А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (1113878), страница 19
Текст из файла (страница 19)
ЗадачиЗадача 10.18. На основе формул прогонки получите априорную оценкудля решения разностной задачи (10.10), (10.14), (10.18).Задача 10.19. Получите расчетные формулы пятидиагональной прогонкидля решения системы уравненийЪУо - hV\ + еоУг - Щ,~Р\Уо + ЪУ\ ~ Ь\Уг + £№ = <Рь<*iVi-i - Aj/i-i + 7»У< ~ %i+i + «iJfc+2 = Ч>»i = 2,3,...,JV-2,«JV-13/ЛГ-З - /3JV-I2/N-2 +lN-\yN-\- *дг-|Удг =<PN-\,<*//Ух-2 ~ Av3tor-i + JNVN = <PN-Задача 10.20. На множестве сеточных функций, обращающихся в нульв точках 1 = 0 и 1 = 1 рассматриваются схемы~(аух)х + cy = ip,хеш,~{Щх)х + су = <Р, хешс коэффициентамиа(х) ^ к > 0,«Ц» ^ к > 0,с(х) ^ 0 ,с > 0.Получите оценки разности z(x) = у(х)-у(х) через величины возмущениякоэффициентов и правой части (коэффициентная устойчивость).Глава 11Краевые задачидля эллиптический уравненийСреди стационарных задач математической физики наибольшеевнимание уделяется краевым задачам для эллиптических уравнений второго порядка.
Рассматриваются вопросы аппроксимациитаких уравнений и краевых условий, формулируется принцип максимума для сеточных уравнений. Проводится исследование сходимости приближенного решения к точному в различных нормах.Отмечаются некоторые основные итерационные методы решениясеточных уравнений.11.1.
Двумерные краевые задачиБудем рассматривать двумерные краевые задачи, когда расчетнаяобласть есть прямоугольникП = {х | х = (хьх2),О < ха < /„, а = 1,2}.Основным объектом нашего исследования будет эллиптическое уравнениевторого порядкаНа коэффициенты уравнения накладываются ограниченияfe(x) > к > 0,q(\) ^ 0 ,х е П.15911.1. Двумерные краевые задачиОсновные обозначенияи = и(\), х = (х\,х2) — неизвестная функцияh\,hi — шаги равномерной сеткиш — множество внутренних узловдш — множество граничных узловН — гильбертово пространствосеточных функций(-,-) — скалярное произведение в Н|| • || — норма в НУх, = (у(х\ + h\,xi) - y(x))/h\ — правая разностная производнаяв точке х по переменной х\Ух, = (з/(х) - у(х\ - h\,xi))/h\ — левая разностная производнаяв точке х по переменной хху» = -(ух, +Ух,) — центральная разностнаяпроизводная в точке хпо переменной Х\Ух,х, = (ух, ~ Ух,)/Ь\ — вторая разностная производнаяв точке х по переменной х\Характерным примером является уравнение Пуассона- Д и = - ^ | ^ = /(х),а=\dxlxefi,(11.2)т.е.
в уравнении (11.1)fc(x)= 1, q(x) = 0.Для уравнения (11.1) будем рассматривать граничные условия первого родаи(х) = ц(х),х€дП.(11.3)На фанице области или ее части могут задаваться и граничные условиявторого и третьего рода, например,дик(х) — + ст(х)и = ц(х), х е дП,дпгде п — внешняя по отношению к П нормаль.160Глава 11. Краевые задачи для эллиптический уравнений11.2. Численное решение краевых задачПриведем некоторые факты по аппроксимации краевых задач для эллиптических уравнений, сформулируем достаточные условия для выполнения принципа максимума для сеточных функций, рассмотрим вопросыоценки точности приближенного решения и проблемы решения сеточныхуравнений.11.2.1.
Аппроксимация краевых задачдля эллиптических уравненийБудем использовать равномерную по каждому направлению сетку. Для сеток по отдельным направлениям ха, а = 1,2 используем обозначенияша = {ха \ ха = iaha,ia = 0,\,...,Na,Naha = la},ша = {ха \ ха = iaha,w« = {ха \ ха = iaha,га = 1,2,...,Na - 1, Naha = la},ia = 1,2,..., Na, Naha = la}.гдеДля сетки в П положимш = й7| xo/i = {х | х = (х\,х2),Ш =ха £ ша, а- 1,2},Ш\ X OJi.Для гладких коэффициентов уравнения (11.1) разностная схема строится на основе непосредственного перехода от дифференциальных операторов к разностным. Подобно одномерному случаю для краевой задачи(11.1), (11.3) поставим в соответствие разностное уравнение2Ьу = ^^а)У= <р(х), х € ы ,(11.4)гдеLia)y = -(alo)yia)ta+6ac(x)y,где в, + 0 2 = 1.o=l,2,x€w,(11.5)11.2.
Численное решение краевых задач161Для коэффициентов при старших производных можно положитьа (|) (х) = fc(a;i -0,5hux2),xx £ wj1",<г'(х) = k(x\,x2 - 0,5ft2),x\ £u)itx2£w2,x2 € ш2.Для младшего коэффициента и правой части (11.4), (11.5) имеемс(х) = q(x),<р(х) = /(х),х е w.В общем случае применяется интефо-интерполяционный метод.Интефирование по контрольному объему для отдельного узла х сетки wПх = {s | s = (si,s 2 ), х\ - 0,5/i| < s\ < х\ +0,5ft|,х2 - 0,5h2 ^ s2 < х2 + 0,5h2}дает, например,£2+0,5*2*|X|+0,SA|i2,*2 _ *21|-0,5Л|Для фаничных узлов За» (а7 = а> \J dw) используется аппроксимацияу(х) = ц(х),xG0u>(11-6)краевых условий (11.3).11.2.2.
Принцип максимумаРазностное уравнение (11.4), (11.5) запишем в видеSy(x) = <p(x), хеш,(П.7)где линейный оператор S определяется формулойSv(x) = A(x)v(x)-J2B(x,0v(0-(€W'(x)Здесь W(x) — шаблон, a W' = W\{x} — окрестность узла х е ш.(П.8)162Глава 11. Краевые задачи для эллиптический уравненийБудем считать, что для рассматриваемых эллиптических уравненийвторого порядка шаблон W содержит узлы (х| ± Л|,агг), (xt,x2 ± h2)(шаблон, как минимум, пятиточечный), а коэффициенты удовлетворяютусловиямA(x)>0,B(x,O>0,D(x) = A(x)-Y,£€W'(x),*Ы)>0,x6w.О1-9)f€VV(x)Для разностного уравнения (11.7), (11.8) при выполнении (11.9) справедлив принцип максимума. В частности, если сеточная функция у(х),удовлетворяет граничным условияму(х) = 0, х£дш,(11.10)а правая частьр(хК0{ф)>0),хеш,то у(х) < 0 (у(х) > 0).На основе принципа максимума устанавливаются теоремы сравнениядля решений сеточных эллиптических уравнений.
Рассмотрим, например,задачуSw(x) — ф(х),w(x) = v(x),х G ш,хвдши пустьИх)|<*(х),|м(х)|<1/(х),хеш,х€дш.Тогда для решения задачи (11.6), (11.7) справедлива оценка|у(х)| < и>(х),х€ш.Отсюда следует, что для решения однородного уравнения (11.6)(у>(х) ~ 0, х € ш) с фаничными условиями (11.7) имеет место априорнаяоценка устойчивостиmax|j/(x)| <max|/*(x)l.11.2. Численное решение краевых задач163С привлечением подобных априорных оценок доказывается сходимость разностных схем в равномерной норме. Будем использоватьдля приближенного решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона(11.2), (11.3) разностное уравнение- г/*,*, - Ух2Хг = <р (х),хеш,(п.п)дополнив его граничными условиями (11.6). Для погрешности z(x) =у(х) - и(\), хеш получим задачуz(x) = О,хедш,где V(x) = 0(h] + h]) — погрешность аппроксимации. Выбрав в качествемажорантной функцииw(x)=1-(li +l22-x]-xl)\\l>(x)\\tx,гдеIN*)IL = ™xN*)l'для погрешности получим оценкуl|j/W-«wlL<^a?+b2)||^x)L.Тем самым разностная схема (11.6), (11.11) сходится в Ь^ш) со вторымпорядком.11.2.3.
Разностные уравнения в гильбертовом пространствеОстановимся на решении уравнения (11.1) с однородными граничнымиусловиями первого рода (ц(х) = 0 в (11.2)), которому ставится в соответствие разностная схема (11.4), (11.5), (11.10). Для сеточных функций,обращающихся в нуль на множестве граничных узлов дш, определимгильбертово пространство Я = Ь2(ш), в котором скалярное произведениеи норма задаются следующим образом:(у,w) = ]Гy{x)w{x)h l h 1 ,хеш||y|| = У(2М/) •164Глава 11.
Краевые задачи для эллиптический уравненийОпределим для двумерных разностных функций, обращающихсяв нуль на дш сеточный аналог нормы в W\(u>):INII2= £ £ы 2 М2 + £ 1>*2)2М2.На Н разностный оператор L самосопряжен и справедлива при наших предположениях о коэффициентах уравнения (11.1) оценка(Ly,y)>4Vy\\2.(11.12)Для сеточных функций у(х), обращающихся в нуль на дш, вернонеравенство (неравенство Фридрихса для двумерных сеточных функций)||„|| 2 < М0ру\\2,M„-' = i + | .(11.13)Из (11.12), (11.13) следует оценка оператора L снизуL^KX0E,AO = M 0 - 1 .(11.14)Приведем также оценку оператора L сверху:L^MtE(11.15)с постоянной4()(1)*, = -т,Мimax a ' (x) + a (s l +/ t „* 2 ) +Л, х£ы24aW(x) + gV(xl,x2 + h2) ,,+ -у maxh max c(x) .hjx€w2хбыЗадача для погрешности разностного решенияz(x) = у(х) - и(х), х 6 шимеет видLz = V>(x), x € ш,где V(x), к а к обычно, погрешность аппроксимации:•ф(х) = у?(х) - Lit,х € ш.11.2. Численное решение краевых задач165Будем считать, что решение краевой задачи имеет достаточно гладкоеклассическое решение.
На равномерной прямоугольной сетке погрешность аппроксимации в этих условиях при использовании разностногооператора (11.4), (11.5) имеет второй порядок:y-(x) = o(|ft| 2 ),\h\2 = h] + h22, х е ш .Для рассматриваемой разностной схемы (11.4)—(11.6) справедлива априорная оценка для погрешностиР4*^\\*\\В силу этого разностная схема сходится в W}(w) со вторым порядком.11.2.4. Решение сеточных уравненийИсходная дифференциальная задача при аппроксимации заменяется сеточной. Соответствующие разностные (сеточные) уравнения есть системалинейных алгебраических уравнений для неизвестных значений сеточнойфункции. Для их нахождения используются методы линейной алгебры,которые максимально учитывают специфику сеточных задач.
Особенности сеточных задач проявляются в том, что соответствующая матрицасистемы алгебраических уравнений является разреженной, т. е. содержитмного нулевых элементов, имеет ленточную структуру. При решении многомерных задач матрица имеет очень большой порядок, равный общемучислу узлов сетки.Классических подход к решению простейших линейных задач математической физики связан с использованием метода разделения переменных.
Естественно ожидать, что аналогичная идея получит своеразвитие и применительно к сеточным уравнениям. Рассмотрим сеточную задачу для уравнения Пуассона (11.10) с однородными краевымиусловиями (11.11).Для применения метода Фурье для решения этой двумерной задачирассмотрим задачу на собственные значения для разностного операторавторой производной по переменной х\\-*>i, Xl + A « = 0,v0 = 0,X] € W|,vNt = 0.Глава 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
