А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (1113878), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Пусть погрешность разностной схемы (10. ЮЛ (10.14),(10.17) имеет следующий видV(x) = v°(x) + v*(a;), i>° = ti*, хеш,(10.31)причемV(x)= 0(h2),V » = 0(h2).Покажите, что разностная схема сходится со вторым порядком.Решение. Для погрешности разностного решения z(x) справедлива априорная оценкаl h l l + ^ ( N I + + ^o/2|k1|)-(10-32)Для ее доказательства скалярно умножим уравнение для погрешностиLz = if>(x), х^шна z(x) и получим равенство~((azi)z,z) +(cz,z) = (ip,z).Принимая во внимание, чтоfc(x)^ к > 0, будем иметь~((azi)x,z) = (aZi,Zi)+ ^ к(||г г || + ) 2 .Левая часть с учетом представления (10.31) для погрешности аппроксимации и неравенства Фридрихса преобразуется следующим образом:(iM) = (r,t,z) + tf,z) < -(т/,г 4 ) + + \\ip*\\ ||z|| ^<(||iT+^HI)NI + С учетом неотрицательности с это дает априорную оценку для погрешности (10.32).
Из этой оценки следует сходимость разностной схемы (10.10),(10.14), (10.17) со вторым порядком. Заметим, что при этом локальнаяпогрешность аппроксимации имеет только первый порядок.Упражнение 10.5. Постройте абсолютно монотонную разностную схемвторого порядка аппроксимации для краевой задачи (10.2), (10.5).150Глава 10. Краевые задачи для дифференциальных уравненийРешение.
При построении дискретных аналогов для одномерных задачполезно использовать возможность перехода от исходной несамосопряженной дифференциальной задачи к самосопряженной, для которой ужепотом строить те или иные аппроксимации. От исследуемого уравнения(10.5) можно перейти к уравнению-te{k(x)di)+4^)u = f(x),0<x<l,(10.33)в которомЦх) = Цх)х(х),}(х) = f(x)x(x),q(x) = ф)х(ж),где*<*>=Ч-/$ИДалее строятся обычные разностные схемы второго порядка точностидля уравнения (10.33).
Например, можно использовать разностную схему-{аУх)х+су= <Р(х), х€ш,(10.34)в которой, например,а(х) = к(х - 0,5h) = к(х - 0,5ft)x(x - 0,5ft),1-0.5ЛХ{х-0,5ft) =exp(- /g|ds).оС точностью до 0(h2) положимX(x-0,5ft) = X (z)exp(0( a; )),*(*) = ! | Щ -Левая часть (10.34) преобразуется следующим образом- ( < Ы * = ~к(х-0,5ft) ехр(<?(х))уг -- 4 rfc(*+ °-5h) ехр(-*(*)Ь»-10.3.
Упражнения151Приходим к разностной схеме--(fc(a; + О,5Л)ехр(-0(а:))з/х - Цх - O,5A)exp(0(z))ys) ++ с(х)у = <р(х),хеш,которая является монотонной и аппроксимирует уравнение (10.5) со вторым порядком.Упражнение 10.6. Постройте вариант метода прогонки для решения системы линейных алгебраических уравнений-a0yN+ 7о2/о - A)2/i = Vo,-«i»i-i+7i»i-A-y<+i =¥>»-<*NVN-I+1NVNt = l,2,...,JV-l.(10.35)~ PNVO = <PN,которая возникает, например, при рассмотрении краевой задачи для уравнения (10.1) с периодическими краевыми условиями.Решение. Будем использовать представление решения сеточной задачи(10.35) в видеyi = Vi+yNWi,г = 0,1,...,ЛГ.(10.36)В силу этого для новых сеточных функций v и w получим условияVfi = 0,WJV= 1.Далее подставляем представление (10.36) в (10.35).
Из первого уравненияполучим7о"о - PoV\ = ¥>o,7о«>о - A>t»i = «оДля внутренних узлов получим-«<"•-! +7»«i-A-"i+i = fi,i=l,2,...,N-I,-a<Wi_i +ЪЩ - A % i = a 0 ,i - 1,2,... ,7V- 1.Тем самым для определения сеточных функций г» и w мы имеем стандартные задачи с трехдиагональной матрицей. Для их нахождения используется метод прогонки.152Глава 10.
Краевые задачи для дифференциальных уравненийДля определения уц используется последнее из уравнений (10.35):VNТЛГ - /?jvWo -QNWN-После этого в соответствии с (10.36) рассчитываются другие значениясеточной функции у.10.4. ЗадачиЗадача 10.1. Рассмотрите возможность сведения краевой задачи (10.1),(10.4) к решению задач Коши на основе использования представлениярешения в виде (метод дифференциальной прогонки):йии(х) = v(x)—(x)dx+ w(x).Задача 10.2. Покажите, что на произвольной неравномерной сетке x, + i =х, + hi+\ разностное уравнениеX =2f *+• - * - »-*-Л +&)*+*+ *+*-1 =/(*>,Ы+i +h{ \ ht+lXi+\ +Xi + 1,-1h{)33аппроксимирует уравнениеd2u- ^ + « ( * ) * * = /(*)со вторым порядком в неузловой точке х = х.Задача 10.3.
С помощью интегро-интерполяционного метода постройтеразностную схему второго порядка аппроксимации на равномерной сеткеw = {i | х = Xj = ih,i = 0,1,... ,N,Nh = l}10.4. Задачи153для краевой задачи- - — (хк(х)^- ) + q(x)u = f(x),х ах \ах/du\imxk(x) — (x) = 0, u(l) = u.х—оах0<х<1,(10.37)(10.38)Задача 10.4. Для краевой задачи (10.1) с однородными граничными условиями постройте схему конечных элементов с представлением решенияв виде (10.16) на основе минимизации функционала (метод Ритца)'J{V) =2X)\I\^ (lxJ'2+4(x)v (x))dx- J f(x)v(x)dx.Задача 10.5.
Для решения задачи (10.1), (10.4) справедливо интегральноетождествоidu dvЩх) — — + q(x)uv - f(x)v)dx +ах ах/+ <r,u(0)t;(0) + ff2«(0v(0 ~ Mi"(0) - /*2«(0 = 0,где v = v(x) — произвольная дифференцируемая функция. На основеиспользования квадратурной формулы трапеций аппроксимируйте этоинтегральное тождество и постройте разностную схему для приближенного решения краевой задачи (10.1), (10.4) (метод сумматорных тождеств).Задача 10.6. При решении краевой задачиddut»(0) = l, u ( l ) = 0используется разностная схема-Нх)Ухх- fcj»- = 0.Покажите, что эта схема расходится в классе разрывных коэффициентов.154Глава 10. Краевые задачи для дифференциальных уравненийЗадача 10.7. Покажите справедливость следующих разностных аналоговпервой и второй формул Грина((аУх)х,и>) = -(а-Ух,и>х)+ + aNyitNwN-a^owo,{(аух)х,го) - (у,{awi)x) = aN(yXyNwN - yNwxjf)- a, {yXt0v>o - 3to«>x,o)на равномерной сетке.Задача 10.8.
Покажите, что разностное уравнение-aiyi-i+Hyi-PiVi+i-Vi,а<^0,Д^О,i=l,2,...,JV-l,3/о = Мь Уы = (*2можно привести к симметричному видуам(уш~ Уд ~ а,(у, - yi-}) - by, = &,г = 1,2,...,JV- 1.Задача 10.9. Докажите, что для всякой сеточной функции у(х), заданнойна сеткеш = {а; | х = я,- = ih,i = 0,\,...,N,JVfo = J}и обращающейся в нуль при i = 0 н i = I, справедливо неравенство(теорема вложения для сеточных функций)l№*)L<yll*ll+.Задача 10.10. Найдите собственные функции и собственные значенияразностной задачиУхх + Ху = 0,З/о = 0,УЛГ =хеш,0.Задача 10.11. Для уравнения (10.1), в которомк(х) > к > 0,q(x) > 6 > 0,10.4.
Задачи155рассмотрите краевую задачу с условиями периодичностии(х + 1) = и(х).Постройте разностную схему второго порядка аппроксимации на равномерной сетке и исследуйте ее сходимость на основе принципа максимума.Задача 10.12. Для задачи (10.1), (10.2) с разрывными коэффициентами постройте интегро-интерполяционным методом разностную схему(10.10), (10.14), (10.17) и на основе представления погрешности аппроксимации в виде (10.31) докажите сходимость разностного решенияк точному со вторым порядком.Задача 10.13.
Покажите, что при решении задачи (10.1), (10.2) на неравномерной сетке Х{+\ = z, + ft,+i с использованием разностной схемы2-т/Ух+i ~Vi—г I в « ' + ' Та<Vi-y,-\\ь,) + с , У г = <Pi,i=l,2,...,tf-lприближенное решение сходится к точному со вторым порядком.Задача 10.14. Для решения краевой задачи (10.37), (10.38) постройтеразностную схему на сеткеж0 = 0,х,=0,5А,xt+i=x,+h,i=l,2,...,N,(N-0,5)hи исследуйте ее сходимость.Задача 10.15.
Покажите, что разностная схема~(аУх)х = <р(х),хеш,в которой- (I ? dx V'=XI.-!ашf(s)* h { ImlX,X,X,X,+а" <1щ1f{s)I,_|Xds)'=l156Глава 10. Краевые задачи для дифференциальных уравненийдля приближенного решения уравненияd (du\к{х)-тЛ тх) =f^0<X<1с фаничными условиями (10.2) является точной.Задача 10.16. Пусть выполнены условия|о,-|>о,|А-|>о,б{ = \ъ\ - ы - |А| > о • = 1,2JV- кДокажите, что в этих условиях для решения задачи- а < № - | + 7 * № - A№+i = <Pi, * = 1,2,...,JV- l,3/0 = 0,yN = 0справедлива оценкаIML <Задача 10.17. Рассматривается задачаd2udx2du+ v(x) — + q(x)u = / ( * ) ,«(0) = (iu0 < x < I,u(l) = ft2.Покажите, что разностная схема11 +гУхх + V Ух + V Уг + СУ = <Р,Х£Ш,гдеv(x) = v+(x) + v (х),v+(x) = -{v(x) +v-(x) =\v(x)\)^0,-(v(x)-\v(x)\)^0,Ф ) = — |-^<зс)|Л,является безусловно монотонной и имеет второй порядок аппроксимации.15710.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
