А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (1113878), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Нестационарные задачи математической физикии поэтому\\А"В-Щ*\\А-^\\= Ы\\Л_Х.Тем самымПринимая во внимание, что1И1^11/11. + 1К11, = 1К11. + 11Л-нполучаем\\^%<\\ААЧА\А-*+Т.ТЫ\\А->*=|С учетом (12.52) приходим к доказываемой оценке (12.51).Упражнение 12.2. Методом энергетических неравенств докажите априорную оценку устойчивости по начальным данным (12.30) трехслойной схемы(12.27), (12.28) при выполнении операторных неравенств (12.29).Решение. Положимvn = \(yn + yn-y),v>n =yn-yn-1и с учетом тождествау" = V4+ l+ 2у» + у"-1) - V + 1 - 2J," + у""*)4перепишем схему (12.28) в видеBt^L+ж*"' - *) - АЦ»* - <*») + А^±^- = 0.Домножим скалярно это уравнение на2(vn+] - vn) = u>n+l+w\12.3. Упражнения197что дает равенство±-(B(wn+l+w"),wn+l+wn)(R(wn+]-wn),wn+i+wn)~+- l-(A(wn+l - wn),wn+,+wn)+ (A(vn+l +уп)У+1 - vn) = 0.Для самосопряженных операторов R и А и неотрицательного оператора В (В ^ 0) отсюда следует неравенствогде с учетом введенных обозначенийn' • 'n+.
. <+y» + ' ni ),y"».п\+i+y.."+1£n+i = -(A(y)+ (R(yn+] - yn),yn+i+- у") - 1(Л(г,» +| - „»). j,» + ' - у").Это и есть доказываемая априорная оценка (12.30).Упражнение 12.3. Постройте двухслойную разностную схему повышенногопорядка аппроксимации для решения уравненияд2иди=~di Ш + J:{x,t)'0<х<10<t T>О 2 - 53 )^с условиями (12.2), (12.3).Решение. Будем рассматривать схему с весами и оптимизацию порядка аппроксимации проведем за счет выбора веса. Уравнению (12.53)поставим в соответствие разностную схемуУ +"' ^= oyl? + (1 - o)ynix + <рп,п = 0,1,...
.ТПогрешность аппроксимации на решениях уравнения (12.53) естьп |и+_ м"ф" = * « £ ' + (1 - о)ч%х+ <рп.гПерепишем ее в более удобном видеГ - !«•+4)+(" - 1 ) , < ^ - ^+...198Глава 12. Нестационарные задачи математической физикиС учетомИд2и+h2 04м. 4.+ (Л)- = *? Т2^ °'и п + | = а(я!, tn + 0,5т) + ~ ( * . *п + 0,5т) ++ у - ^ ( М п + 0,5т) + О(т3),и" = «(*, *„ + 0,5т) - - — ( « , « „ + 0,5т) +т2 02и,+ у - ^ 0 М „ + 0,5т)+О(т 3 ),i ( « n + l + и") = u(x,tn + 0,5т) + у ^ f ( * Л + 0,5т) + 0(т 3 ),«"+'-«»— т —02«ч={х tn + 0,5т) +-ь¥ '2v{т)°на решениях уравнения (12.53) получим(12.54)42+ - ^ Г ( * А + 0 , 5 т ) + О(/1 +т ).Принимая во внимание, что03иах 2 0<tfdS»12 9ж4d2fах2'из (12.54) получимЛ2 # 2 fV" = *>" - /(х,*„ + 0,5т) - - -^(х,+tn + 0,5т)+(('-0 T+ n)rai^ +0 ^> +o ^ +Tl )-Выбирая212т'12.3.
Упражнения199h2 d2f+ 0,5т) + — д ^ ( * Л + 0,5т),<pn = f(x,tnполучим ip" = 0(hA + T2).Упражнение 12.4. Покажите, что если в разностной схеме с весами (12.40),(12.41) оператор А = А* > 0 и1 +е<г^—21n—jr,т||Л||е = const,(12.55)то верна априорная оценка устойчивости по начальным данным и правойчастиll^+,lli<Nli+^£4Wla.(12.56)гдеА = (Е + етА)А,\\y\fj = \\у\\\+°т\\Ау\\\Решение. Умножая уравнение (12.40) на оператор В = Е+атА, получимразностную схемуВ + Ау = ё,В-В2,ip-Btp.При ограничениях (12.55) справедливо неравенствоВ^^-^тА.(12.57)Это следует изВ-1+еттА = (Е+атА)(Е+ (ОТ~)тЛ)^> (Е + отА) I ~ + (<т - ~^\ Л А^О.При выполнении неравенства (12.57) имеет место (см.
(12.24),(12.25)) априорная оценка в Н^.200Глава 12. Нестационарные задачи математической физикиТак как ||y>*||jj-i = ||v*|| • т омыприходим к искомой оценке (12.56).Упражнение 12.5. Сформулируйте условия устойчивости явной трехслойнойсхемы второго порядка аппроксимации по времени и пространству для задачи(12.3), (12.5), (12.6).Решение. В рассматриваемом случае разностное уравнение имеет виду " + | - 2 у " + у"- 1 , Л „„+ Ау =<р ,п=1,2,...,где разностный оператор А определен согласно (12.37).
Схема записывается в каноническом виде (12.26) при1R = -гЯ,та условия устойчивости (12.29) приводят к следующим офаничениямна шаг по времени:В = 0,4г ^,И1Принимая во внимание (12.39), отсюда получаем4/т < —=/4\-i/2max klx)h.Тем самым устойчивость явной схемы обеспечивается при т = 0(h).Упражнение 12.6. Покажите, что схема переменных направлений (12.46),(12.47) при <р„ = 0,5<рп, а = 1,2 сходится со скоростью 0(h7 + г 2 ).Решение.
Запишем соответствующую задачу для погрешности. Положим,как обычно, zn = у" - u(x,t„) и пусть z n + l / 2 = y n + l / 2 - u(x,t„). Выборточного решения, с которым связывается j / n + 1 ^ 2 , проведем позднее. Задачадля пофешности имеет вид,п+|/2Z~Z0,5rЛrn+lfгп+ A ( , ) z n + , / 2 + A(2)zn = tf,_n+l/2li0,5r+ Awzn+'l2+A"+ 1= fn2-20112.3. УпражненияДля погрешности аппроксимации получим0,5т=_""+'-ЙП _Л (,) й ™_Л(2,и„+. +»0,5тПоложим2Ч' 4В этом случае следует* - я=-цт;2;+ц -A<V+I-«•>=о.0,5тКроме того имеемtf = - А С > Ц+ « _ Л (2) и » + ^ _ U^ U _На решениях уравнения (12.7)tf = # = 0(т2 + |А|2).Тем самым, при специальном определении промежуточного решения разностная схема переменных направлений (12.46), (12.47) с <р"а) = 0,5у>„,а = 1,2 имеет второй порядок аппроксимации по времени и по пространству.Для исследования точности рассмотрим сеточную задачу для погрешности.
Используя априорную оценку для схемы переменных направленийпри точном задании начальных условий получим(Е+Т-А^г^\\^^{Ш+ т\)-*=оТем самым схема переменных направлений сходится со скоростью0(т2 + \h\2) в соответствующей норме.202Глава 12. Нестационарные задачи математической физики12.4. ЗадачиЗадача 12.1. Докажите, что для оператора С = С* > 0 при т > 0неравенства1И1 = 1И-тС||<р,ттэквивалентны.Задача 12.2.
Покажите, что условие (12.20) необходимо и достаточнодля устойчивости разностной схемы (12.13), (12.14) в Яд, еслиА = А" > 0,В = В* > 0.Задача 12.3. Методом энергетических неравенств докажите оценку устойчивости по начальным данным и правой части (12.25) для разностнойсхемы (12.10), (12.11), когда А = А* > 0, а для оператора В справедливонеравенство (12.24).Задача 12.4. Пусть операторы А к В удовлетворяют условиямВ ^ еЕ + 0,5тА,А = А* > 0,где е — любое положительное число. Тогда для разностной схемы (12.10),(12.11) верна априорная оценка\\уП+1и\Ы\>Т£ЪУк\\2"•*=оЗадача 12.5. Запишите трехслойную схему (12.26) с самосопряженнымиоператорами А, В и R в виде двухслойной векторной схемыуп+1 _ упВт+АУ П = Ф",п=1,2,...20312.4.
Задачис самосопряженным оператором А при определении вектораYn = {\(yn+yn-\yn-y"-'}Задача 12.6. Покажите, что условиято- 1В + --—riOO,2g+\IR>-A>0,4g>\достаточны для ^-устойчивости трехслойной схемы (12.28) с самосопряженными операторами А, В и R.Задача 12.7. Пусть А = А* > 0, R = R* > 0 в разностной схеме (12.26),(12.27). Докажите, что приВ ^ еЕ,1R > -А,4е = constдля разностного решения верна априорная оценка (12.35).Задача 12.8. Аппроксимируйте краевые условия третьего рода (12.4) причисленном решении задачи Коши для параболического уравнения (12.1).Задача 12.9. Постройте монотонную разностную схему второго порядкаточности для решения задачи (12.1)—(12.3).Задача 12.10. Интегро-интерполяционным методом постройте разностную схему в случае, когда коэффициент к(х) имеет разрыв первого родав точке i = i ' 6 ш/, и на разрыве имеют место условия сопряженияu ( z * + 0 , t ) - u ( z * - 0 , t ) = 0,дидик—(x'+Q,t)-k—(х*-<М)= 0.Задача 12.11.
На основе принципа максимума сформулируйте условияустойчивости схемы с весами (12.40), (12.41) при численном решениизадачи (12.1)-(12.3).204Глава 12. Нестационарные задачи математической физикиЗадача 12.12. Докажите, что условиеА*+(а--JTA'A^Oнеобходимо и достаточно для устойчивости схемы с весами (12.40) ,(12.41)с несамосопряженным оператором А > 0 по начальным данным (у>" = 0,п = 0,1,...) в пространстве НА-л, т.
е. для выполнения оценки||V +, NHV||, n = o,i,....Задача 12.13. Исследуйте погрешность аппроксимации и условия устойчивости трехслойной разностной схемы с весамиГ+' + А{о1Уп+1 + (1 - <г, - а2)уп + cry""') = <р\~/п= 1,2,... ,для задачи (12.1)—(12.3).Задача 12.14. Рассмотрите двухпараметрический класс схем с весамиУ1У-+Ут2n+l+A(aiy+(l-ai-a2)yn+ayn-1)=v \n=l,2,...,для уравнения (12.5).
Сформулируйте условия устойчивости и получитеоценки устойчивости по начальным данным и правой части.Задача 12.15. Исследуйте точность разностной схемы Дугласа—Рэкфорда+ Ак 'у = <р„,V А- 'уnwт+lУ.П+1/2У.+J4<V+,-yn) = 0тпри расщеплении (12.44), (12.45) для решения задачи (12.7)—(12.9).Задача 12.16. Рассмотрите проблему аппроксимации фаничных условийпри использовании схемы переменных направлений при численном решении задачи Коши для уравнения (12.7) с неоднородными граничнымиусловиями первого рода.12.4. Задачи205Задача 12.17.
Рассмотрим двухслойную разностную схему, которая имеетканонический вид2/"+1 ~ У"„В2 - + V = ¥>", t„£u>T,тгде оператор А имеет аддитивное представление (12.44) с постояннымиоператорами А^ ^ 0, а = 1,2. Факторизованная схема соответствуетвыбору оператора В в видеВ = B\Bi,гдеВа = Е + атА{а\а =1,2.Докажите, что при а > 0,5 схема безусловно устойчива и для решенияимеет место априорная оценка||В 2 у" + 1 |Н||Б 2 /|| + ^ф*||.1=0Задача 12.18. Исследуйте точность в Ь2(шн) локально-одномерной схемы(12.44), (12.45), (12.48) для задачи (12.7)—(12.9) на основе использованияпредставления для погрешности (12.49).Задача 12.19. Получите априорные оценки устойчивости для локальноодномерной схемы с представлением правой части в виде (12.49) в равномерной норме (в Loofah))- Исследуйте сходимость в Ь^ш^) локальноодномерной схемы (12.44), (12.45), (12.48) для задачи (12.7)—(12.9).Задача 12.20.
Для задачи (12.7)—(12.9) рассмотрите схему аддитивноусредненную локально-одномерную схему—+ А~ '{(тауаа=1,2,,+ (1 - аа)у ) = <ра,п = 0,1,...,2а=1Сформулируйте условия устойчивости и получите априорную оценкус расщепленными правыми частями (12.49).Литература[1] Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г. М.
Численные методы. М.:Наука, 1987.[2J Бахвалов Н.С., Лапин А. В., Чижонков Е. В. Численные методы в задачах иупражнениях. М.: Высшая школа, 2000.[3] Березин И. С , Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Наука, 1966, т. Г,Физматгиз, 1962, т. 2.[4] Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука,1980.[5) Волков Е.А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
