А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (1113878), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Линейный m-шаговый разностный метод записываетсяв виде,m-^a,3,i=0mn+,-i= X;b.7('»+.-.,yn+,"<).n = m-l,m....(9.10)i=0Вариант численного метода определяется заданием коэффициентов а„Ь,,i = 0, l , . . . , m , причем ао Ф 0. Для начала расчетов по рекуррентнойформуле (9.10) необходимо задать то начальных значений j/°, у 1 , . . . , ут~'.Различные варианты многошаговых методов (методы Ддамса) решения задачи с начальными условиями для систем обыкновенных дифференциальных уравнений могут быть получены на основе использования9.2. Численные методы решения задачи Коши123квадратурных формул для правой части равенстваt.
+ ie(*„+i)-«(*n) = J /(*,») Л.(9.11)иДля получения неявного многошагового метода используем для подынтегральной функции интерполяционную формулу по значениям функцииГ + , = /(<п + ьУ п + , ),Г,.--,Г + , - т ,т.е.—= ^bif(tn+^iy+l-i).<=о^7(9.12)Для интерполяционного метода Адамса (9.12) наивысший порядок аппроксимации равен т + 1.Для построения явных многошаговых методов можно использовать процедуру экстраполяции подынтегральной функции в правой части (9.11). В этом случае приближение осуществляется по значениям/",/""'.•••,/ n + 1 _ m и поэтомуп+1 _ n! LJ LTJ"= £*k/(«- + i-i,y ,+| - 1 )-(9-13)1=1Для экстраполяционного метода Адамса (9.13) погрешность аппроксимации имеет m-ый порядок.Примерами методов Адамса (9.12), (9.13) при т = 3 являютсяУ"~уП = у4 (9/ П+1 + 19/" - 5/""' + Гг),П+1 _П1= п( 2 3 / П _ 16/"~' + 5^"~2)Т(9.14)( 9 - 15 )соответственно.На основе методов Адамса строятся и схемы предиктор-корректор.На этапе предиктора используется явный метод Адамса, на этапе корректора — аналог неявного метода Адамса.
Например, при использовании методов третьего порядка аппроксимации в соответствии с (9.15)для предсказания решения положимУ-!LТ' (23/--16/-Ч5/"- 2 ).\1Глава 9. Задача Коши для дифференциальных уравнений124Для уточнения решения (см. (9.14)) используется схема„п+1г„,п) + l9fn - 5f= ТЛУ^^У24'+ / )•Аналогично строятся и другие классы многошаговых методов.9.2.3. Жесткие системыобыкновенных дифференциальных уравненийПри численном решении задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (9.1), (9.2) могут возникнуть дополнительныетрудности, порожденные жесткостью системы. Локальные особенностиповедения решения в точке и = w передаются линейной системойПусть A,(i), г = 1,2,...,т — собственные числа матрицыA(t)={aij(t)},aij(t)=^-(t,w)-Система уравнений (9.1) является жесткой, если числоmax |ReAj(i)|S(t) = ' « " 'min |ReA,(t)|велико. Это означает, что в решении присутствуют составляющие с сильноразличающимися масштабами изменения по переменной t.Для численного решения жестких задач используются вычислительные алгоритмы, которые имеют повышенный запас устойчивости.
Необходимо ориентироваться на использование Л-устойчивых или А(а)-устойчивых методов.Метод называется А-устойчивым, если при решении задачи Кошидля уравнения (9.9) область его устойчивости содержит угол|arg(-p)| < a ,/х = Ат.9.3.
Упражнения125Среди ^-устойчивых методов можно выделить чисто неявные многошаговые методы (методы Гира), когда^«..зГ-^/^зГ1).т,=оВ частности, при т — 3 имеем схемуllt/n+1-18j/"+9yn-1-2ty"-2= /(<n + „J/ n + 1 ),6ткоторая имеет третий порядок аппроксимации.9.3. УпражненияВ приведенных ниже примерах основное внимание уделено построениючисленных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и исследованию свойств аппроксимации и устойчивости.Упражнение 9.1. Покажите возможность построения метода приближенного решения задачи Коши (9.3), (9.4) на основе разложения решения в рядТейлора.Решение.
Будем считать, что решение задачи (9.3), (9.4) при т = 1и правая часть достаточно гладкие функции своих аргументов. Разлагаяu(t) при t = t„, получимduu(t„+l) = u(tn) + (t n+ i - tn) — (<„) +at2^ (<n + |-<») <*V, . ^ (tn + l -<n) 3+-^1У+3Jd\^r(*») + ----Для нахождения производных решения используется уравнение (9.3), такчто, например,du£ю=£#.•>+£м/м.Глава 9. Задача Коши для дифференциальных уравнений126d2f•>2d2udf+ ^(«,«)/ (*,«) + ^(*,«)^(«).Офаничиваясь несколькими первыми членами разложения для приближенного решения задачи (9.3), (9.4) получимз/ п + | - v"-т= f(tn,yn),уп+'-у"...n = 0,l,...,„>tn+\-tn(dfn0/„\— - — = /(*«,» ) + —2—\Ш™ У '+au^*'v W",v 4'n = 0,l,....Для получения производных правой части по переменным t и и можноиспользовать современные компьютерные системы аналитических вычислений.Упражнение 9.2.
Постройте явный метод Рунге—Кутта при s = 2 и дополнительном ограничении С\ = 0.Решение. В силу общего представления (9.6), (9.7) в рассматриваемомслучае имеем^-=6,fc,+62fc2,(9-16)тk,=f(tn,yn),k2 = f(tn + C2T,yn+a2,Tk,).(9.17)Параметры метода 021,61,62,02 найдем из условия, чтобы пофешностьаппроксимации имела наибольший порядок.Для пофешности аппроксимации из (9.16), (9.17) получимu»+i_nui>n =+ 6i/(<„,it n ) + b7f(tn + c2r,u" +a»Tf(t„,un)).TРазложение в ряд Тейлора даетw"+1 -u"du,чTdVч— 7 — =«(*•) + 1 tf(*»), ,.+ 0(r)'П/(*п + С2Т,И" + а2|Т/(<„,« )) == /(*„,и") + с2т ^ ( < „ , и") + в 2 1 г / ( ^ , « П ) ^ ( « п , и " ) + 0(т2).9.3. Упражнения^ ^127На решениях уравнения (9.3)и поэтому% =- ^п) + (Ь1+Ь2);Цп>ип) ++ т(ь2а2] - I ) /(Ли») ^ (<„,«")++ r^ 2 C2-0^(t„,« n ) + O(r2).Следовательно, метод (9.16), (9.17) имеет первый порядок аппроксимации, если 6i + Ь2 = 1.
При1102121 = Х '*2С2 = Zимеем однопараметрическое семейство методов Рунге—Кутта второгопорядка аппроксимацииУ~У" =(l-a)f(tn,un)+ of(tn + CT,un+cTf(tn,un)),(9.18)тгде Ъ2 = 1 - Ь\ — о, сг = а 2 | = с, причем с<т = 0,5.В классе (9.18) наиболее известными методами являются методыс а = 1 и а — 0,5."Упражнение 9.3. Получите условия устойчивости явного метода Рунге—Кутта четвертого порядка точностиVn+i -у"1— = -(fc, + 2fc2 + 2fc3 + kA),то*!=/(<•,»"),*2 = /(*» + ^ , У" + Г у ) .*3 = /(*« + ^ У +Т^ \fc« = /(*» +Т,У" +Tk3).Решение. Для модельного уравнения с правой частью f(t,u)имеемyn+l = q(n)yn,А« = АТ,= -A«Глава 9. Задана Коши для дифференциальных уравнений128где/\'д(ц) =\-ц2**3+ -ц --р.4+ ^ /* •Метод устойчив, если выполнено \q\ ^ 1.
Это неравенство (см. рис. 9.1)справедливо прир, = Лт ^ 2,78.1,5Г91234Рис. 9.1. График функции q(p)Упражнение 9.4. Постройте трехслойный метод решения задачи Коши (9.3),(9.4) с использованием квадратурной формулы Симпсона.Решение. Интегрирование уравнения (9.3) по t от <„_| до <„+| дает«п+| - к -11 [tч—27— = ^У/(^)^На правой части использование формулы Симпсона дает'•-I±ff(t,v)dt == g(/(*» + i,«" + I ) + 4/(«„ii") + / ( t - i , « " " 1 ) ) +<?(t 4 ).1299.3.
УпражненияЭто приводит нас к методуУ +"~/= g(/(<„ + i,y n + l ) + 4 / ( t . , y " ) + /(tn-.,y""')),который имеет четвертый порядок аппроксимации.Упражнение 9.5. Приведите общую схему построения т-шагового методаТира и исследуйте погрешность аппроксимации.Решение. В данном классе методов в уравненииdu-^(tn+\) =,f{tn+i,u(tn+i))используются аппроксимации производной с помощью направленныхразностных производных. Для m-шагового метода аппроксимации строятся по узлам tn+,~', г = О,1,... ,га, т.е. используется метод1mi=0Для определения коэффициентов a,, i = 0 , 1 , .
. . , т можно применятьметод неопределенных коэффициентов, когда используются разложенияфункций уп+>~\ г = 0, \,...,тв ряд Тейлора в точке t = tn+\. Болееконструктивным представляется подход с использованием формул численного дифференцирования, построенными с привлечением обычныхинтерполяционных формул.По точкам (<n+i-i,2/"+1_'), » = 0 , 1 , .
. . ,тп построим интерполяционный полином Lm(t) степени т и используем для численного решенияуравнения (9.3) схему^ ( * п + , ) = /(<п + 1 ,2Г')При использовании интерполяционной формулы Ньютона получим• М О = y(tn+\) + (t-tn+{)y(tn+utn)++ (t- tn+l)(t - t„)y(tn+ut„,*„_,)где y(t„+l,tn),y(tn+\,t„,t„-\),...щего порядка. Тем самым+ ... ,— разделенные разности соответствуюdL/m"~й~(*п+1) = У('п+|А) + (*п+1 ~tn)y(tn+u*„,*„_,) + ...
.Глава 9. Задана Коши для дифференциальных уравнений130Например, при т = 2 получимf<W,>-£<*r'-V + r')при использовании равномерной сетки с шагом т.Упражнение 9.6. Для задачи Коши(9.19)«<0) = «°, £<0) = *°используются методы Штермера, когдауп+] - 2у" + у""' _= Ё Ь */(*-+»--'»" +1 "0»=о(9-20)Укажите возможность построения таких схем на основе построения специальных квадратурных формул для правой части уравнения (9.19).Решение.
Домножим уравнение (9.19) на финитную функцию¥>(') = {11I £ l'n-li*n+l]iТо,*^[<»-|Л+|].Непосредственные выкладки дают2*"'/Л2<p(t)dt = yn+i-2yn+ yn-\поэтому для уравнения (9.19) имеет место равенствоu »+i- 2 u " + w n-1f f(t,v)<p(t)dt.(9.21)<.Формулы типа (9.20) мы можем получить на основе использования тех илииных (интерполяционных и экстраполяционных) квадратурных формулдля правой части (9.21).9.4.
Задачи1319.4. ЗадачиЗадача 9.1. Покажите, что в классе двухстадийных явных методов Рунге—Кутта (9.18) нет методов третьего порядка аппроксимации.Задача 9.2. На примере системы двух обыкновенных уравнений рассмотрите особенности построения методов Рунге—Кутта для систем.Задача 9.3. Получите оценки погрешности при использовании метода Рунге—Кутта для приближенного решения задачи Коши (9.3), (9.4)при условии, что функция f(t, и) удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу.Задача 9.4. Рассмотрите метод Рунге—Кутта3-\/363 + Viъ*6143-2л/3123 + 2v^12141212связав его с квадратурной формулой Гаусса.Задача 9.5. Постройте трехстадийный явный метод Рунге—Кутта (s = 3(9.6), (9.7)) при с, = 0.Задача 9.6.
Методом неопределенных коэффициентов постройте явнуюдвухшаговую схему третьего порядка аппроксимации.Задача 9.7. Получите схемы Адамса (9.14), (9.15) и исследуйте погрешность аппроксимации.Задача 9.8. Покажите, что наивысший достижимый порядок аппроксимации неявных многошаговых методов (9.10) равен 2т, а явных —2т- 1.Глава 9. Задача Коши для дифференциальных уравнений132Задача 9.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
