А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (1113878), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Сформулируйте условия сходимости многошагового метода(9.10) при решении задачи (9.3), (9.4), когда функция /(<, и) удовлетворяетусловию Липшица по второму аргументу.Задача 9.10. Получите условия устойчивости неявной схемы Адамса третьего порядка точностиi / n + 1 _ iin1Задача 9.11. Докажите, что среди явных многошаговых методов (6о = 0в (9.10)) нет А -устойчивых.Задача 9.12.
Докажите, что среди неявных многошаговых методов (9.10)нет ^-устойчивых методов, имеющих порядок аппроксимации вышевторого.Задача 9.13. Получите условия ^(а)-устойчивости метода Гира25у" +| - 48у" + 36у"-' - 16У"'2 + З г Г 3 _ tU_n+nп+=/(<„ьУ').+12ткоторый имеет четвертый порядок точностиЗадача 9.14. На примере модельной задачи Коши для уравнения~ = X(t)uпокажите, что результаты по устойчивости, установленные для задачис постоянными коэффициентами, не всегда верны для задач с переменными коэффициентами.Задача 9.15. Исследуйте схему Штермераyn+i-2yn+ yn^Iдля приближенного решения задачи Коши для уравнения (9.19).9.4.
Задачи133Задача 9.16. Рассмотрите схему Рунге—Куттатvn+i - vnто1= - (к, + 2к2 + 2fc3 + fc4),6где*i=f(tn,yn,vn),+ ^,yn +k2 = f(tn^vn,vn+l-k^j,*з = /(*„ + T-,yn + T-vn + T-kuvn + ^ k 2 ) ,+ T,yn + Tvn + ^k2,v" + kXh = f(tnдля решения задачи Коши для уравнения второго порядкаd2u(du\«(0) = «0, f(0) = *°.Глава 10Краевые задачидля обыкновенныхдифференциальных уравненийНаиболее важным классом краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений являются задачи для уравнения второгопорядка. Отмечены основные подходы к построению дискретныханалогов краевых задач с различными граничными условиями.Рассмотрены вопросы сходимости приближенного решения к точному и вычислительной реализации на основе использованияпрямых методов линейной алгебры. Помимо уравнений второго порядка кратко обсуждаются краевые задачи для модельногообыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка.
Основное внимание уделяется разностным методам приближенного решения краевых задач.10.1. Краевые задачиВ качестве базового рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядкаd (du\- — ( f c ( x ) — ) +9(z)« = / ( * ) , 0 < х < 1(10.1)ax \ax Jс переменными коэффициентамиk(x) > к > 0, q(x) > 0.Для однозначного определения неизвестной функции и(х) уравнение (10.1) дополняется двумя фаничными условиями на концах отрез-10.1. Краевые задачи135Основные обозначенияи = и(х), х € [0,1] — неизвестная функция0 = XQ,X\,...
,Хц = 1 — узлы сеткиЛ — шаг равномерной сеткиш — множество внутренних узловди> — множество граничных узловЯ — гильбертово пространствосеточных функций(•, •) — скалярное произведение в Я|| • || — норма в Яух = {у(я + h) - y(x))/h — правая разностная производнаяв точке хуш = (у(х) - у(х - h))/h — левая разностная производнаяв точке х= \(Ух + Ш) -центральная разностнаяпроизводная в точке хУхх = (Ух - Ух)/Ь — вторая разностная производнаяв точке хПка [0,1]. Задаваться может функция и(х) (фаничное условие первогоduрода), поток w(x) = -к(х)-—(х) (фаничное условие второго рода) илиахже их линейная комбинация (фаничное условие третьего рода):tt(0) = /i,,и(1) = ю ,- f c ( 0 ) £ ( 0 ) = /ib-k(0)(10.2)fc(l)^(0du— (0) + <rM0) = in,UX= /*2,duк(1) — (1) + а2и(1)=ц2.(Ю.З)(10.4)CLXЭллиптические уравнения второго порядка, прототипом которых является уравнение (10.1), используются при моделирование многих физикомеханических процессов.136Глава 10.
Краевые задачи для дифференциальных уравненийВ задачах с разрывными коэффициентами (контакт двух сред) формулируются дополнительные условия. Простейшие из них (условие идеального контакта) для уравнения (10.1) связывается с непрерывностьюрешения и потока в точке контакта ж = х*:к{х),Их)] = 0,Kduтх= 0,х = х*,где использованы обозначения[g(x)]=g(x +0)-g(x-0).Отдельного рассмотрения заслуживают задачи с несамосопряженнымоператором, когда, например,du \dud ([к(х)—)+v(x) — +q(x)udx Jdxdx \= f(x),0<x<l.(10.5)Уравнение конвекции-диффузии (10.5) является модельным при исследовании процессов в механике сплошной среды.При описании деформаций пластин и оболочек, задач гидродинамики математические модели включают эллиптические уравнения четвертого порядка.
Их рассмотрение необходимо начать с краевой задачидля обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка.Простейшим такой задачей является задача для уравнения,4^ ( х ) = /(х),0<х<*.(10.6)В этом случае задаются по два граничных условиях на концах отрезка.Например, уравнение (10.6) дополняется условиями первого рода:u(Q) = fiuu(l) = fi2,(10.7)dudu-— (0) = iv,, - ( 0 = ^2(Ю.8)axaxПри формулировке других типов краевых задач для уравнения (10.6)в граничных точках могут участвовать вторая и третья производные.13710.2. Численные методы решения краевых задач10.2.
Численные методы решения краевых задачПри построении вычислительных алгоритмов для приближенного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравненийосновное внимание уделяется вопросам аппроксимации уравнений, краевых условий и условий сопряжения для задач с разрывными коэффициентами.
Проводится исследование точности приближенного решенияв различных нормах, обсуждаются особенности прямых методов решениясеточных уравнений для рассматриваемого класса задач.10.2.1. Аппроксимация краевых задачОбозначим через ш равномерную, для простоты, сетку с шагом h на интервале [0, /]:ш = {х | х = Xi = ih,t = 0 , 1 , . . . ,N,Nh = l},причем ш — множество внутренних узлов, а дш — множество граничныхузлов.Будем использовать безындексные обозначения, когда « = «,- =и(ж,). Для левой разностной производной имеемWi-u,_iU1^-lTdu,=чh d2u,iXi)Tx„,<-2^{Xi)+0{h)-Тем самым левая разностная производная и г аппроксимирует первуюduпроизводную — с первым порядком (погрешность аппроксимации 0(h)dxв каждом внутреннем узле) при и(х) € С(2)(П).
Аналогично для правойразностной производной получими,+ | - и ,duhd2u,Л/ ,2чДля трехточечного шаблона (узлы ж,_|,х^,ас<+| ) можно использоватьцентральную разностную производную:_ u, + | - U j _ ,duh2 d\J«S = — £ — = -<«,) + у -£*<*) + 0(h ),138Глава 10.
Краевые задачи для дифференциальных уравненийduкоторая аппроксимирует производную — со вторым порядком при и(х) €ахС (3) (П).2duДля второй производной —j1 получимdxих - щщ+\ - 2«, + м,_1иXXft2Этот разностный оператор аппроксимирует в узле х = ajj вторую производную со вторым порядком при и(х) € С^ (0,1).Для внутренних узлов сетки аппроксимируем дифференциальныйоператорCu=--^(k(x)~)+q(x)u,dx)xe(0,I)(10.9)с достаточно гладкими коэффициентами и решением разностным операторомLy=-(ayi)x+ cy, хеш.(10.10)Для аппроксимации со вторым порядком необходимо выбрать коэффициенты разностного оператора так, чтобыai+[ ~ aidkftdx, 2(10.11)= *(*,-) + О (Л 2 ),(10.12)(Xi) +Л0(h2),Ci = q{Zi) + 0{h2).(10.13)В соответствии с (10.13) положим, например, с* = д(х<), а условиям (10.11), (10.12) удовлетворяют, в частности, следующие формулыдля определения а,:<Ч = *»-1/2 = H*i - 0,5ft),Jkj_i -f- ki\fc,_iЛ, У10.2.
Численные методы решения краевых задач139Метод формальной замены дифференциальных операторов разностными может использоваться и при аппроксимации граничных условий.Для построения разностных схем в задачах с разрывными коэффициентами необходимо ориентироваться на использование интегро-интерполяционного метода (метода баланса).При построении разностных схем естественно исходить из законов сохранения (балансов) для отдельных ячеек разностной сетки.В уравнении (10.1) выделим контрольные объемы в виде отрезковж,-_1/2 < х < х,+\/2, где ж,_|/2 = (г - l/2)ft. Интегрирование уравнения (10.1) по контрольному объему даетZ.+1/2gi+i/2-Ф-1/2+ / q(x)u(x)dx=Z|-l/2Jf(x)dx.«1-1/2Для получения разностного уравнения из этого балансного соотношения необходимо использовать те или иные восполнения сеточныхфункций.
Само решение будем искать в целых узлах (у(х), х = ж<), а потоки — в полуцелых (q(x), x = a;,+i/2)- Это приводит нас к разностномууравнениюЬу = (р, хеш,(10.14)в котором оператор L определен согласно (10.10) с коэффициентами-1-шCidx(10.15)- iI / f W*i-l/2Правая часть уравнения (10.14) есть*i+l/2Vt =h J^d x'*|-|/2Аналогично проводятся аппроксимации уравнения (10.1) и на неравномерных сетках.140Глава 10. Краевые задачи для дифференциальных уравненийПостроение дискретных аналогов краевых задач для уравнения (10.1)может осуществляться на основе метода конечных элементов. Используя простейшие кусочно-линейные элементы, представим приближенноерешение в видеN-IхУ( )= ЛyiWt(10.16)№'1=1где пробные функции Wi(x) имеют вид( о,X v, *C(— | j(а; - ж,-,)h(xi+i - х)hti»i(x) = <X{—\ <z X ^z X^X% < X ^1 о,X >Xj+uXi+\.Коэффициенты разложения в методе Галеркина определяются из системы линейных уравнений, которую мы получаем после умноженияисходного уравнения (10.1) на функцию Wi(x) и интегрирования по всейобласти.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
