А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (1113878), страница 17
Текст из файла (страница 17)
С учетом финитности пробных функций получим*•+!/dy dv>i*.+1*•+!fГk(x)———dx + I q(x)y(x)v)i(x) dx = /x,_if(x)wi(x)dx.г,-iI,_IПодстановка представления приближенного решения (10.16) приводитк трехточечному разностному уравнению (10.14), в которомX,X,а,; = - I k(x)dx - - / q(x)(x - ж,_|)(х, - x)dx,\ ( ''°*= h?\ J Ч^Х~ Xi~^dx+*'/ я(х)(хмщ1 = 1л J ^х^х ~ Xi~^dx+1X-1Hx^Xi+l\-x)dx\,-x)dx\-14110.2.
Численные методы решения краевых задачНаиболее просто аппроксимируются граничные условия (10.2):Уо = / ^ ь2/лг = /*2-(10-17)Для аппроксимации граничных условий второго и третьего рода со вторым порядком в граничных узлах х = хо = Онх = хн = 1 привлекаетсяуравнение (10.1) — аппроксимация на решениях задачи.
В случае уравнения (10.1) краевые условия (10.4) аппроксимируются разностнымисоотношениями/h \h-а\Ух,\+ ( <г, + ~qo J2/o = /*i + ^fo,}h \ЛaNVxJI + [<Г2 + ^qNjVN = /*2 + 2 flfК подобным аппроксимациям мы приходим при использовании интегроинтерполяционного метода и при построении схем конечных элементов.10.2.2. Сходимость разностных схемИсследование сходимости приближенного решения к точному при численном решении краевых задач базируется на основе априорных оценокв сеточном гильбертовом пространстве. При исследовании сходимостив равномерной норме привлекается принцип максимума и разностнаяфункция Грина.На множестве внутренних узлов w и на сеткеш+= {x\x = Xi = ih,i=l,2,...,N,Nh = l}определим скалярные произведения(y,w)+ = Y2y(x)w(x)hx€w+В сеточных гильбертовых пространствах Я и Н+ норму введем соотношениемЫ\ = (У,УУ'\\\У\\+=+\1/2Ы+)142Глава 10.
Краевые задачи для дифференциальных уравненийРассмотрим разностное уравнение (10.14) при однородных краевыхусловиях первого рода:Уо = 0,yN = 0.(10.18)Для любых сеточных функций, обращающихся в нуль на дш, вернонеравенство (разностное неравенство Фридрихса)||»||ЧМо(||у«|Г) 2 ,М0 = ^.(10.19)С учетом этого на множестве сеточных функций, удовлетворяющих(10.18), разностный оператор L, определяемый согласно (10.10), являетсясамосопряженным и положительно определенным:L = L*>~E.(10.20)М0Для исследования точности разностной схемы (10.14), (10.17) рассмотрим задачу для погрешности приближенного решенияz(x) = у(х) - и(х),х е ш.Для погрешности приближенного решения задачи (10.1), (10.2) получим разностную задачуLz — ip(x),хеш,z0 = 0, zN = 0,где "ф(х) — погрешность аппроксимации:•ф(х) = <р(х) - Lu,хеш.В случае достаточно гладких коэффициентов и решения для погрешностиаппроксимации получим•ф(х) = 0(h2),хеш.Для погрешности рассматриваемой разностной схемы справедливааприорная оценкам-'/2М0ЫГ<=НН.1+ „10.2.
Численные методы решения краевых задач143которая обеспечивает сходимость разностного решения к точному решению дифференциальной задачи со вторым порядком.При рассмотрении одномерных задач конвекции-диффузии мы ориентируемся на использовании трехточечных разностных схем, которыезапишем для внутренних узлов в виде- ада_, + ут - Д и + | =ч>иi=l,2,...,N-l.(10.21)Для граничных узлов считаем выполненными условия (10.18).Будем рассматривать разностные схемы (10.18), (10.21), в которыха<>0,Д>0,7<>0,i=\,2,...,N-l.Сформулируем критерий монотонности разностной схемы, т. е.
сформулируем условия, при которых разностная схема удовлетворяет разностному принципу максимума.Пусть в разностной схеме (10.18), (10.21) у?, ^ 0 для всех » = 1,2,...,N - 1 (или же щ < 0 для i = 1,2,...,N - 1). Тогда при выполненииусловийЪ>сц + ри» = 1,2JV— 1(10.22)имеет место у,\ ^ 0, i = 1,2,..., N - 1 (jfi < 0, » = 1,2,..., N - 1).Для разностных схем (10.18), (10.21), для которых выполнены условия монотонности (10.22), доказывается сходимость в равномерной норме. Исследование базируется на применении соответствующих теоремсравнения и построении мажорантных функций.Пусть для разностной схемы (10.18), (10.21) выполнены условия(10.22) иад(х)— решение задачи-a,w,_| + 7,го, - Д«;, + | = фиw0 = 0,Тогда приШ^фиг = 1,2,...,N - 1,wN = 0.» = 1,2,...,JV-1справедлива оценка|j/iKw„%= 1,2,...
,JV - 1.Функция w(x) называется мажорантной функцией для решения задачи (10.18), (10.21). Если удается построить мажоранту, то это значит,что получена априорная оценка для решения задачи в Ь^ш):||»(«)L <||«(«) L,00.23)144Глава 10. Краевые задачи для дифференциальных уравненийгде на множестве сеточных функций, обращающихся в нуль на ди>,Ых)\\оо = ™™\у(хЯНа основе рассмотрения задачи для погрешности с использованием оценки (10.23) устанавливается сходимость исследуемой разностной схемы.10.2.3.
Другие задачиСреди более общих, чем (10.1), (10.4) краевых задач отметим задачи дляуравнения (10.5). Простейшая центральноразностная аппроксимация члена с первой производной дает разностное уравнение- (аУг)х + 1>У°Х + <% = V,хеш,(10.24)где, например, b, — v(x,). Разностная схема (10.17), (10.24) аппроксимирует краевую задачу (10.2), (10.5) со вторым порядком. Ее основнойнедостаток связан с тем, что эта схема монотонна только при достаточномалых шагах сетки ft.Безусловно монотонные разностные схемы для уравнения (10.5) можно построить при использовании для конвективного слагаемого аппроксимаций первого порядка направленными разностями. Вместо (10.24)рассмотрим разностное уравнение- (Щх)х + Ь+ух + Ь~ух + су = (р, х€ш,(10.25)гдеЬ(х) = Ъ+(х)+Ь-(х),Ъ+(х)=1-(Ъ(х) + \Ъ(х)\)>0,Ь-(х)=1-{Ь(х)-Щх)\)<0.К сожалению, схема (10.17), (10.25) имеет только первый порядок аппроксимации.При разностной аппроксимации краевой задачи для обыкновенногодифференциального уравнения четвертого порядка (10.8)—(10.11) удобно10.2.
Численные методы решения краевых задач145использовать расширенную сетку с дополнительными (фиктивными) узлами £_! = -ft, xN+i = l+h. Тогда дифференциальному уравнению (10.8)можно сопоставить разностное уравнениеУхххх = <Р(х),(10.26)ХЕШ.Аппроксимация краевых условий (10.9) и (10.10) дает2/0 = ^ 1 ,(10.27)УЛГ = /*2,-2/1 - J / - 12/JV+IУя-\(10.28)"ь= v2.2ft"2ftПри вычислительной реализации значения в фиктивных и граничныхузлах находятся из (10.27), (10.28) непосредственно, а для определенияприближенного решения в узлах х е ш из (10.26) получим пятидиагональную систему линейных алгебраических уравнений.10.2.4. Решение сеточных уравненийДля нахождения приближенного решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения необходимо решить соответствующую систему линейных алгебраических уравнений.
Для нахожденияразностного решения используются традиционные прямые методы линейной алгебры. Излагаемый метод прогонки (алгоритм Томаса), какхорошо известно, является классическим методом Гаусса для матрицспециальной ленточной структуры.Для примера рассмотрим разностное трехточечное уравнение (10.21)с однородными условиями (10.18). В подобном виде записываются и разностные схемы для задачи с краевыми условиями третьего рода (нарасширенной сетке с у-\ = 0 , ум+\ — I + ft. В матричном виде рассматриваемая разностная задача имеет видАу = <р,х£ш,гдеА=ъ-faо0-а37з1N-\.146Глава 10. Краевые задачи для дифференциальных уравненийДля нахождения решения сеточной задачи используются следующиерекуррентные формулы для вычисления прогоночных коэффициентов(прямая прогонка):6+i=>t+i =A,,7. ~ otitir>* = 1>2,...,JV-1,t=\,2,...,N-IприДля решения имеем (обратная прогонка)!/« = &+iSfc+i+0«4i.* = 0 , 1 , .
. . , J V - 1,удг = 0.Пусть для системы уравнений (10.21), (10.18) выполнены условияЫ>0,|Д|>0,Ы > l«,-| + Iftl,i=l,2,...,iV-l,г=1,2,...,ЛГ-1.Тогда алгоритм прогонки корректен, т.е. в расчетных формулах 7i —aid Ф 0.В настоящее время существует ряд вариантов метода прогонки,ориентированных на определенный класс сеточных задач. Среди нихотметим прогонку для задач с периодическими граничными условиями,метод прогонки для пятиточечных разностных уравнений.10.3.
УпражненияПриведем некоторые примеры построения и исследования вычислительных алгоритмов для приближенного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.Упражнение 10.1. Найдите решение краевой задачи (10.1), (10.4) на основерешения задач Коши.Решение. Среди возможных подходов к сведению граничной задачи к задаче Коши отметим метод вариации постоянных. В этом случае решениепредставляется в видеи(х) = у(х) + c\v(x) + с2го(:с),14710.3. Упражнениягде С|,с2 произвольные постоянные, y(x),v(x) и w(x) — решения следующих задач Коши:lx~{k{x)aV)+4{x)yу(0) = 0,= f{x)0<x<1''* ( 0 ) ^ ( 0 ) = 0,d (dv\-Tx(k{x)te)+q{x)V' ° <x<i,= 0dv*(0)—(0)=1,t>(0) = 0,/dw\— ([k(x)—\+q(x)wfc(x)—]+g(x)w == 0,Q,0 0<x<l,dww(0) = l, fc(0)—(0) = 0.Граничные условия (10.4) приводят к системе уравнений-с,+0\сг = р.иС ( * ( * ) £ (0 + *2»(1)) + С2 ( * ( 0 ^ ( 0 + *2Ш(1)) == Л ~ * ( ' ) £ ( * ) "*2«(0для определения постоянных ct и с2.Упражнение 10.2.
Аппроксимируйте граничные условия третьего рода (10.4)со вторым порядком для решения уравнения (10.1) при использовании расширенной на полшага сетки.Решение. Введем сетку с узламих{ = х0 + 1к,г = 0,\,...,Ы,h!„ = - - ,xN=lh+ -,т.е. сетка сдвинута на полшага. Для внутренних узлов (х*, г = 1,2,...,N - 1) применяется обычная аппроксимация (10.10), (10.14). Для достаточно гладкой функции и(х) имееми(х) = - (и(х + 0,5Л) + и(х - 0,5ft)) + 0(h2),du1,„-,— (х) = - (и(х + 0,5Л) - и(х - 0,5Л)) + 0(h2).ОХЛ148Глава 10. Краевые задачи для дифференциальных уравненийВ силу этого фаничные условия (10.4) аппроксимирую тся условиями-fc(0)i/z,o+ ffi—г— = /•*!,W)yx,N + 0-1Z= \Чсо вторым порядком.Упражнение 10.3.
Постройте схему четвертого порядка аппроксимациидля уравнения- ^+ q{x)u = f(x)(10.29)на равномерной сетке при использовании трехточечного шаблона.Решение. Используем стандартную аппроксимацию-Ух* + су = <р(10.30)и подберем сеточные функции с и tp. Погрешность аппроксимациив нашем случае есть/d2u\- cu = tp - f + [ aix - —^ J - (c - q)u =•ф = ip + uizНа решениях уравнения (10.29) имеемd*u__=,и поэтому. d2fu-qf-—22h2/h2 d2f\(ft2Поэтому схема (10.30), в которойh2с=Я+Т2Я,2h2<P = f +h2 d2fT2qf+T2dV2будет искомой схемой четвертого порядка.Л, .10.3. Упражнения149Упражнение 10.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
