А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (1113878), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Краевые задачи для эллиптический уравнений166Соответствующие собственные значения и собственные функции обозначим A*, v<*'(a;i),fc= 1,2,...,JV| - I:4А =2k^i!п* лГ -27Г'„«(«,) = JIri„*5!L,*= 1,2ЛГ.-1.Будем искать приближенное решение задачи (11.10), (11.11) в видеразложения:JV.-Iу (x) = 5 > w ( s 2 ) »<*>(*.),xGw.(11.16)Пусть ip^(x2) — коэффициенты Фурье правой части:ЛГ.-1Ч>т(*г)=52<р(Ф1к)(*\)Ь.(11.17)Для определения с^к\х2) получим трехточечные задачи:- с ^ - А с ^ / ^ ) ,4*»= 0, 41=0.*2€*2,(11.18)(11.19)Разностная задача (11.18), (11.19) при каждом Л = 1,2,... ,ЛГ|-1 решаетсяметодом прогонки.Таким образом метод Фурье основан на определении собственныхфункций и собственных значений одномерной сеточной задачи, вычислении коэффициентов Фурье правой части согласно (11.17), решении задач(11.18), (11.19) для коэффициентов разложения и, наконец, решениезадачи определяется по формулам суммирования (11.16).Эффективные вычислительные алгоритмы метода разделения переменных связаны с быстрым преобразованием Фурье (FFT).
В этом случаеможно вычислить коэффициенты Фурье правой части и восстановитьрешение при затратах Q = 0(N]N\\ogN\). Для задач с постояннымикоэффициентами можно использовать преобразование Фурье по обоимпеременным (разложение по собственным функциям двумерного сеточного оператора L).11.2. Численное решение краевых задач167Для приближенного решения многомерных сеточных эллиптических задач с переменными коэффициентами используются итерационныеметоды.
Основные понятия теории итерационных методов решения систем линейных уравнений обсуждались выше. Здесь мы отметим тольконаиболее важные особенности итерационного решения краевых задачдля эллиптических уравнений, которые касаются выбора оператора В (переобуславливателя) при переходе на новое итерационное приближение.Для разностной задачи (11.4), (11.5), (11.10) запишем соответствующую систему линейных уравненийAy = tp(11.20)для нахождения сеточного решения у(х), х€ш. Здесь А рассматриваетсякак линейный оператор, действующий в конечномерном гильбертовомпространстве Я = 1*2(ш), а <р(х) — заданный элемент Н.Для приближенного решения уравнения (11.20) сА = Л* > 0будем использовать двухслойный итерационный метод^- + Аук = <р, fc = 0 , l , .
. . .В^(11.21)Tk+\Особенности итерационных методов для решения эллиптических задачпроявляются при построении оператора В.Пусть априорная информация об операторах В и А задана в видедвухстороннего операторного неравенства•ъВ^А^ъВ,7.>0,(11.22)т. е. операторы В и А энергетически эквивалентны с постоянными энергетической эквивалентности 7«. а = 1,2. В итерационном методе (11.21)с оптимальным значением итерационного параметраТоЪ +72для числа итераций К, необходимых для достижения точности е, справедлива оценкаК>К0(е)=^,(11.23)168Глава 11. Краевые задачи для эллиптический уравненийгде721+£При использовании чебышевского набора итерационных параметрови для метода сопряженных градиентов имеем1п(2е-')К2К0(е)= , : .
. / ,In?,(П.24)гдеДля явного итерационного метода В = Е пъ силу (11.14), (11.15)(А = L) для постоянных энергетической эквивалентности получим7l=KM0-|=O(l),72= Af, =0(|ЛГ 2 ).В методе простой итерации при оптимальном значении итерационногопараметра из (11.23) получимW = o (j l In l).Для метода сопряженных градиентов оценка (11.24) дает*° ( £ ) = o GH)-(п 25)-При применении попеременно-треугольного итерационного методаиспользуется разложениеА = А\ + А2 = А* > О, А\ = АХи оператор В задается в видеB = (G + vAi)G-1(G + vA2),(11.26)где G = G* > 0. При априорной информацииA>6G,6>0,А1С1А2^—А4(11.27)16911.3.
Упражненияоптимальным является выбор параметра2i/ = u0 =причем для числа итераций верна оценкак>к ы=° шй,пЬ'=i(,U8)при использовании чебышевского набора итерационных параметров илиметода сопряженных градиентов.Для эллиптических уравнений второго порядка имеет место следующая зависимость от шагов сеткиб = о(\), д = о(|лг2)Поэтому для числа итераций попеременно-треугольного итерационногометода получимК0(£) =о(-1=1п-\Оптимизация метода достигается за счет выбора оператора D = D* > 0.11.3. УпражненияПриведены примеры аппроксимации эллиптического уравнения второгопорядка, исследуются свойства разностной задачи и обсуждаются вопросыитерационного решения сеточных эллиптических задач.Упражнение 11.1.
Постройте схему повышенного порядка аппроксимациидля решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.Решение. Для разностного оператора второй производной по отдельномунаправлению имеемГлава 11. Краевые задачи для эллиптический уравнений170и поэтомуд2и!I22д2иh] д4иh\ b*u** ~~дхartЦ ~~дх1~пд?,"пЩ' Т1Щ '"li'dxj+ и'>'На решениях уравнения (11.2) получима4ц _ э 4 ц а 2 /~Щ ~ дх]дх\+э 4 ц _ д4и а 2 ;дх2'+'дх\ ~ дх]дх\Щи тем самым__^M_9^t-UilXl-US2X2-дх,h] + h\дх,+пд\дх2дх2+Используем для смешанной производной аппроксимациюЩЩ* Ui,x,i2Xlи приходим к разностному уравнениюЪ\ + h\~ Ух,х> - Ух2х2^J— Ух1Х>х2х2 = <Р W 1, ч h\hi<p(x) = f (x) + —/*,*, + ^МхуX6W,(11.29)Схема (11.6), (11.29) аппроксимирует краевую задачу (11.2), (11.3) с четвертым порядком.Упражнение 11.2. Рассмотрите аппроксимацию эллиптического уравненивторого порядка со смешанными производнымиMx)t^:( S)=/{x) хепа,р=\в которомкар(х) = к/за{х), а, 0 = 1,2.' '11.3.
Упражнения171Решение. Рассмотрим разностную схемуLy=J2L^y= 9(x),хеш,в которойПри а = р имеемФормула Тейлора дает нам^=flu^ft2(х)#2« . .-у^!_..,.(х)+0(^Подстановкой v = fc^Mjj получаем,02)д (k2d18u\(ft,du\д2 (du\,, ,.Аналогичные выкладки приводят кП2>9 /0и \ft,_ * * ( » • • ) + о2 ax,x2\fli2/02 /( й 0vи поэтомул=-£«) + о ( | Л | , ) -0« \'172Глава 11. Краевые задачи для эллиптический уравненииТем самым рассматриваемая разностная схема имеет второй порядокаппроксимации.Упражнение 11.3. Покажите, что для решения задачи (П.7)-( 11.10) приD(x) > 0, х € ш справедлива оценкаIM*)IL <Ф)D(x)Решение.
Рассмотрим сеточную функция (мажоранту) ад(х), котораяопределяется как решение задачиSw(x) = \tp(x)\,w(x) = 0,хеш,х € дш.Пусть w(x) > 0 принимает максимальное значение в некотором узлеа;* б о). В этом узле в силу (11.8), (11.9) имеемD(x>(x*)- £B(x;t)(»(i)-»(*•))=\ф%f€W(x-)Отсюда следуетD(x>(x*) < Ых')\и тем самымНо функция м/(х) является мажорантой для рассматриваемой задачии поэтому приходим к доказываемому утверждению.Упражнение 11.4. Пусть расчетная область G лежит в прямоугольнике Q,в котором введена сетка ш. Граница G состоит из отрезков, соединяющихузлы этой сетки.
Получите оценки снизу и сверху для разностного оператораЛапласа в области G для функций, обращающихся в нуль на 8G.Решение. Подмножество узлов, лежащих в G обозначим w(G) и рассмотрим разностный операторLy = -у*,*, - уХгХ2 = <р{*), х € w(G),17311.3. Упражненияна множестве сеточных функцийу(х) = 0,х G дш{в).Доопределим функцию у, положиму(х)йЫ-/ywх е ш'~ \ о,^'х е w\w(G).В силу такого продолжения сеточной функции при использовании обозначений(«>У)«(0= Х^ v(x)y(x)/i,/i2x€w(G)получимllell = IHUo'( L ^y) = (£».»)»«?)•Для сеточной функции заданной в П имеет местогде8*84л4Аналогичная оценка*Н»|£(в)<(£»'»)-(о)<д11И1иоимеет место и для разностного оператора в области G.Упражнение 11.5.
Рассмотрите попеременно-треугольный метод для итерационного решения разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассна (11.10), (11.11).Решение. Разностный оператор Лапласа представляется в видеA = AI+A1=A*>0,гдеА\У=-гУх< + -гУх2,П\Й2Al = AltГлава 11. Краевые задачи для эллиптический уравнений174Будем использовать вариант попеременно-треугольного метода, когда(см. (11.26))В = (E + vA\){E + vA2).Оптимальное значение параметра" = *= Шгде в соответствии с (11.27)А^бЕ,Д6>0,A , J 4 2 S S — A.4Здесь 6 есть минимальное собственное значение оператора Лапласа,которое равно6 = -^ sinftчith\и; ц*т~ и2+- : _ 2 1Г/&2Принимая во внимание, что(Ay,y) = \\Vy\\2>\\yZl\\2+\\yX2\\\получим(А]А2у,у)y*ih\= \\А2у\\2+y*i\h2 j^т.е.л4h24h\Подстановка в (11.28) дает оценкуО 29 2К > К0{е) « Л г In vft£при решении задачи в единичном квадрате на квадратной сетке /ц =h2=h.Упражнение 11.6.
Пусть в итерационном методе (1121)А — А\ + А2, А\А2 = А2А\,6аЕ^Аа^АаЕ,Аа = А'а,6а>0,о =1,2,17511.4. Задачиа оператор В представлен в факторизованном видеВ = (E + i/Ai)(E + uA2).Найдите оптимальное значение параметра v.Решение. Скорость сходимости определяется постоянными 7 ь 72 в неравенстве (11.22). Поэтому сначала найдем их и выберем и из условиямаксимума отношения 7i/72В силу перестановочности операторов Аа, а — 1,2 имеемВ = Е- v(A\ + А2) + и2А^А2 + 2v(Ax + A2) == {Е- vA})(E - vA2) + 2vAи поэтому 72 = l/(2i / ). Пусть6 = тт6а,Д = тахДа,аатогдаB = E + v(At + A2) + v2AlA2 ^ (-+v+ v2A)A.Следовательно<5~~ 1+1/(5 + и26Аи максимум 7i/72 достигается при711v-и0у/Кб'Рассматриваемый вариант соответствует использованию метода переменных направлений в сеточной эллиптической задаче с разделяющимисяпеременными.11.4. ЗадачиЗадача 11.1.
Уравнения Пуассона в круговом цилиндре при использовании цилиндрических координат записывается в виде1 д ( ди\ _}_д^ид2и"г ~д~г V fr) ~7*Ъ^~~д?~ Hr^>z>-176Глава 11. Краевые задачи для эллиптический уравненийПостройте разностную схему для этого уравнения с граничными условиями первого рода на поверхности цилиндра.Задача 11.2. Постройте разностную схему для решения краевой задачи(11.1), (11.3) с условиями сопряжения при Х\ = х\:и(х\ + 0, хг) - и(х\ - 0, х2) = О,дидиfeX— (х"\ + °>х2) - k — (х* - М г ) = Xfo)дх\ох\Задача 11.3.
Пусть в прямоугольнике ft с равномерной сеткой ш проведено разбиение на треугольники диагоналями от узла (i,j) к узлу(г + 1, j + 1). Постройте для задачи (11.2), (П.З) схему конечных элементов с использованием непрерывных, линейных на каждом треугольникефункций.Задача 11.4. Рассмотрите аппроксимацию уравнения Пуассона (11.2)с условиями (11.3) в области с криволинейной границей с использованиемнеравномерной вблизи границы сетки.Задача 11.5. Сформулируйте достаточные условия выполнения принципамаксимума для схемы повышенного порядка аппроксимации для задачи(11.2), (11.3).Задача 11.6.
На основе принципа максимума проведите исследованияскорости сходимости для разностной схемы для уравнения (уравнениеПуассона в круге)1 д ( ди\1 д2им1.Лс граничными условиямидиг—0orи условиями периодичностиu(r, ip) = щ(г, 27г + tp),0 < г < R,0 ^ <р < 2т.11.4. Задачи177Задача 11.7. Получите оценки снизу и сверху для разностного оператора(см. (11.29))h] + h\Щ=-Ух,Х,-Ух2Х2ГХУх|Х,Х212,Х € Ш ,определенного на множестве функций у(х) = 0, х £ ш.Задача 11.8. Постройте схему повышенного порядка аппроксимации длязадачи Неймана для уравнения Пуассона:«=iах"- 5a i-l = /*- *2).<^ и<2Ъ /чsox\-=A*+W&и(2Ь0<x2</2,чЗадача 11.9. Аппроксимируйте граничные условия третьего рода«9м-к(0,х2)—+ <т(г2)и(0,Х2) = р(х2),ах\заданное на части фаницы прямоугольника П (на других участках границы — граничные условия первого рода), при численном решенииуравнения (11.1).Задача 11.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
