В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Механика (1114476), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Ìû æå ïîñòóïèì áîëåå ïðîñòî è îïðåäåëèì (α0)óñò èç óñëîâèÿ ýíåðãåòè÷åñêîãî áàëàíñà.Ïóñòü êîëåáàíèÿ ïðîèñõîäÿò ïî çàêîíó:α (t ) = α0 sin ωt.(20.65)Ïîñêîëüêó ïðàâàÿ ÷àñòü (20.64) ìàëà, òî ÷àñòîòà êîëåáàíèé ïðèáëèæåííîðàâíà ω = mga cos β0 J . Ïîäñ÷èòàåì ðàáîòó çà ïåðèîä êîëåáàíèé T = 2π/ω,ñîâåðøàåìóþ óñòðîéñòâîì (íàïðèìåð, ýëåêòðîäâèãàòåëåì), âðàùàþùèì âàë.Îíà, î÷åâèäíî, ðàâíà:TA = ∫ M òð (β& ) Ωdt = M 0 ΩT .(20.66)0..Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî èíòåãðàëû ïî âðåìåíè îò β è β3 ðàâíû íóëþ, ïîñêîëüêó. .β = α = α0ω cos ωt.(20.67)Ïîòåðè ýíåðãèè â ñêîëüçÿùåì ïîäâåñå çà ýòî âðåìÿ ñîñòàâÿò:T⎛k α 2 ω2 3k2 α04 ω4 ⎞q = ∫ M òð (β& )(Ω − β& ) dt = ⎜ M 0 Ω − 1 0+⎟T .28⎝⎠0(20.68)Íà ðèñ.
20.13 ïîêàçàíû çàâèñèìîñòè A è q îò àìïëèòóäû α0. Âèäíî, ÷òî ïðèñëó÷àéíûõ ôëóêòóàöèÿõ, êîãäà α0 ìàëî, A > q. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êîëåáàíèÿáóäóò íàðàñòàòü. Îäíàêî ñ ðîñòîì àìïëèòóäû íà÷èíàþò óâåëè÷èâàòüñÿ ïîòåðè q.Êîëåáàíèÿ óñòàíîâÿòñÿ ïðè A = q (òî÷êà R íà ãðàôèêå). Àìïëèòóäà óñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáàíèé îïðåäåëèòñÿ èç ðàâåíñòâà⎛k α 2 ω2 3k α 4 ω4 ⎞M 0 ΩT = ⎜ M 0 Ω − 1 0 + 2 0 ⎟T .⎝⎠28(20.69)Îòñþäà(α0 )óñò =2 k1.ω 3k2(20.70)Çàìåòèì, ÷òî òåïåðü ìû ìîæåì äîñòàòî÷íî ïðîñòî ó÷åñòü ñèëû âÿçêîãî òðå.íèÿ, äëÿ ÷åãî â ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (20.64) ñëåäóåò äîáàâèòü ÷ëåí −Γ α. Ýòî372ïðèâåäåò ê òîìó, ÷òî k1 â (20.70) áóäåò óìåíüøåí íà âåëè÷èíó Γ. Ïîýòîìó(20.70) èçìåíèòñÿ:(α 0 ) óñò =2 k1 − Γ.ω 3k2(20.71)Èç ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ïðè Γ ≥ k1 êîëåáàíèÿ ñàìîïðîèçâîëüíî íà÷àòüñÿ íå ìîãóò.Àâòîêîëåáàòåëüíûå ñèñòåìû íàõîäÿò øèðî÷àéøåå ïðèìåíåíèå â òåõíèêå.Äóõîâûå è ñìû÷êîâûå èíñòðóìåíòû, îðãàííûå òðóáû, ãåíåðàòîðû ýëåêòðîìàãíèòíîãî èçëó÷åíèÿ â ïðèåìíî-ïåðåäàþùèõ ëèíèÿõ ñâÿçè, îïòè÷åñêèå êâàíòîâûå ãåíåðàòîðû (ëàçåðû) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïðèìåðû àâòîêîëåáàòåëüíûõ ñèñòåì.
Îäíàêî àâòîêîëåáàíèÿ ìîãóò èãðàòü è íåãàòèâíóþ ðîëü, íà÷èíàÿ îò áåçîáèäíûõ êîëåáàíèé äåòàëåé êðàíîâ âîäîïðîâîäíûõ ñèñòåì, «ðåâóùèõ» ïðè äîñòàòî÷íî ñèëüíîì íàïîðå âîäû, äî îïàñíûõ êîëåáàíèé êðûëüåâ ñàìîëåòîâ,ïîëó÷èâøèõ íàçâàíèå «ôëàòòåð».
 íîÿáðå 1940 ã. ïîäâåñíîé ìîñò ÷åðåç ðåêóÒàêîìà â ÑØÀ ðàçðóøèëñÿ èç-çà êðóòèëüíûõ àâòîêîëåáàíèé, âîçíèêøèõ ïîääåéñòâèåì äóâøåãî âäîëü ðåêè âåòðà.ËÅÊÖÈß 21Íàáëþäàÿ êîëåáàíèÿ ãðóçà ìàññîé m, ïîäâåøåííîãî íà ëåãêîé ïðóæèíåæåñòêîñòè k1, íåëüçÿ íå îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî, íàðÿäó ñ âåðòèêàëüíûìè êîëåáàíèÿìè ãðóçà, âîçíèêàþò è òàê íàçûâàåìûå ìàÿòíèêîâûå êîëåáàíèÿ(èç ñòîðîíû â ñòîðîíó) (ðèñ. 21.1).Íàèáîëåå ñèëüíûìè ìàÿòíèêîâûå êîëåáàíèÿ áóäóò òîãäà, êîãäà ÷àñòîòà âåðòèêàëüíûõ êîëåáàíèék1 m áóäåò ðàâíà óäâîåííîé ÷àñòîòå ìàÿòíèêîâûõ êî-ëåáàíèé g l (l äëèíà ðàñòÿíóòîé ïðóæèíû ïðè íåïîäâèæíîì ãðóçå). Òàêîéðåçóëüòàò ëåãêî ïîíÿòü, åñëè ðàññìàòðèâàòü ìàÿòíèêîâûå êîëåáàíèÿ êàê ðåçîíàíñíûå ïàðàìåòðè÷åñêèå êîëåáàíèÿ, ïðè ýòîì ïàðàìåòð ìàÿòíèêà äëèíàïðóæèíû l èçìåíÿåòñÿ ïðè âåðòèêàëüíûõ êîëåáàíèÿõ íà âåëè÷èíó ±Δl (ñì.ëåêöèþ 20).  òå÷åíèå íåêîòîðîãî âðåìåíè ìàÿòíèêîâûå êîëåáàíèÿ ìîãóò óñèëèâàòüñÿ çà ñ÷åò óìåíüøåíèÿ ýíåðãèè âåðòèêàëüíûõ êîëåáàíèé.
Çàòåì ïðîöåññïîéäåò â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè: ìàÿòíèêîâûå êîëåáàíèÿ íà÷íóò îñëàáåâàòü,«âîçâðàùàÿ» ýíåðãèþ óñèëèâàþùèìñÿ âåðòèêàëüíûì êîëåáàíèÿì. Ñëåäîâàòåëüíî, âåðòèêàëüíûå êîëåáàíèÿ íå áóäóò ãàðìîíè÷åñêèìè, ÷òî ñâÿçàíî ñ íàëè÷èåì ìàÿòíèêîâûõ êîëåáàíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ âîçáóæäåíèþ âòîðîé ñòåïåíèñâîáîäû. Ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ ìîãóò âîçíèêàòü è êðóòèëüíûå êîëåáàíèÿãðóçà âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè ïðóæèíû. Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî íàèáîëåå ñèëüíûìè ýòè êîëåáàíèÿ áóäóò â òîì ñëó÷àå, êîãäà èõ ÷àñòîòà k2 J (k2 êîýôôèöèåíò æåñòêîñòè ïðóæèíû ïðè åå ñêðó÷èâàíèè, J ìîìåíò èíåðöèè òåëàîòíîñèòåëüíî âåðòèêàëüíîé îñè) áóäåò ïðèìåðíî â äâà ðàçà ìåíüøå ÷àñòîòûâåðòèêàëüíûõ êîëåáàíèé.  îáùåì ñëó÷àå â ýòîé ñèñòåìå ìîãóò ïðîèñõîäèòü ÷åòûðå òèïà êîëåáàíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷åòûðåì ñòåïåíÿì ñâîáîäû: îäíî âåðòèêàëüíîå, äâà ìàÿòíèêîâûõ â äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòÿõ è îäíî êðóòèëüíîå.Òàêèì îáðàçîì, ïåðåä íàìè âîçíèêàåò çàäà÷à èçó÷åíèÿ îñíîâíûõ çàêîíîìåðíîñòåé êîëåáàíèé â ñèñòåìàõ ñ äâóìÿ, òðåìÿ è áîëåå ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, çàòåììîæíî ðàññìîòðåòü è êîëåáàíèÿ ñïëîøíîé ñðåäû êàêñèñòåìû ñ áåñêîíå÷íî áîëüøèì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû.Ñâîáîäíûå íåçàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ â ñèñòåìàõ ñäâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
Íîðìàëüíûå êîëåáàíèÿ(ìîäû). Íà ðèñ. 21.2 èçîáðàæåíû òðè ðàçëè÷íûå êîëåáàòåëüíûå ñèñòåìû ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Ïåðâàÿ èç íèõ (à) ýòî äâà ðàçëè÷íûõ ïðóæèííûõ ìàÿòíèêà, ñâÿçàííûå ïðóæèíîé ñ æåñòêîñòüþ k′. Âòîðàÿ(á ) äâà ãðóçà ìàññàìè m1 è m2, çàêðåïëåííûå íàíàòÿíóòîì íåêîòîðîé ñèëîé F íåâåñîìîì ðåçèíîâîìÐèñ. 21.1374Ðèñ. 21.2øíóðå. Òðåòüÿ (â) äâà ñâÿçàííûõ ïðóæèíîé k′ ðàçëè÷íûõ ìàÿòíèêà, êàæäûéèç êîòîðûõ ñîñòîèò èç ãðóçà, ïîäâåøåííîãî íà íåâåñîìîì ñòåðæíå.
Êîëåáàíèÿãðóçîâ â êàæäîé èç òðåõ ñèñòåì îïèñûâàþòñÿ äâóìÿ âðåìåííûìè çàâèñèìîñòÿìè èõ ñìåùåíèé s1(t ) è s2(t ). Ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå ñìåùåíèÿ s íà ðèñóíêå óêàçàíî ñòðåëêàìè.Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè ïðîèçâîëüíîì ñïîñîáå âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèÿíå áóäóò ãàðìîíè÷åñêèìè: àìïëèòóäà êîëåáàíèé êàæäîãî èç ãðóçîâ áóäåò ïåðèîäè÷åñêè ìåíÿòüñÿ âî âðåìåíè. Îäíàêî ìîæíî ñîçäàòü òàêèå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ êàæäûé ãðóç áóäåò ñîâåðøàòü ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñîäíîé è òîé æå ÷àñòîòîé ω:s1(t ) = s01 sin (ωt + ϕ);s2(t ) = s02 sin (ωt + ϕ).(21.1)×àñòîòà ýòèõ êîëåáàíèé ω îïðåäåëÿåòñÿ ñâîéñòâàìè ñèñòåìû. Îòíîøåíèåζ = s02/s01(21.2)òàêæå îïðåäåëÿåòñÿ ïàðàìåòðàìè ñèñòåìû.
Ýòó áåçðàçìåðíóþ àëãåáðàè÷åñêóþâåëè÷èíó ζ íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì ðàñïðåäåëåíèÿ àìïëèòóä ïðè ãàðìîíè÷åñêîì êîëåáàíèè. Îòìåòèì, ÷òî s01 è s02 ìîãóò èìåòü ëþáîé çíàê. Åñëè ζ > 0, òîñìåùåíèÿ îáîèõ ãðóçîâ âñåãäà ïðîèñõîäÿò â îäíó ñòîðîíó (ñèíôàçíûå êîëåáàíèÿ), à ïðè ζ < 0 â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû (ïðîòèâîôàçíûå êîëåáàíèÿ).Ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ (21.1) íàçûâàþò íîðìàëüíûìè êîëåáàíèÿìè, èëè ìîäàìè, à ÷àñòîòó ω íîðìàëüíîé ÷àñòîòîé. Òàêèì îáðàçîì, ìîäà õàðàêòåðèçóåòñÿ äâóìÿ ïàðàìåòðàìè: ÷àñòîòîé ω è êîýôôèöèåíòîì ζ, îïðåäåëÿþùèì «êîíôèãóðàöèþ» ìîäû.Ïðàêòèêà ïîêàçûâàåò, ÷òî â ñèñòåìå ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû ìîãóò ñóùåñòâîâàòü ñèíôàçíûå ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòîé ωI è ïðîòèâîôàçíûå ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòîé ωII > ωI.
Ñëåäîâàòåëüíî, â ñèñòåìåìîãóò áûòü âîçáóæäåíû äâå ìîäû:I ìîäàs1I (t ) = s I01 sin (ωIt + ϕI);375s2I(t ) = s I02 sin (ωIt + ϕI);ζI =s I02/s I01(21.3)> 0.II ìîäàIIs1II (t ) = s01sin (ωIIt + ϕII);IIsin (ωIIt + ϕII);s2II(t ) = s02ζII =IIIIs02/s01(21.4)< 0.Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ëþáîå êîëåáàíèå ëèíåéíîé ñèñòåìû ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû (à èìåííî òàêèå ñèñòåìû ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü äàëåå) ìîæåòáûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ñóïåðïîçèöèè äâóõ íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé (21.3) è(21.4):IIsin (ωIIt + ϕII);s1(t ) = s1I (t) + s1II(t) = s I01 sin (ωIt + ϕI) + s01IIs2(t ) = s2I(t ) + s2II(t ) = s I02 sin (ωIt + ϕI) + s02sin (ωIIt + ϕII).(21.5)Ïàðöèàëüíûå è íîðìàëüíûå ÷àñòîòû. Íå ïðèáåãàÿ ïîêà ê äåòàëüíîìó ìàòåìàòè÷åñêîìó èññëåäîâàíèþ, ïðîàíàëèçèðóåì ïîâåäåíèå ñèñòåìû ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, ïîëüçóÿñü îñíîâíûìè èäåÿìè, ðàçâèòûìè â ïðåäûäóùèõ ëåêöèÿõ.Ïðåäñòàâèì ëþáóþ èç ñèñòåì, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ.
21.2, êàê ñëîæíóþ ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç äâóõ ïàðöèàëüíûõ ñèñòåì. Ýòè ïàðöèàëüíûå ñèñòåìû, ñîîòâåòñòâóþùèå ñëó÷àþ ðèñ. 21.2, à, ïîêàçàíû íà ðèñ. 21.3: êàæäàÿ èç ýòèõ ïàðöèàëüíûõ ñèñòåì èìååò ñîáñòâåííóþ ÷àñòîòó êîëåáàíèé, êîòîðóþ íàçûâàþò ïàðöèàëüíîé ÷àñòîòîé. Çíà÷åíèÿ ýòèõ ïàðöèàëüíûõ ÷àñòîò ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû:ω1 =k1 + k ′; ω2 =m1k2 + k ′.m2(21.6)Ñîâåðøåííî î÷åâèäíî, ÷òî ÷àñòîòà ω1 ýòî ÷àñòîòà êîëåáàíèé ãðóçà ìàññîé m1 â ñèñòåìå äâóõ ñâÿçàííûõ ìàÿòíèêîâ, êîãäà ãðóç ìàññîé m2 íåïîäâèæåí(çàáëîêèðîâàíà âòîðàÿ ñòåïåíü ñâîáîäû). Àíàëîãè÷íî, ñ ÷àñòîòîé ω2 áóäåò êîëåáàòüñÿ ãðóç ìàññîé m2, êîãäà íåïîäâèæåí ãðóç ìàññîé m1.Íàéäåì òåïåðü íîðìàëüíûå ÷àñòîòû ωI è ωII. Âñïîìíèì, ÷òî êâàäðàò ÷àñòîòûãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ðàâåí îòíîøåíèþ âîçâðàùàþùåé ñèëû ê ñìåùåíèþãðóçà s è âåëè÷èíå åãî ìàññû m. Ïîäáåðåì íà÷àëüíûå ñìåùåíèÿ ãðóçîâ m1 è m2òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû äëÿ îáîèõ ãðóçîâ ýòè îòíîøåíèÿ (à ñëåäîâàòåëüíî, è÷àñòîòû) áûëè áû îäèíàêîâû.
Òàêîé ïîäáîð ëåãêî óãàäûâàåòñÿ äëÿ ñèììåòðè÷íîé ñèñòåìû (m1 = m2 = m, k1 = k2 = k) (ðèñ. 21.4, à), ó êîòîðîé ïàðöèàëüíûå÷àñòîòû ñîâïàäàþò:ω1 = ω2 =Ðèñ. 21.3376k + k′.m(21.7)Åñëè îáà ãðóçà ñìåñòèòü âïðàâî íàîäèíàêîâûå ðàññòîÿíèÿ s I01 = s I02, òî ñðåäíÿÿ ïðóæèíà k′ (ïðóæèíà ñâÿçè) íå áóäåò äåôîðìèðîâàíà (ðèñ. 21.4, á ). Ïîñëåîòïóñêàíèÿ ãðóçîâ ïðóæèíà áóäåò îñòàâàòüñÿ íåäåôîðìèðîâàííîé. Ïîýòîìóêàæäûé èç ãðóçîâ áóäåò ñîâåðøàòü ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ îäíîé è òîéæå ÷àñòîòîéωI = k m,(21.8)êîòîðàÿ è ÿâëÿåòñÿ ïåðâîé íîðìàëüíîé ÷àñòîòîé. Êîíôèãóðàöèÿ ýòîãîñèíôàçíîãî êîëåáàíèÿ (ìîäû) çàäàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ðàñïðåäåëåíèÿàìïëèòóä ζI = +1.Åñëè îáà ãðóçà ñìåñòèòü â ðàçíûåñòîðîíû íà îäèíàêîâûå ðàññòîÿíèÿIIII= −s01(ðèñ. 21.4, â), òî ïðóæèíà k′s02Ðèñ.
21.4II. Ïîýòîìóóäëèíèòñÿ íà âåëè÷èíó 2s 02ê ãðóçó, ðàñïîëîæåííîìó ñïðàâà, áóIIIIäåò ïðèëîæåíà âîçâðàùàþùàÿ ñèëà, ðàâíàÿ −(ks02+ 2k′s02), à íà ãðóç, ðàñïîëîæåííûé ñëåâà, áóäåò äåéñòâîâàòü â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè ñèëàIIII−(ks01+ 2k′s01). Ïîñëå îòïóñêàíèÿ ãðóçû áóäóò êîëåáàòüñÿ â ïðîòèâîôàçå ñî âòîðîé íîðìàëüíîé ÷àñòîòîé:ωII =k + 2k ′.m(21.9)Êîíôèãóðàöèÿ âòîðîé ìîäû õàðàêòåðèçóåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ðàñïðåäåëåíèÿ ζII = −1.Áèåíèÿ. Ñìåñòèì ãðóçû, èçîáðàæåííûå íà ðèñ. 21.5, à, íà ïðîèçâîëüíûåðàññòîÿíèÿ (íàïðèìåð, â îäíó ñòîðîíó íà âåëè÷èíû s01 è s02, ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
