn = nω,(23.2)ãäå n öåëîå ÷èñëî.Ïðè òåðìîäèíàìè÷åñêîì ðàâíîâåñèè âåðîÿòíîñòü Pn âîçáóæäåíèÿ ìîäû óáûâàåò ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ åå ýíåðãèè εn (èëè ÷èñëà n) â ñîîòâåòñòâèè ñ ðàñïðåäåëåíèåì Áîëüöìàíà: Pn ∼ e−nω/kT.
Ïðè íàãðåâàíèè êðèñòàëëà âåðîÿòíîñòü Pnðàñòåò, à çíà÷èò óâåëè÷èâàåòñÿ è çàïàñåííàÿ êðèñòàëëîì ýíåðãèÿ. Ïðè ïîäñ÷åòå ïîñëåäíåé Äåáàåì áûëà ââåäåíà õàðàêòåðíàÿ òåìïåðàòóðà (òåìïåðàòóðà Äåáàÿ) θÄ ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâàkθÄ = ωN.(23.3)Îáû÷íî θÄ ëåæèò â èíòåðâàëå (102 ÷ 103) Ê. Ïðè T ? θÄ ñïðàâåäëèâ çàêîí Äþëîíãà è Ïòè, à ïðè T = θÄ òåïëîåìêîñòü cV ∼ T 3.Ñîîòíîøåíèå (23.2) àíàëîãè÷íî âûðàæåíèþ äëÿ ýíåðãèè ôîòîíîâ (êâàíòîâñâåòà). Ýòî ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü ìîäó êàê êâàçè÷àñòèöó, íàçûâàåìóþ òåïëîâûì ôîíîíîì. Ââåäåíèå ýòîãî íîâîãî ïîíÿòèÿ ÿâëÿåòñÿ âåñüìà ïëîäîòâîðíûì è ñìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ çíà÷èòåëüíî îáëåã÷àåò àíàëèç òåïëîâûõ êîëåáàíèé êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè.
Ïðåäñòàâëåíèå î ôîíîííîì ãàçå â òâåðäîì òåëåøèðîêî èñïîëüçóåòñÿ ïðè îïèñàíèè òàêèõ ñâîéñòâ, êàê òåïëîåìêîñòü, òåïëîïðîâîäíîñòü, òåïëîâîå ðàñøèðåíèå, ýëåêòðè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå è äð.  ôèçèêå èñïîëüçóþòñÿ è äðóãèå êâàçè÷àñòèöû: ïëàçìîí (âîëíà ýëåêòðîííîé ïëîòíîñòè), ìàãíîí (âîëíà ïåðåìàãíè÷èâàíèÿ), ïîëÿðîí (ýëåêòðîí + óïðóãàÿ äåôîðìàöèÿ), ýêñèòîí (âîëíà ýëåêòðîííîãî âîçáóæäåíèÿ). Ýòè êâàçè÷àñòèöû ÿâëÿþòñÿìîäàìè ñîîòâåòñòâóþùèõ êîëåáàíèé.Îáúåìíûå ñåéñìè÷åñêèå âîëíû. Ñîâðåìåííàÿ ìîäåëü Çåìëè.
Âàæíûì ïðèìåðîì âîëí â óïðóãîì òâåðäîì òåëå ÿâëÿþòñÿ ñåéñìè÷åñêèå âîëíû, âîçíèêàþùèå âîãðàíè÷åííîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà (î÷àãå) ðàçìåðîì â íåñêîëüêî êèëîìåòðîâ è ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ íà îãðîìíûå ðàññòîÿíèÿ ïîä ïîâåðõíîñòüþ Çåìëè.Òàêèå âîëíû áûâàþò ïîïåðå÷íûìè (âîëíû ñäâèãà) è ïðîäîëüíûìè (ñæàòèÿ èðàçðåæåíèÿ) è ìîãóò ïðîíèçûâàòü âñþ íàøó ïëàíåòó.
Ýòî ïîçâîëÿåò (ïîäîáíîðåíòãåíîâñêîìó àíàëèçó) èññëåäîâàòü âíóòðåííåå ñòðîåíèå Çåìëè. Çàíèìàåòñÿýòèì ñïåöèàëüíàÿ íàóêà ñåéñìîëîãèÿ, îäíèì èç îñíîâàòåëåé êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ðóññêèé ôèçèê Á. Á. Ãîëèöûí.Ñêîðîñòü ïðîäîëüíûõ âîëí ïðèáëèçèòåëüíî â 1,7 ðàçà áîëüøå ñêîðîñòè ïîïåðå÷íûõ, ïîýòîìó ýòè âîëíû ðåãèñòðèðóþòñÿ íà ñåéñìîãðàììàõ ïîñëåäîâàòåëüíî: âíà÷àëå ïðèõîäÿò áîëåå áûñòðûå ïðîäîëüíûå (ïåðâè÷íûå), êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ð-âîëíàìè, à ïîòîì ïîïåðå÷íûå (âòîðè÷íûå), íàçûâàåìûå s-âîëíàìè.
Êðîìå òîãî, ñåéñìîãðàôû ðåãèñòðèðóþò è çàìåòíûé ôîí, èëè øóìû, ñâÿçàííûåêàê ñ ðàáîòîé ïðîìûøëåííûõ óñòàíîâîê è òðàíñïîðòà, òàê è ñ ñåéñìè÷åñêèìèâîëíàìè (ìèêðîñåéñìàìè), ãåíåðèðóåìûìè øòîðìàìè è âîëíåíèåì â îêåàíàõ.Åñëè áû ñêîðîñòè ð- è s-âîëí â Çåìëå íå èçìåíÿëèñü ñ ãëóáèíîé, òî âîëíûðàñïðîñòðàíÿëèñü áû ïî ïðÿìûì ëèíèÿì (ïðÿìûì ñåéñìè÷åñêèì ëó÷àì).  äåéñòâèòåëüíîñòè ñêîðîñòè ïðîäîëüíîé cp è ïîïåðå÷íîé cs âîëí âîçðàñòàþò ñãëóáèíîé. Èññëåäîâàíèå çàâèñèìîñòè ñêîðîñòåé cp è cs îò ãëóáèíû ïîçâîëèëîñäåëàòü âûâîä, ÷òî Çåìëÿ ðàçäåëÿåòñÿ íà òðè îñíîâíûå ÷àñòè: êîðó, ìàíòèþ èÿäðî (ðèñ.
23.1). Êîðà îòäåëåíà îò ìàíòèè ðåçêîé ñåéñìè÷åñêîé ãðàíèöåé, íàêîòîðîé ñêà÷êîîáðàçíî âîçðàñòàþò ïëîòíîñòü ρ è ñêîðîñòè cp è cs. Ýòà ãðàíèöà417áûëà îòêðûòà â 1909 ã. þãîñëàâñêèìñåéñìîëîãîì À. Ìîõîðîâè÷è÷åì è íîñèò íàçâàíèå ãðàíèöû Ì. Òîëùèíà ëåæàùåé âûøå ãðàíèöû Ì çåìíîé êîðûìåíÿåòñÿ îò ∼10 êì (ïîä ñëîåì âîäû âîêåàíè÷åñêèõ îáëàñòÿõ) äî íåñêîëüêèõäåñÿòêîâ êèëîìåòðîâ â ãîðíûõ ðàéîíàõêîíòèíåíòàëüíûõ îáëàñòåé. Íèæå êîðûäî ãëóáèí îêîëî 2900 êì ðàñïîëîæåíàñèëèêàòíàÿ îáîëî÷êà, èëè ìàíòèÿ Çåìëè.
Ñóùåñòâîâàíèå ÿäðà ñ ïëîòíîñòüþ,ïðåâûøàþùåé ñðåäíþþ ïëîòíîñòüÇåìëè, ðàâíóþ ïðèìåðíî 5,5 ã/ñì3, ñëåäóåò èç òîãî ôàêòà, ÷òî ïëîòíîñòü çåìíîé êîðû (îò ∼2,8 ã/ñì3 ó ãðàíèòîâ äî∼3,0 ã/ñì3 ó áàçàëüòîâ) ñóùåñòâåííîìåíüøå ýòîé ñðåäíåé ïëîòíîñòè.ßäðî ñîñòîèò â îñíîâíîì èç æåëåçà èíåáîëüøîé ïðèìåñè äðóãèõ ýëåìåíòîâ.Ðèñ. 23.1Îíî ïîäðàçäåëÿåòñÿ íà âíåøíþþ (æèäêóþ) è âíóòðåííþþ (òâåðäóþ) ÷àñòè,ðàçäåëåííûå ïåðåõîäíîé çîíîé. Åñòåñòâåííî, ÷òî ïîïåðå÷íûå s-âîëíû âî âíåøíåé (æèäêîé) ÷àñòè ÿäðà ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ íå ìîãóò. ïîñëåäíèå ãîäû áûëà âûÿâëåíà äåòàëüíàÿ ñòðóêòóðà ìàíòèè Çåìëè. Çåìíàÿ êîðà è âåðõíèé ñëîé ìàíòèè äî ãëóáèíû l ≈ 70 êì îáðàçóþò íàðóæíóþçîíó ëèòîñôåðó, èëè ëèòîñôåðíóþ ïëèòó.
Ýòà æåñòêàÿ ïëèòà ðàñêîëîòà ïðèìåðíî íà 10 áîëüøèõ ïëèò, ïî ãðàíèöàì êîòîðûõ ðàñïîëîæåíî ïîäàâëÿþùåå÷èñëî î÷àãîâ çåìëåòðÿñåíèé. Ïîä æåñòêîé ëèòîñôåðíîé ïëèòîé íà ãëóáèíàõ70 < l < 250 êì ðàñïîëîæåí ñëîé ïîâûøåííîé òåêó÷åñòè, íàçûâàåìûé àñòåíîñôåðîé. Ëèòîñôåðíûå ïëèòû êàê áû ïëàâàþò â «àñòåíîñôåðíîì îêåàíå» Çåìëè.Ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè îáúåìíîé ñåéñìè÷åñêîé âîëíû àìïëèòóäà óìåíüøàåòñÿ ñ ðàññòîÿíèåì r, ïðîéäåííûì âîëíîé îò òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà. Óðàâíåíèå òàêîé âîëíû, íàçûâàåìîé ñôåðè÷åñêîé, èìååò âèäs (r , t ) =s0 −αr⎡r ⎤e sin ⎢ω ⎛⎜ t − ⎞⎟ ⎥ .rc ⎠⎦⎣ ⎝(23.4)Èç ýòîãî óðàâíåíèÿ âèäíî, ÷òî àìïëèòóäà âîëíû óáûâàåò, âî-ïåðâûõ, èç-çàåå ãåîìåòðè÷åñêîãî ðàñõîæäåíèÿ âî âñå ñòîðîíû îò ýïèöåíòðà; ýòî óáûâàíèåïðîèñõîäèò îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî ïðîéäåííîìó âîëíîé ðàññòîÿíèþ r.
Âîâòîðûõ, àìïëèòóäà âîëíû óáûâàåò èç-çà ïåðåõîäà ÷àñòè ýíåðãèè âîëíû â òåïëîòó âñëåäñòâèå íåèäåàëüíîé óïðóãîñòè çåìíûõ íåäð. Ýòî îñëàáëåíèå õàðàêòåðèçóåòñÿ êîýôôèöèåíòîì çàòóõàíèÿ α. Êîýôôèöèåíò α ïðîïîðöèîíàëåí ÷àñòîòå ñåéñìè÷åñêîé âîëíû, ïîýòîìó êîðîòêèå âîëíû çàòóõàþò áûñòðåå äëèííûõ.Ðàñ÷åò ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ êîýôôèöèåíòîâ çàòóõàíèÿ s- è p-âîëí ìîãóò áûòüçàïèñàíû ñîîòíîøåíèÿ:αs (êì−1) ≈ 1 ⋅ 10−3ν (Ãö); αp (êì−1) ≈ 0,25 ⋅ 10−3ν (Ãö).418×àñòîòû îáúåìíûõ ñåéñìè÷åñêèõ âîëí ëåæàò â èíôðàçâóêîâîì äèàïàçîíå0,1 Ãö < ν < 10 Ãö.
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ âîëí ñ ÷àñòîòîé ν ≈ 1 Ãö óìåíüøåíèåàìïëèòóäû â å ðàç ó ïîïåðå÷íîé âîëíû ïðîèñõîäèò íà ïóòè ∼ 1000 êì, à óïðîäîëüíîé âîëíû íà ïóòè ∼ 4000 êì.Ïîìèìî áåãóùèõ âîëí, â òîëùå Çåìëè ìîãóò íàáëþäàòüñÿ è ñòîÿ÷èå âîëíû ñ ðàçëè÷íûìè ÷àñòîòàìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè ðàçëè÷íûì ìîäàì êîëåáàíèé. Êîíôèãóðàöèè ýòèõ ìîä îòíîñÿòñÿ ê äâóì îñíîâíûì òèïàì êîëåáàíèé:ñôåðîèäàëüíûì (íàèáîëüøèé ïåðèîä îêîëî 55 ìèí, ÷àñòîòà ∼ 3 ⋅ 10−4 Ãö)è òîðñèîííûì (êðóòèëüíûì) (íàèáîëüøèé ïåðèîä ∼ 44 ìèí, ÷àñòîòà îêîëî3,8 ⋅ 10−4 Ãö).  íàñòîÿùåå âðåìÿ ñïåêòð ýòèõ êîëåáàíèé íàñ÷èòûâàåò íåñêîëüêîòûñÿ÷ ýêñïåðèìåíòàëüíî îáíàðóæåííûõ ÷àñòîò.Ïîâåðõíîñòíûå ñåéñìè÷åñêèå âîëíû.
Íàðÿäó ñ îáúåìíûìè ñóùåñòâóþò èïîâåðõíîñòíûå ñåéñìè÷åñêèå âîëíû, êîòîðûå ïîäðàçäåëÿþò íà âîëíû Ðýëåÿè Ëÿâà. Îíè áûëè òåîðåòè÷åñêè ïðåäñêàçàíû Äæ. Ðýëååì â 1855 ã. è Ëÿâîì â1911 ã.  âîëíå Ðýëåÿ ÷àñòèöû ãðóíòà ñìåùàþòñÿ â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè,îðèåíòèðîâàííîé âäîëü íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí, à òðàåêòîðèè èõäâèæåíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ýëëèïñû (ñì. äàëåå ãðàâèòàöèîííûå âîëíû íàïîâåðõíîñòè æèäêîñòè).
 âîëíå Ëÿâà ÷àñòèöû äâèæóòñÿ â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè ïîïåðåê íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû.Äëèíû ïîâåðõíîñòíûõ âîëí λ, âîçáóæäàåìûõ ïðè çåìëåòðÿñåíèè, ëåæàò âèíòåðâàëå îò äåñÿòêîâ äî ìíîãèõ ñîòåí êèëîìåòðîâ.  ïîâåðõíîñòíûõ âîëíàõ àìïëèòóäà óáûâàåò ñ ãëóáèíîé, è íà ãëóáèíå l > λ êîëåáàíèÿ ìàíòèè ìàëû. Ïîýòîìóñ ïîìîùüþ òàêèõ âîëí ìîæíî èññëåäîâàòü ëèøü íàðóæíûå ñëîè Çåìëè.Àìïëèòóäà ïîâåðõíîñòíûõ âîëí óáûâàåò ìåäëåííåå (îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî r ), ÷åì ó îáúåìíûõ âîëí. Ïîýòîìó òàêèå âîëíû ìîãóò íåñêîëüêî ðàçîáîãíóòü çåìíîé øàð.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
