А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (1113878), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Постройте разностную схему для приближенного решенияуравнения четвертого порядкав прямоугольнике П, когда на границе задана сама функция и(х) и еенормальная производная (первая краевая задача).Задача 11.11. Рассмотрите аппроксимации на равномерной прямоугольной сетке системы уравнений теории упругости (уравнения Ламэ)д_ (дх~\ч#М|\д (диЛ{^^ax-J-ax-M^Jдх~!Глава 11. Краевые задачи для эллиптический уравнений178дх2\dxjдх\\дхг)dXiYdXi)Задача 11.12. Для решения сеточной задачиАу = <р, А = А* > Оиспользуется треугольный итерационный метод(D + r v l , ) -*- + Aif = 4>,тгде D — произвольный самосопряженный оператор, аА = А\ + А2,А\ = А2.Найдите оптимальное значение итерационного параметра т, когда априорная информация задана в виде6D^A,AiD~lA2 ^ — А.4Задача 11.13.
Получите оценки скорости сходимости метода верхней релаксации при решении сеточной задачи Дирихле для уравнения Пуассона(11.6), (11.11).Задача 11.14. Пусть А — разностный оператор, который определенна Н = L2(u>) и соответствует разностной задаче (11.2)-(11.6). ПустьВ есть диагональная часть оператора А. Покажите, что для постоянныхэнергетической эквивалентности (см. неравенство (11.22)) операторов Аи В верно равенство7i + 72 = 2.Задача 11.15. Рассмотрите итерационный метод (11.21) для приближенного решения сеточной эллиптической задачи с переменными коэффициентами (11.4)—(11.6), когда в качестве переобуславливателя В беретсясеточный оператор, соответствующий решению разностного уравнения-Ухи,-0*i*2+ХУ = ¥>(х),х€ш,т.
е. разностной задачи с постоянными коэффициентами.11.4. Задачи179Задача 11.16. Пусть решается сеточная задачаАу = (р,с несамосопряженным положительным операторомА = А0 + А\ > О,Ao = Al,А\ = -А\.Проводится симметризация задачи следующим образом:Ау = <р, А = А*Ао*А,ip^A'A^ip.Исследуйте скорость сходимости итерационного методаA0Z*- + Aif = $t* = 0,1,...,когда||А у || 2 ^М(>1оЗ/,у),т. е. в условиях подчиненности кососимметричной части оператора А.Глава 12Нестационарные задачиматематической физикиРассматриваются разностные методы приближенного решениякраевых задач для нестационарных уравнений с частными производными. Основное внимание уделяется построению и исследованию разностных схем для параболических уравнений второгопорядка. Теоретической основой при исследовании сходимостиразностных схем является общая теория устойчивости операторнораэностных схем. Приведены основные результаты об устойчивости двух- и трехслойных разностных схем по начальным данными правой части.
Отмечаются особенности исследования схемдля гиперболических уравнений второго порядка. Строятся экономичные разностные схемы для приближенного решения многомерных нестационарных задач математической физики.12.1. Нестационарные краевые задачиВ качестве базового нестационарного уравнения математической физики выступает одномерное параболическое уравнение второго порядка.В прямоугольникеС?г = Пх[0,Т], П = { х | 0 < а ; ^ О ,рассматривается уравнениедид (ди\к{х)т=э;(0< t < Гд-х)+Пх'1)>0<х<1>0<^г-(,2Л)Оно дополняется (первая краевая задача) граничнымиu(0,t) = Q, u(l,t) = 0, 0<t^T(12.2)12.1.
Нестационарные краевые задачи181Основные обозначенияи = и(х, t) — неизвестная функцияh — шаг равномерной сеткипо переменной хт — шаг сетки по времени tш/, — множество внутренних узловпо пространствудшь. — множество граничных узловН — гильбертово пространствосеточных функций(•,•) — скалярное произведение в Н|| • || — норма в Нух = (у(х + h,t) ~ y(x,t))/ft — правая разностная производнаяв точке (x,t) по переменной хУх — (з/(з,0 - у(х - h,t))/h — левая разностная производнаяв точке (х, t) по переменной ху" — решение на момент времениt = tn=+]ТVt (у" ~У")/ — производная впередпо переменной t=птVt (У ~ У"~*)/ — производная назадпо переменной tи начальнымиu(x,Q) = v°(x),0<i<I(12.3)условиями.Для простоты изложения мы ограничились однородными граничными условиями и зависимостью коэффициентаfcтолько от пространственной переменной, причем к(х) > к > 0.Вместо условий первого рода (12.2) могут задаваться другие граничные условия.
Например, во многих прикладных задачах необходимо182Глава 12. Нестационарные задачи математической физикиориентироваться на формулирование граничных условий третьего рода:du-*(<>) — ( о , < ) + * i (*)«(o, «) = / * • ( * ) ,k(l) — (l,t) + o2(t)u(l,t) = fi2(t),0 < t < Г.Среди других нестационарных краевых задач необходимо выделитьгиперболическое уравнение второго порядка.
В одномерном по пространству случае ищется решение уравненияди д (ди\2а?*=di(k(x)di)+f{x,t)'0<х<г'°<*<г-О2-5)Для однозначного определения решения этого уравнения помимо граничных условий (12.2) задаются два начальных условияди~(0,t)otи(х,0)=щ(х),= m(x),O^x^l.(12.6)Особое внимание необходимо уделять методам численного решениямногомерных нестационарных задач математической физики. Примером может служить двумерное параболическое уравнение. Будем искатьв прямоугольникеП = {х | х = (хих2),0<ха<1а,а= 1,2}функцию «(х,0, удовлетворяющую уравнениюх G П, 0 ^ * < Ги условиям«(х,<) = 0, х € 0 П ,«(х,0) = и 0 (х),0<*<Г,х€П.(12.8)(12.9)Аналогично формулируются и другие нестационарные многомерные краевые задачи для уравнений с частными производными.12.2. Разностные методы решения нестационарных задач18312.2.
Разностные методы решениянестационарных задачПрежде чем проводить исследование конкретных разностных схем для нестационарных уравнений математической физики введем базовые понятия теории устойчивости операторно-разностных схем, рассматриваемыхв конечномерных гильбертовых пространствах. На основе приведенныхоценок устойчивости двух- и трехслойных разностных схем по начальным данным и правой части проводится исследование разностных схемдля уравнений параболического и гиперболического типов.12.2.1. Устойчивость двухслойныхоператорно-разностных схемДадим некоторые основные понятия и определения общей теории устойчивости операторно-разностных схем.
Пусть задано вещественное конечномерное гильбертово пространство Я и сетка по временишТ = шт U {Г} = {<„ = пт,n = 0,l,...,JV 0 ;TN0 = T}.Обозначим через А,В: Я —> Я линейные операторы в Я и пусть они,для простоты, не зависят от т, tn. Рассмотрим задачу Коши для операторно-разностного уравненияУ—+Ауп = рп,Я-tn€u>T,(12.10)тУ° = Щ,(12.11)где уп = y(t„) € Я — искомая функция, а <рп,и0 G Я — заданы.Определим двухслойную разностную схему как множество задачКоши (12.10), (12.11), зависящих от параметрах, а запись (12.10), (12.11)будем называть канонической формой двухслойных схем.Двухслойная схема называется устойчивой, если существуют такиеположительные постоянные тпх и mi, не зависящие от г и выбора щ, <р.184Глава 12.
Нестационарные задачи математической физикичто при любых щ € Н, (р £ H,t £шТ для решения задачи (12.10), (12.11)справедлива оценка| | y n + 1 | | ^ m , | | « 0 | | + r n 2 max | | ^ | |<„ еШт,(12.12)где || • || и || • ||# — некоторые нормы в пространстве Н.Неравенство (12.12) отражает свойство непрерывной зависимостирешения задачи (12.10), (12.11) от входных данных. Обычно разделяютпонятия устойчивости по начальным данным и устойчивости по правойчасти.Разностная схемаВ^„»-и _ у"?- + Ayn=0,*„€w r ,У° = ио(12.13)(12.14)называется устойчивой по начальным данным, если для решения задачи(12.13), (12.14) выполняется оценка||»" +1 ||^"»|||«о||.*"£"т-(12.15)Двухслойная разностная схемаvn+lВ--vnУ- + Ауп = <р\t„Gw T ,тУ° = 0(12.16)(12.17)устойчива по правой части, если для решения выполняется неравенство||у" + | || ^Го2 0 тах п | И | „tneu,T.(12.18)Получение оценок устойчивости чаше всего базируется на априорных оценках разностного решения при переходе с одного временногослоя на другой.
Для самосопряженного положительного оператора R через Я д обозначим гильбертово пространство, состоящее из элементовпространства Я и снабженное скалярным произведением и нормой(У, ю)л = (Ry, w),||у || я = yJ(Ry,y).12.2. Разностные методы решения нестационарных задач185Разностная схема (12.13), (12.14) называется g-устойчивой (равномерноустойчивой) по начальным данным в Яд, если существуют постояннаяg > О и постоянная Го|, не зависящие от г, п, такие, что при любых пи при всех у" е Н для решения уп+] разностного уравнения (12.13)справедлива оценка11»"+111л<в||у"||я, tnewT,(12.19)причем д" ^ тп\.В теории разностных схем в качестве константы Q выбирается обычноодна из величине = 1,в = 1 + ст,с > О,р = ехр(ст),где постоянная с не зависит от т, п.Из оценки разностного решения на слоеследует априорная оценка (разностный аналог леммы Гронуолла)\\yn+i\\<9n+bo\\+i:ren-k\Miк=0Сформулируем основные критерии устойчивости двухслойных операторно-разностных схем по начальным данным.
Основным являетсяследующий результат о точных (совпадающих необходимых и достаточных) условиях устойчивости в НА.Пусть в уравнении (12.13) оператор А является самосопряженнымположительным оператором. УсловиеВ>7-А,<€wr(12.20)необходимо и достаточно для устойчивости в Яд, т.е. для выполненияоценкиIk+iL^NL, *e«r.(12.21)При рассмотрении общих нестационарных задач необходимо ориентироваться на условия ^-устойчивости.186Глава 12.
Нестационарные задачи математической физикиПустьА = А*, Б = В * > 0 ,тогда условия!—£В^А^Т^tiв(12.22)Тнеобходимы и достаточны для ^-устойчивости в Яд схемы (12.13), (12.14),т. е. для выполнения||у»+|||в<вЫ1вИз устойчивости разностной схемы по начальным данным в Яд,R = R* > 0 следует и устойчивость схемы по правой части. Более точноэто утверждение формулируется следующим образом.Пусть разностная схема (12.10), (12.11) ^-устойчива в Я д по начальным данным, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
