А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (1113878), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Типичнымпримером является приведение интегрального уравнения Вольтерра первого рода к интегральному уравнению второго рода. Будем считать, чтоядро и правая часть дифференцируемы и К(х,х) Ф 0. Тогда от уравнения (8.6) можно перейти к уравнению. .и ж1 dK(x,s)дК(х, s) , ч4j j _1 df_fu s ds+ / U7\я( ) = К(х,х) dx (*),J К(х,х)дхкоторое представляет собой интефальное уравнения Вольтерра второгорода.8.2.3. Интегральное уравнение Фредгольма первого родаИнтегральное уравнение (8.4) есть наиболее характерный пример некорректно поставленной задачи. Некорректность обусловлена тем, чтопри малых возмущениях правой части /(х) не гарантируется малоговозмущения решения.Помимо (8.4) рассмотрим уравнение с возмущенной правой частьюьj K(x,s)u(s)ds= f(x),хе[о,Ь].(8.13)Ядро К(х,з) есть вещественная непрерывная функция двух аргументов,a f(x),f(x) e L2(a,b), причем||/(х) - /(х)|| ^ 6,Глава 8. Интегральные уравнения108при использовании обозначенийь\\Ф)\\- у («>«).(«>») = /u{x)v(x)dx.При 6 -> 0 норма пофешности решения ||й(а:) - и(а;)|| не стремитьсяк нулю.Определим линейный интефальный операторьАу = I K(x,s)y(s)ds,x£[a,b].(8.14)аЗадачу с неточной правой частью (8.13) запишем в виде операторногоуравнения первого родаAu = f.(8.15)В методе регуляризации Тихонова приближенное решение задачи (8.15) находится из минимума сглаживающего функционала:J а (у) -+ min,у € Ь2 (о, Ъ),(8.16)гдеJa(y) = \\Ay-f\\2+ a\\y\\2,а а > 0 — параметр регуляризации.Обозначим решение задачи (8.16) через уа.
Оно может быть найденокак решение уравнения Эйлера для вариационной задачи (8.16)ауа + А*Ауа = A*f,гдеоА*у=I K(s,x)y(s)ds,х€[а,Ъ].Тем самым приходим к интефальному уравнению Фредгольмаьауа + I G(x, s)ya(s) ds = V(x),x G [a,b]8.3. Упражнения109с симметричным ядромъG{x,s) =IK{t,x)K(t,s)dtи правой частьюо#r)= JK(s,x)f(s)ds.Принципиальный момент в методе регуляризации связан с выборомпараметра регуляризации а, его согласованием с погрешностью входныхданных. При использовании принципа невязки параметр регуляризациивыбирается из условия\\Aya-f\\ = 6.При таком выборе а = а(6) норма погрешности \\уа - и|| —> 0 при 6 —• 0,т.е.
приближенное решение стремится к точному решению задачи.8.3. УпражненияРассмотрены иллюстративные примеры по построению и исследованию вычислительных алгоритмов приближенного решения интегральныхуравнений первого и второго рода.Упражнение 8.1. Получите условия сходимости метода простой итерацииьк+,и (х) = Х IK(x,s)uk(s)+ f(x),k = 0,\,...(8.17)апри, например, и0 = f(x) для приближенного решения интегрального уравнения (8.2).Решение. Будем рассматривать сходимость итерационного процесса (8.17)в L2(a,b). Для погрешности из (8.2), (8.17) имеемuk+i(x)-u(x)= \ J K(x,s)(uk(s)-u(s))ds,fc= 0,l,... .Глава 8.
Интегральные уравнения110Пусть существует ограниченная постояннаяь ь1/2Х = ( / JК\х,$)йзйх^а,атогда с учетом неравенства»k( I K(x,s)(u (s)ъ2- u(s)) ds\ъ2< IK (x,s)dsaaf (uk(s) - u{s))2dsaполучим||t»*+l (x) - u(x) || ^ Ax||«* (*) - u(x) ||.(8.18)Поэтому для сходимости итерационного метода (8.17) достаточно, чтобыЛ<1.XПри таких офаничениях из (8.18) стандартным образом следует оценкадля числа итераций, необходимых для достижения искомой относительной точности приближенного решения.Упражнение 8.2. Рассмотрите алгоритм решения интегрального уравнения (8.2) с вырожденным ядромпI=Iгде ip,(x),<pi(s), i = 1,2,..., п — системы линейно независимых функций.Решение. Подстановка (8.19) в (8.2) даети (х) - А ] Г ft (х) / ъ (s) u (s) ds = f (x).<='(8.20);Используя обозначения<Pi(s)u(s)ds = a,i = l,2,...,n,aполучим следующее представление для решения интефального уравненияФредгольма второго рода с ядром (8.19):8.3.
Упражнения111и(х) = f(x) + А ^2а^(х).(8.21)«=iДля коэффициентов q, t = l , 2 , . . . , n из (8.20) получим с учетом линейной независимости функций ip(x), г = 1,2,...,п систему линейныхалгебраических уравненийпс, - A ^ C j / ipj(s)<Pi(s)ds = / y>j(s)/(s) ds.После нахождения коэффициентов с*, i = 1,2,... ,п в качестве решенияинтегрального уравнения берется (8.21).Упражнение 8.3. В методе квадратур находится приближенное решениев точках х,, г = 1,2,...,п.
Рассмотрите возможности восполнения приближенного решения на все точки отрезка [а, Ь] при приближенном решенииинтегрального уравнения (8.2).Решение. Простейший подход связан с применением общих интерполяционных формул. Если в методе квадратур используется квадратурнаяформула интерполяционного типа, то та же интерполяционная формулаиспользуется и для восполнения. Например, естественно ориентироватьсяна применение кусочно-линейной интерполяции, когда по заданным щ,i = 1,2,..., п строится функция Y(x), такая чтоvt\Х'+1~Х.X — XiY(x) = ~——г У> + - — — to+u1€(яв,-,х <+ ,], t = l , 2 , . . .
, n - l .Для восполнения решений интегрального уравнения можно применять интерполяционные формулы специального типа. Применяя для интегрального члена интегрального уравнения квадратурную формулу, длявсех точек отрезка [а, 6] получимпу(х) = A Y^ CjK(x, Sj)yj + /(as), j = 1,2,..., п.j=tТакая интерполирующая функция более точно учитывает и передаетспецифику решаемой задачи.112Глава 8.
Интегральные уравненияУпражнение 8.4. Получите интегральное уравнение для определения производной порядка т заданной функции f(x).Решение. Без ограничения общности можем считать, что/(0) = 0,dkf^ F ( 0 ) = 0,fc=l,2,...,m-l.Для первой производной имееми поэтомуXхu(s)ds = f{x).оДля производной тп-ого порядка имеем1J ( г о - 1)!(х-вГ-у*) л = /(«).оСправедливость такого представления устанавливается методом математической индукции. Тем самым мы имеем интегральное уравнениеВольтерра первого рода.Упражнение 8.5. Приведите расчетные формулы метода квадратур при использовании формулы трапеций для приближенного решении интегральногоуравнения Вольтерра второго рода (8.5).Решение. Для узлова = Х| < Х2 < • •• < х„ = bпри использовании квадратурной формулы трапеций из (8.11) получимгде использовались обозначенияKij = K(Xi, Sj),hi = x{ - a:,.,.1138.3.
УпражненияОтсюда с учетом2/i = / ( s i )получим рекуррентные формулы для последовательного определения приближенного решения«-I2/(i.) + кгКцу{ + J2(b + Ы+])Кцу,для всех i = 2 , 3 , . . . , п. Эти формулы можно использовать при Kahi Ф 2.Упражнение 8.6. Пусть норма точного решения операторного уравненияAu = f(8.22)с оператором А = А* > 0 в Li(a, b) ограничена в Н^-г, т. е.\А~хч\^М = const.(8.23)При решении задачи с приближенной правой частью fg такой, чтоIIл - / I N *.<8-24)используется алгоритм упрощенной регуляризацииaya + Aya = f6.(8.25)Покажите сходимость приближенного решения к точному при выборе параметра регуляризации а(ё) — i/6/M.Решение.
Необходимо установить уа —> и при 6 —• 0. Обозначим через Ад., ipk, к = 1,2,... — собственные значения и собственные функцииоператора А соответственно, причем А* > 0, к = 1,2,... Для точногорешения задачи имеем представление— г — ¥>*•t=iХкАналогичное представление для приближенного решения получимиз (8.25):114Глава 8. Интегральные уравненияПусть у —решение регуляризованной задачи с точной правой частью, т.е.ау + Ау = /.(8.26)Принимая во внимание| | » а - « | М | » » - у | | + ||у-«||.(8.27)рассмотрим отдельно близость уа к у и у к и.
Равенство Парсеваляс учетом представления решения задач (8.25), (8.26) и оценки (8.24) дает||||2V> ( / « - f><Pk)2 6Аналогично с учетом априорных ограничений (8.23) получимПодстановка в (8.27) дает оценкуии *\\Уа - и < - + аМ.ииаМинимум правой части достигается при выборе параметра регуляризацииа(6) = у/6/М, причем\\уа-и\\^2у/ШИ ПОЭТОМУ \\уа — ш|| —• 0 ПрИ 6 - + 0 .8.4. ЗадачиЗадача 8.1. Получите оценку погрешности метода квадратур Симпсонапри решении интегрального уравнения Фредгольма второго рода в равномерной норме.8.4. Задачи115Задача 8.2. Рассматривается задача нахождения характеристических чисел (собственных значений) интегральных уравнений, т. е.и(х) = А / К(х, s)u(s) ds.Ядро интегрального уравнения симметрично и положительно определено, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
