А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (1113878), страница 14
Текст из файла (страница 14)
е.K(x,s) = K(s,x),ь ь/ / К(х, s)u(x)u(s) dxds>0,аV«(a;) £ 0.аВ методе Келлога по заданной функции ш°(х) строятся функцииь]„*+•/{х)=[ K(x,s)wk(s)ds,fc= 0,l,....Покажите, что для наименьшего характеристического числа имеют местоприближенные формулыV-'ll^1 ~1II HI 1^1Задача 8.3. Определим fc-oe итерированное ядро с помощью рекуррентных соотношенийKt(x,s) = K{x,s),ьKt(x,s) = JK(x,t)Kk-](t,s)dt,aЧислоAk = JKk(x,x)dxfc= 2,3,....116Глава 8.
Интегральные уравненияназывается fc-ым следом ядра K{x,s). Покажите,что при достаточнобольших к для наименьшего характеристического числа справедливоприближенное выражение (метод следов)|А,|-'Л2кАгк+\Задача 8.4. Рассмотрите алгоритм решения интефального уравненияФредгольма второго рода (8.2) на основе аппроксимации приближенного решения кубическим сплайном.Задача 8.5. Рассмотрите возможности аппроксимации ядра вырожденным ядромK(x,s)Ъ^М^А8)на основе разложения в ряд Тейлора по одной и двум переменными построения интерполяционного полинома для функции одной и двухпеременных.Задача 8.6. Получите оценку пофешности в Li(a,b) приближенногорешения интефального уравнения Фредгольма второго рода при заменеядра вырожденным.Задача 8.7. Исследуйте сходимость метода простой итерации (8.7) в равномерной норме (в С[а, Ь]).Задача 8.8.
Получите условия сходимости итерационного метода (8.17)для приближенного решения интефального уравнения (8.2), ядро которого имеет слабую особенность:K(x,s) =(a:';\х — s 7| G ( * , « ) | ^ A f = const,0<7<1-Задача 8.9. Для приближенного решения интефального уравнения Фредгольма второго рода (8.2) используйте итерационный метод аналогичныйметоду Зейделя для решения систем линейных алгебраических уравнений.Установите условия сходимости такого метода.8.4. Задачи117Задача 8.10. Рассмотрите итерационный метод Ньютона для приближенного решения нелинейного интегрального уравнения (уравнения Урысона)ьи(х) - I K(x,s,u(s)) ds = /(х), x€[a,b].Задача 8.11.
Постройте алгоритм приближенного решения интегральногоуравнения Вольтерра первого рода (8.6) методом квадратур и рассмотритеусловия его применимости.Задача 8.12. Постройте иллюстративный пример показывающий неустойчивость решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода (8.4) к малым (в Ьг(а,Ъ)) возмущениям правой части.Задача 8.13.
Примените метод регуляризации Тихонова для решенияинтегрального уравнения Вольтерра первого рода (8.6).Задача 8.14. Получите уравнение Эйлера в методе регуляризации Тихонова (8.16) для решения задачи (8.14), (8.15) при условии, что сглаживающийфункционал имеет видUy) = \\Ay-f\\2 + a(\\y\\2 + qdx >Задача 8.15. Пусть в (8.4) ядро K(x,s) симметрично и положительноопределено. Покажите, что итерационный методи + (х) — и 1х\ Гi-ii-i + / K(x,s)uk(s)ds = f(x)aсходится при0 < т <2А,,где Ai — наименьшее характеристическое число.Задача 8.16.
Покажите, что в условиях предыдущей задачи при решенииинтегрального уравнения (8.4) с неточной правой частью можно согласовать критерий останова (число итераций) с погрешностью правой части 6для того, чтобы получить приближенное решение, сходящееся при 6 —» 0к точному.Глава 9Задача Кошидля обыкновенныхдифференциальных уравненийВ вычислительной практике часто приходится иметь дело с задачами с начальными данными для системы дифференциальныхуравнений. Для приближенного решения таких задач традиционно широко используются методы Рунге—Кутта, связанные с вычислением правой части системы уравнений в некоторых промежуточных точках.
Второй большой класс методов составляютмногошаговые методы, когда в вычислениях участвуют три и более расчетных слоев. Отдельно выделяются задачи, для которыхрешение имеет разномаштабные гармоники (жесткие системыобыкновенных дифференциальных уравнений).9.1. Задачи с начальными условиямидля систем обыкновенныхдифференциальных уравненийРассматривается задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравненийdu. (t)-^-=f,(t,uuu2,...,um),и,(0) = u°,, i=t>0,\,2,...,m.(9.1)(9.2)9.2.
Численные методы решения задачи Коши119Основные обозначенияи -= {«1, «2, ...,ит} -f = {/. / 2 • ••> Jm) ШТ = {tч = пт, п = 0,1,...}- т>0-уп = yitn) - -вектор неизвестныхвектор правых частейравномерная сетка по tшаг сеткиприближенное решениепри t = t„С использованием векторных обозначений задачу (9.1), (9.2) можемзаписать как задачу Коши для одного уравнения:du(i)-±L = /(*,«),О 0,u(0) = u°.(9.3)(9.4)В задаче Коши по известному решению в точке t = 0 необходимонайти из уравнения (9.4) решение при других t.9.2.
Численные методы решения задачи КошиОтмечаются классические методы Рунге—Кутта и многошаговые методырешения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальныхуравнений, обсуждается специфика численного решения жестких систем.9.2.1. Методы Рунге—КуттаПри построении численных алгоритмов будем считать, что решениеэтой дифференциальной задачи существует, оно единственно и обладаетнеобходимыми свойствами гладкости.При численном решении задачи (9.3), (9.4) будем использоватьравномерную, для простоты, сетку по переменной t с шагом т > 0:uT = {t„ = nT, n = 0,l,...}.Глава 9. Задача Коши для дифференциальных уравнений120Приближенное решение задачи (9.3), (9.4) в точке t = t„ обозначим уп.Метод сходится в точке tn, если \уп - u(t„)\ —• 0 при г —> 0. Методимеет р-ый порядок точности, если \уп -u(t„)\ = 0(тр), р > 0 при т —• 0.Простейшая разностная схема для приближенного решения задачи (9.3), (9.4) естьy"+T"y"=g/(<n+i,y"+')+(t-g)/(«..У")." = 0,1,....(9.5)При <т = 0 имеем явный метод Эйлера и в этом случае разностная схемааппроксимирует уравнение (9.4) с первым порядком.Симметричная схема (о- = 0,5 в (9.5)) имеет второй порядок аппроксимации.
Эта схема относится к классу неявных — для определенияприближенного решения на новом слое необходимо решать нелинейнуюзадачу. Явные схемы второго и более высокого порядка аппроксимацииудобно строить, ориентируясь на метод предиктор-корректор. На этапепредиктора (предсказания) используется явная схемаУп+1—Уп...чта на этапе корректора (уточнения) — схема~^= 5(/(<n+by"+')+/0n,J/n)),п = 0,1,....В одношаговых методах Рунге— Кутта идеи предиктора-корректорареализуются наиболее полно. Этот метод записывается в общем видет=1>*Й(9.6)гдеki = f(tn+ CiT,yn + T^2aijkXi=I,2,...,e.(9.7)Формула (9.6) основана на s вычислениях функции / и называется sстадийной.
Если a,j = 0 при j ^ i имеем явный метод Рунге—Кутта.Если a,j = 0 при j > i и о„ Ф 0, то к{ определяется неявно из уравненияk, = flt„+CiT, у" +т^2a kij j + Ta«ki) •О таком методе Рунге—Кутта говорят как о диагонально-неявном.9.2. Численные методы решения задачи Коши121Параметры Ь,-,с,,о,_, определяют вариант метода Рунге—Кутта. Используется следующее представление метода (таблица Бутчера):С\аи«12• •«IsС2«21022• •0.1s««1а,2• •O.SSЬ|h• •ъ,(9.8)Ъ*с,Одним из наиболее распространенных является явный метод Рунге—Кутта четвертого порядка:fc,=/(*n,2/n),k2 = f(tn + T-,yn +b = f(tn + \,yn + т у ) ,T^j1кЛ = f(tn +т,уп+ тк3),-— = -(fc, + 2fc2 + 2*з + кА).тоВ компактном представлении (9.8) этого метода имеемЬ*01—21—21012000001)01— 020 116130130016Применяя метод Рунге—Кутта (9.6), (9.7) к решению задачи Кошидля уравненияdu(t)= №,dtполучимJ/"+1t>Q,-y" = ^ ; r b 1 / ( ( n + c r ) .Глава 9.
Задача Коши для дифференциальных уравнений122Правую часть можно рассматривать как квадратурную формулу для правойчасти равенстваИсследование устойчивости используемых разностных схем при решении задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений проводится чаще всего на модельном одномерном уравненииdv.lt)где А — комплексное число.
Для конкретного численного метода рассматривается множество всех точек комплексной плоскости ц = тХ,для которых имеет место устойчивость. Для явного метода Эйлера областьустойчивости представляет круг единичного радиуса с центром в точке(-1,0). Метод называется Л-устойчивым, если область его устойчивостисодержит полуплоскость Re р. < 0. При Re A < 0 устойчиво решение уравнения (9.9) и поэтому для этой задачи условие ^-устойчивости означаетабсолютную устойчивость (устойчивость при всех т > 0).9.2.2. Многошаговые методыВ методах Рунге—Кутта в вычислениях участвуют значения приближенного решения только в двух соседних узлах у11 и j / n + l — один шагпо переменной t.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
