В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Ñ ó÷åòîì ïîñòîÿíñòâà ìàññûäåôîðìèðóåìîãî ýëåìåíòà Δx ìîæíî çàïèñàòü:ρ0Δx = (ρ0 + δρ)[Δx + s (x + Δx, t ) − s (x, t )] = (ρ0 + δρ)Δx (1 + ε).(22.71)Ðàñêðûâàÿ ñêîáêè è ïðåíåáðåãàÿ ìàëîé âåëè÷èíîé εδρ, ïîëó÷èìδρ/ρ0 = −ε.(22.72)Ñïóñòÿ íåêîòîðîå âðåìÿ t ïîñëå óäàðà ïî òîðöó ñòåðæíÿ èëè ïîñëå ðåçêîãîîòòÿãèâàíèÿ ýòîãî òîðöà ðàñïðåäåëåíèÿ ñìåùåíèé s, äåôîðìàöèé ε è âîçìóùåíèé ïëîòíîñòè δρ â áåãóùèõ âäîëü ñòåðæíÿ èìïóëüñàõ ñæàòèÿ è ðàñòÿæåíèÿáóäóò èìåòü âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ. 22.25. Øòðèõîâûìè ëèíèÿìè ïîêàçàíûðàñïðåäåëåíèÿ âñåõ âåëè÷èí â îäèí èç ïîñëåäóþùèõ ìîìåíòîâ âðåìåíè.Óðàâíåíèå âîëíû, áåãóùåé âäîëü îñè Oõ, â îáîèõ ñëó÷àÿõ èìååò âèä s (x, t ) == s (t − x / c ). Ïî àíàëîãèè ñ (22.54) äåôîðìàöèÿ ε =L = ∂s / ∂t ýëåìåíòà ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì:1 ∂s∂s,=−c ∂t∂xèëèε=−410L.c∂sè ñêîðîñòü êîëåáàíèé∂x(22.73)Ðèñ.
22.25Ïîä÷åðêíåì, ÷òî â èìïóëüñå ñæàòèÿ (ε < 0) ñêîðîñòü L ñîâïàäàåò ïî íàïðàâëåíèþ ñî ñêîðîñòüþ ñ, à â èìïóëüñå ðàñòÿæåíèÿ îíè èìåþò ïðîòèâîïîëîæíûå íàïðàâëåíèÿ.Ðàññ÷èòàåì ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïðîäîëüíûõ âîëí. Íà ðèñ. 22.26 èçîáðàæåí ôðàãìåíò ñòåðæíÿ è ïîêàçàí åãî ýëåìåíò Δx, ê êîíöàì êîòîðîãî ïðèëîæåíû íîðìàëüíûå íàïðÿæåíèÿ σn. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ýëåìåíòà ñ ïîïåðå÷íûì ñå÷åíèåì S èìååò âèä:Δm∂2s= S [σn ( x + Δx, t ) − σn ( x, t )],∂t 2(22.74)ãäå Δm = ρ0SΔx.×òîáû (22.74) ïðåîáðàçîâàòü ê âîëíîâîìó óðàâíåíèþ, íåîáõîäèìî ñâÿçàòüíàïðÿæåíèÿ σn ñ äåôîðìàöèÿìè ýëåìåíòîâ ñòåðæíÿ.
Íàèáîëåå ïðîñòî ýòî ìîæíî ñäåëàòü äëÿ òîíêîãî ñòåðæíÿ.Ñêîðîñòü âîëí â òîíêîì ñòåðæíå. Åñëè ñòåðæåíü òîíêèé, òî äåôîðìàöèè èíàïðÿæåíèÿ âäîëü êîîðäèíàòû õ ñâÿçàíû èçâåñòíûì çàêîíîì Ãóêà:σn ( x, t ) = E∂s∂s; σ n ( x + Δx , t ) = E∂x x∂xx +Δx,(22.75)ãäå Å ìîäóëü Þíãà.Ïîäñòàâëÿÿ (22.75) â (22.74), ïðîèçâîäÿ äåëåíèå íà ρ0SΔx è ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè Δõ → 0,ïîëó÷àåì âîëíîâîå óðàâíåíèå:∂2s E ∂2s=.∂t 2 ρ0 ∂x 2(22.76)Ñêîðîñòü ïðîäîëüíûõ âîëíc = E ρ0 .(22.77)Ðèñ. 22.26411Ýòà ñêîðîñòü ïðåâûøàåò ñêîðîñòü ïîïåðå÷íûõ âîëí [ñì. ôîðìóëó (22.49)],ïîñêîëüêó E > G. Ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíûîáå ñêîðîñòè ñîâïàäàþò è äëÿ ðàçëè÷íûõ ìàòåðèàëîâ ïðåèìóùåñòâåííî çàêëþ÷åíû â äèàïàçîíå c ∼ (103 ÷ 104) ì/c.Ñêîðîñòü âîëí â òîëñòîì ñòåðæíå.Ïóñòü âäîëü îñè òîëñòîãî ñòåðæíÿ (îñèÎõ1) ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïðîäîëüíàÿ âîëíà, ïðè ýòîì êîëåáëþòñÿ ýëåìåíòûñòåðæíÿ, íàõîäÿùèåñÿ âáëèçè åãî îñè.Îäèí èç òàêèõ ýëåìåíòîâ ïîêàçàí íà ðèñ.Ðèñ.
22.2722.27. Ïîä äåéñòâèåì íîðìàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ σ1 ïîÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíîå óäëèíåíèå ε1, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿïåðâûì óðàâíåíèåì (15.27), ïðèâåäåííûì â ëåêöèè 15:σ1 − (σ2 + σ3 ) μ(22.78).EÓðàâíåíèå (22.78) îòðàæàåò òîò ôàêò, ÷òî ïðè ðàñòÿæåíèè ýëåìåíòà ñòåðæíÿ âäîëü îñè Îõ1 ïëîùàäü åãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ óìåíüøàåòñÿ. Îí ïîòÿíåò êîñè ñòåðæíÿ îêðóæàþùèå åãî ýëåìåíòû, âîçíèêíóò íàïðÿæåíèÿ σ2 è σ3.
Çà ñ÷åòýòèõ íàïðÿæåíèé ïðèäóò â äâèæåíèå ýëåìåíòû, íàõîäÿùèåñÿ âáëèçè îñè ñòåðæíÿ, à çàòåì è áëèçêèå ê ïîâåðõíîñòè. ×åðåç âðåìÿ Δt = L/ 2c (L ïîïåðå÷íûéðàçìåð ñòåðæíÿ, ñ ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîçìóùåíèÿ) âñå ýëåìåíòûñìåñòÿòñÿ, è íàïðÿæåíèÿ σ2 è σ3 èñ÷åçíóò.Åñëè äëèòåëüíîñòü τè èìïóëüñà, ðàñïðîñòðàíÿþùåãîñÿ âäîëü îñè ñòåðæíÿ,ε1 =âåëèêà, ò. å. τè ? Δt = L 2c , òî â (22.78) ìîæíî íå ó÷èòûâàòü σ2 è σ3.
Ñêîðîñòüòàêîãî äëèííîãî èìïóëüñà áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ôîðìóëîé (22.77). Òàêîé ðåæèììîæíî ðåàëèçîâàòü, åñëèL = cτè.(22.79)Óñëîâèå (22.79) îçíà÷àåò, ÷òî ïîïåðå÷íûé ðàçìåð ñòåðæíÿ L çíà÷èòåëüíîìåíüøå äëèíû èìïóëüñà. Òàêîé ñòåðæåíü ìîæíî ñ÷èòàòü òîíêèì. Åñëè ðå÷üèäåò î ãàðìîíè÷åñêîé âîëíå, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ âäîëü ñòåðæíÿ, òî óñëîâèå(22.79) èìååò âèä:L = λ,(22.80)ãäå λ = cT äëèíà âîëíû; Ò ïåðèîä êîëåáàíèé.Òàê, äëÿ ñòàëüíîãî ñòåðæíÿ c = E ρ ≈ 5000 ì/ñ. Ïðè ÷àñòîòå ν = 5000 Ãö,λ = c / ν ≈ 1 ì, ïîýòîìó ñòåðæíè ñ ïîïåðå÷íûì ðàçìåðîì L ≈ 1 ñì ìîãóò ñ÷èòàòüñÿ òîíêèìè.Åñëè äëèòåëüíîñòü èìïóëüñà τè = Δt = L 2c (ñòåðæåíü òîëñòûé), òî â (22.78)ñëåäóåò ó÷åñòü σ2 è σ3.
×òîáû íàéòè ñâÿçü ìåæäó ε1 è σ1, âìåñòå ñ (22.78) çàïèøåì àíàëîãè÷íûå óðàâíåíèÿ äëÿ ε2 è ε3 è ñëîæèì:ε1 + ε 2 + ε3 =412(σ1 + σ2 + σ3 )(1 − 2μ )E.(22.81)Äëÿ êðàòêîñòè âûêëàäîê ââåäåì ñðåäíèå çíà÷åíèÿ:ε =1( ε + ε 2 + ε 3 );3 1σ =1( σ + σ 2 + σ 3 ).3 1Òîãäà (22.81) ìîæíî çàïèñàòü â âèäåε=σ (1 − 2μ ).E(22.82)Ñ ó÷åòîì (22.82) óðàâíåíèå (22.78) èçìåíÿåòñÿ:ε1 +3με1+μ=σ1 .E1 − 2μ(22.83)Ïîñêîëüêó â òîëñòîì ñòåðæíå ε2 = ε3 = 0, òî ε = ε1 / 3, è èñêîìàÿ ñâÿçü áóäåòèìåòü âèäε1 =σ1 (1 + μ )(1 − 2μ )σ1=.Ef (μ )E (1 − μ )(22.84) ýòîì ñëó÷àå ñâÿçü äåôîðìàöèè è íàïðÿæåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê ìîäóëåìÞíãà Å, òàê è ôóíêöèåé êîýôôèöèåíòà Ïóàññîíàf (μ ) =1−μ(1 + μ )(1 − 2μ ).(22.85)Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðè ëþáûõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèÿõ êîýôôèöèåíòà Ïóàññîíà f (μ) > 1.
Ïîýòîìó ñêîðîñòü ïðîäîëüíîé âîëíû â ýòîì ñëó÷àåc=Ef (μ )ρ0(22.86)ïðåâûøàåò ñêîðîñòü âîëíû â òîíêîì ñòåðæíå. Âåëè÷èíó E f (μ) îáû÷íî íàçûâàþò ìîäóëåì îäíîñòîðîííåãî ðàñòÿæåíèÿ.Îòìåòèì, ÷òî íàèáîëåå ñëîæåí àíàëèç äëÿ ïðîìåæóòî÷íîãî ñëó÷àÿ, êîãäàL : λ. Äëÿ òàêèõ âîëí èìååò ìåñòî äèñïåðñèÿ (ôàçîâàÿ ñêîðîñòü ãàðìîíè÷åñêîéâîëíû çàâèñèò îò åå ÷àñòîòû). Ðàñïðåäåëåíèå àìïëèòóäû âîëíû â ïîïåðå÷íîìñå÷åíèè ñòåðæíÿ âäîëü îñåé x2 è x3 àíàëîãè÷íî ðàñïðåäåëåíèþ àìïëèòóäû äëÿøíóðà äëèíîé L ñî ñâîáîäíûìè êîíöàìè ïðè íîðìàëüíîì êîëåáàíèè.
Ñòåðæåíü â ýòîì ñëó÷àå âûïîëíÿåò ðîëü âîëíîâîäà. Ïðè ïëàâíîì èçãèáàíèè ñòåðæíÿ âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âäîëü åãî îñè.Ïðîäîëüíûå âîëíû ïåðåíîñÿò ýíåðãèþ, è äëÿ íèõ ñïðàâåäëèâû âñå ðàññóæäåíèÿ è âûâîäû, ïîëó÷åííûå äëÿ ïîïåðå÷íûõ âîëí. Ôîðìàëüíî âî âñåõ âûðàæåíèÿõ äëÿ ïëîòíîñòè ýíåðãèè w, âåêòîðà Óìîâà J è äðóãèõ âåëè÷èí ñëåäóåòçàìåíèòü ìîäóëü ñäâèãà G íà ìîäóëü Þíãà Å èëè Ef (μ).ßâëåíèÿ íà ãðàíèöå äâóõ ñðåä. Âîëíîâîå ñîïðîòèâëåíèå. Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå ïðîõîæäåíèå ïðîäîëüíîé âîëíû ÷åðåç ãðàíèöó ðàçäåëà äâóõ óïðóãèõ ñðåäïðè íîðìàëüíîì åå ïàäåíèè íà ýòó ãðàíèöó.Ïóñòü ïðîäîëüíàÿ âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ c1 = E1 ρ1 â ñðåäåñ ìîäóëåì Þíãà E1 è ðàâíîâåñíîé ïëîòíîñòüþ ρ1 (ðèñ. 22.28).
Îïûò ïîêàçûâàåò,413÷òî ýòà âîëíà íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ ñðåä(õ = 0) ÷àñòè÷íî îòðàæàåòñÿ è ÷àñòè÷íî ïðîõîäèò âî âòîðóþ ñðåäó, êîòîðàÿ õàðàêòåðèçóåòñÿ ïàðàìåòðàìè E2 è ρ2. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿïåðâîé ñðåäû ìîæíî çàïèñàòü:s1(x, t ) = s01 sin (ωt − k1x) ++ s′01 sin (ωt + k1x)Ðèñ. 22.28(22.87à)(ïàäàþùàÿ + îòðàæåííàÿ âîëíà).Äëÿ âòîðîé ñðåäû (ïðîøåäøàÿ âîëíà):s2(x, t ) = s02 sin (ωt − k2x),(22.87á)ãäå ω ÷àñòîòà; s01, s′01 è s02 àìïëèòóäû ñîîòâåòñòâåííî ïàäàþùåé, îòðàæåííîé è ïðîøåäøåé âîëí; k1 = ω/ c1 è k2 = ω/ c2 ñîîòâåòñòâóþùèå âîëíîâûå÷èñëà.×òîáû íàéòè ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó àìïëèòóäàìè òðåõ âîëí, õàðàêòåðèçóþùèåîòðàæàòåëüíóþ è ïðîïóñêàòåëüíóþ ñïîñîáíîñòü («ïðîçðà÷íîñòü») ãðàíèöûðàçäåëà, çàïèøåì äâà óñëîâèÿ, êîòîðûå äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ íà ãðàíèöå ðàçäåëà ïðè õ = 0.
Ïåðâîå ýòî óñëîâèå íåðàçðûâíîñòè âåùåñòâà:s1(0,t ) = s2 (0,t ).(22.88)Âòîðîå ðàâåíñòâî íàïðÿæåíèé:σ1(0,t ) = σ2(0,t ), èëè E1ε1(0,t ) = E2ε2(0,t ).(22.89)Ñ ó÷åòîì (22.87) èç ýòèõ óñëîâèé ïîëó÷àåì:s01 + s′01 = s02;−s01E1k1 + s′01E1k1 = −s02E2k2.(22.90) àêóñòèêå ôóíäàìåíòàëüíûì ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå èìïåäàíñà z, èëè óäåëüíîãîâîëíîâîãî (àêóñòè÷åñêîãî) ñîïðîòèâëåíèÿ ìàòåðèàëà.
Ïî îïðåäåëåíèþ,z=ñæèìàþùåå íàïðÿæåíèå −σ=.Lñêîðîñòü êîëåáàíèé(22.91)Èìïåäàíñ ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç õàðàêòåðèñòèêè ìàòåðèàëà, âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé (22.73):ε = σ/E = −L/c.(22.92)z = −σ/L = E /c = ρc.(22.93)ÎòñþäàÑ èñïîëüçîâàíèåì ýòîé âåëè÷èíû è âûðàæåíèé äëÿ k1 è k2 óñëîâèÿ (22.90)ïðèìóò âèä:s01 + s′01 = s02;−s01z1 + s′01z1 = −s02z2.414(22.94)Îòñþäà ïîëó÷àåì èñêîìóþ ñâÿçü ìåæäó àìïëèòóäàìè âîëí:′ =s011 − z 2 z12s , s =s . (22.95)1 + z 2 z1 01 02 1 + z 2 z1 01Äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé ïîëüçóþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè îòðàæåíèÿ (R ) è ïðîïóñêàíèÿ(Ò ), õàðàêòåðèçóþùèìè îòíîøåíèå èíòåíñèâÐèñ. 22.29íîñòåé îòðàæåííîé è ïðîøåäøåé âîëí ê èíòåíñèâíîñòè ïàäàþùåé âîëíû.
Ýòè êîýôôèöèåíòû ïîëó÷àþòñÿ èç (22.95) ñó÷åòîì (22.65):2R=2′ ⎞⎛ 1 − z 2 z1 ⎞I ′ ⎛ s01=⎜=⎜⎟ ;I 1 ⎝ s01 ⎟⎠⎝ 1 + z 2 z1 ⎠4 ( z 2 z1 )I 2 z 2 ⎛ s02 ⎞==,2I1z1 ⎜⎝ s01 ⎟⎠(1 + z2 z1 )2T =(22.96)ãäå èñïîëüçîâàíî òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî èíòåíñèâíîñòü áåãóùåé âîëíû [ñì.ôîðìóëó (22.65)]I =11cρω2 s02 = z ω2 s0222(22.97)çàâèñèò íå òîëüêî îò àìïëèòóäû s0 è ÷àñòîòû ω, íî è ïðîïîðöèîíàëüíà àêóñòè÷åñêîìó ñîïðîòèâëåíèþ z.
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ôîðìóëû (22.96) ñïðàâåäëèâû è äëÿ ïîïåðå÷íûõ êîëåáàíèé.Èç ðèñ. 22.29, íà êîòîðîì èçîáðàæåíû çàâèñèìîñòè (22.96), âèäíî, ÷òî åñëèz1 = z2, îòðàæåíèå íå ïðîèñõîäèò. Ïîýòîìó íà ïðàêòèêå, êîãäà íàäî óìåíüøèòüîòðàæåíèå, ñòàðàþòñÿ ñîãëàñîâàòü (ñäåëàòü ïðàêòè÷åñêè îäèíàêîâûìè) âîëíîâûå ñîïðîòèâëåíèÿ äâóõ ñðåä.Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ïðè z2 = z1, êàê â ñëó÷àå ñâîáîäíîãî êîíöà ñòåðæíÿ(z2 ñîïðîòèâëåíèå âîçäóõà), èëè z2 ? z1 (çàêðåïëåííûé êîíåö), R ≈ 1, ò. å.ïðîèñõîäèò ïðàêòè÷åñêè ïîëíîå îòðàæåíèå âîëíû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
