А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (1113878), страница 22
Текст из файла (страница 22)
имеет место оценка (12.19) при ip" = 0. Тогдаразностная схема (12.10), (12.11) устойчива по правой части и для решения справедлива априорная оценка\\yn\R<en+]ho\\R + iZre"-k\\B~V\\R.(12.23)*=0Приведем оценку устойчивости по начальным данным и правойчасти при загрублении критерия устойчивости (12.20).Пусть А — самосопряженный и положительный оператор, а Вудовлетворяет условиюВ^^тА(12.24)с некоторой постоянной е > 0, не зависящей от т. Тогда для разностнойсхемы (12.10), (12.11) справедлива априорная оценкаHlT'll^Nll + ^ETll/lli.,.ze(12.25)*=оОценки устойчивости по правой части используются при исследовании точности разностных схем для нестационарных задач.12.2.
Разностные методы решения нестационарных задач18712.2.2. Устойчивость трехслойных разностных схемПри приближенном решении нестационарных задач математической физики наряду с двухслойными разностными схемами часто используюти трехслойные. Здесь мы формулируем некоторые основные условияустойчивости трехслойных операторно-разностных схем.Используется следующая каноническая форма трехслойных разностных схем:В У~ ^ —+ Й^ П + ' " 2уП + У"~"> +п = 1,2,...ЛуП=^(12.26)при заданныху° = щ,3/'=«..(12.27)Сформулируем условия устойчивости по начальным данным при постоянных, не зависящих от п, самосопряженных операторах А, В, R, т. е.вместо (12.26) будем рассматриватьBtl_tl + д(уП+• _ V + ,»--) + Ауп = 0>^ ^п=1,2,....При выполнении условийВ > О,А > О,R > -А(12.29)для разностной схемы (12.27), (12.29) имеет место априорная оценкат||Уп+| + Уп\\2л + Цин-i - »»11д 12TII^+I2- У"\\2л <12( 1 1 3 0 )<^||уп+У п -1К + ||Уп-Уп-|||д-^||у п -у„-|й,т.
е. операторно-разностная схема (12.27), (12.29) устойчива по начальнымданным.Устойчивость рассматриваемых трехслойных операторно-разностныхсхем установлена в гильбертовых пространствах со сложной составной188Глава 12. Нестационарные задачи математической физикинормой (см. (12.30)). Можно получить оценки устойчивости в болеепростых нормах за счет несколько более жестких условий устойчивости.Пусть в операторно-разностной схеме (12.28) операторы R и Аявляются самосопряженными. Тогда при выполнении условийВ^О,А>0,R>^-A(12.31)4с е > 0 имеют место априорные оценкиН^«1Б<21±^(||Л|Ц + | | ю - | ь | | у ,llfc+.fi + ||fc - * - , | | i < ~(Ы2А(12.32)+ ||У.
" Я|1я) •02.33)Для разностной схемы (12.26) при тех же предположениях об операторах R и А при выполнении операторных неравенствВ^еЕ,А>0,R>^A(12.34)4с постоянной е > 0 для разностного решения справедливы априорныеоценки£n+i(12.35)£п+1(12.36)Здесь£„+1 = -{А(уп+1 + у„),уп+, +уп) + (R(yn+i ~ Уп),Уп+1 - Уп) ~ ^(МУп+\ - Уп),Уп+1 - Уп)-При сформулированных ограничениях величина £„ задает норму.18912.2.
Разностные методы решения нестационарных задач12.2.3. Разностные схемы для параболического уравненияРассмотрим разностные схемы для одномерного параболического уравнения (12.1). По пространству будем использовать равномерную сеткуил = {я | х = х,,=ih,i = 0,1,...,JV,Nh = l},и пусть Ш(, — множество внутренних узлов (i = 1,2,... ,N - 1), а дшь —множество граничных узлов.При приближенном решении задачи (12.1)-(12.3) определим сеточный операторАу = - (ауг)х,(12.37)х£шн,для сеточных функций у = О, х & ц>ь.
Для задания коэффициента можноиспользовать выражения<Ц -fc(lj_|/2),Xi-i/2 = Xi--,а,; = 0,5 (*(*,_,) + *(*.)),х,i f JULat =hj k(x)* - iВ Я = L2(coh) скалярное произведение и норму введем соотношениямиЛГ-1Оператор Л является самосопряженным и положительным:А* = А > 0.(12.38)Приведем также оценки оператора А снизу и сверху:бЕ^А^ЬЕ,(12.39)гдеО6 = ттmin Л(ж),I2 ossisgiАД = гт2 шах А(ж).h o^z^i190Глава 12.
Нестационарные задачи математической физикиИсходной дифференциальной задаче (12.1)—(12.3) поставим в соответствие задачу Коши для дифференциально-разностного уравнения:dv— + Av = <p(t),v(0) = woДля ее решения используем схему с весамиУ +~уП + А{оуп+] +{\-а)"уп) = у",п = 0,1,...,(12.40)т»° = «о.(12.41)Схема с весами будет устойчивой в НА при<г ^ <т0,<го= - - -ГГ7Й(12.42)2 т\\А\\В частности, схема с а ^ 0,5 абсолютно (при всех т > 0) устойчива.Рассмотрим вопрос о точности разностной схемы с весами (12.40),(12.41). Сформулируем соответствующую задачу для погрешности приближенного решенияzn(x)=y"(x)-u(x,tn),x€ui h ,*„€штс учетомz"(x) = 0,ж е дшь,tn e ил-Начальное условие задается точно и поэтому положимz0(x) = 0,i£w/,.Для погрешности из (12.41) следуетzn+\_zn+ A(azn+i+(l-o-)zn)=Tpn,n = 0,l,...Предполагая достаточную гладкость точного решения и коэффициентов уравнения (12.1), для погрешности аппроксимации будем иметь^ п (х) = 0 ( | / 1 | 2 + т " ) ,»ew,i»€u>r,где v = v(o) = 2 при а = 0,5 и v = 1, если о Ф 0,5.12.2.
Разностные методы решения нестационарных задач191Для погрешности верна априорная оценкаll^<ll*"L-. + *=1S>l№lU-"где использованы обозначенияУ1=Уп - у"'1~Следовательно разностная схема с весами сходится в НА СО скоростью0(Л2 + т").На основе использования оценок устойчивости по правой частиустанавливается сходимость и в других нормах.12.2.4. Гиперболические уравненияРассмотрим теперь разностные схемы для решения краевой задачи для одномерного гиперболического уравнения второго порядка (12.2), (12.5),(12.6). После дискретизации по пространству придем к дифференциальноразностной задачеd2vdv^-(0) = и,v(0) = «о,с ранее рассмотренным разностным оператором А.Будем использовать разностное уравнение1УТг+У+]+ ! , /1xА /_.."-i_\..n .п-1+.
А(ау"+(l-2a)y"+ ayn~) = у>",{nM)п= 1,2,... ,которое аппроксимирует (12.5) со вторым порядком по времени и по пространству. Схема (12.43) записывается в каноническом виде (12.28) приВ = 0, R=—E+ oA.192Глава 12. Нестационарные задачи математической физикиУсловия устойчивости (12.29) дают следующие ограничения на вес:11С привлечением априорных оценок устойчивости по правой части исследуется задача для погрешности и устанавливается сходимостьразностной схемы (12.43).12.2.5.
Многомерные задачиБудем рассматривать краевую задачу для параболического уравнениявторого порядка (12.7)—(12.9) в прямоугольнике П. Введем равномернуюпрямоугольную сетку с шагами Л| и h2, так чтоwh = {х | х = (хих2),ха = iaha,ia = \,2,...,Na,Naha = la, a= 1,2}.Определим разностный оператор2А = ^2л{а),(12.44)где А^а\ а = 1,2 — одномерные разностные операторыA^y=-{a^yia)Xa,а =1,2,х € w»,(12.45)определенные для сеточных функций у(\) = 0, х g wA. Для коэффициентов положим, например,а (|) (х) = fc(x, - 0,5ЛьХ2),а(2\\) = к(хих2- 0,5Л2).Вычислительная реализация неявных схем (or ф 0) (12.40), (12.41)для численного решения задачи (12.7)—(12.9) связана с решением сеточной эллиптической задачи. В экономичных разностных схемах переходна новый временной слой осуществляется с вычислительными затратами на один узел, не зависящими от общего числа узлов дискретизациипо пространству.
Экономичные схемы строятся на основе аддитивногопредставления (12.44) с переходом к последовательности более простых12.2. Разностные методы решения нестационарных задач193задач с операторами А*°\ а = 1,2. Приведем примеры некоторых схемрасщепления.Для правой части уравнения используется аддитивное представление<р" =< пр \+ч>1-Классическая разностная схема переменных направлений (схема Писмена—Рэкфорда) при расщеплении (12.44), (12.45) состоит из двух шагов.Сначала по известному уп находится вспомогательная сеточная функция,которую мы обозначим уп+>^2, из уравненияуП+^-у^0,5т+ А (.у+./2 + А ( 2 у = 2lfin(пм)Интерпретируя уп+х12 как решение на момент времени t = £„+1/2, можемзаметить, что (12.46) при 2<р" — <р„ соответствует определению решенияпо чисто неявной схеме по переменной Х\ (оператор А^) и по явнойсхеме по переменной х2 (оператор А^2')..,«•+'У^1,."+ 1 / 20,5т+ А0)у»+^+ Л < 2 )у" +| = 2<рп2.(12.47)Тем самым второй шаг связывается с использованием явной схемы по первой переменной и чисто неявной — по второй переменной.Сформулируем условия устойчивости схемы переменных направлений.
Пусть в схеме (12.46), (12.47) постоянные операторы Л(вг* ^ 0,а = 1,2. Тогда для разностного решения имеет место следующая оценкаустойчивости по начальным данным и правой части:(S+^4<V + I ^ (Е+Т-А^)у°\\+^г(Ы\\+ЫНа основе этой оценки устанавливается, что схема переменныхнаправлений сходится со скоростью 0{т2 + |Л|2) в соответствующей,зависящей от операторов расщепления норме.Необходимо выделить аддитивные схемы, которые относятся к классу безусловно устойчивых разностных схем при расщеплении на произвольное число операторов — схемы многокомпонентного расщепления.Аддитивные разностные схемы для задач с расщеплением на три и болеепопарно некоммутируюших операторов традиционно строятся на основе194Глава 12. Нестационарные задачи математической физикипонятия суммарной аппроксимации - схемы покомпонентного расщепления (локально-одномерные схемы).Для двумерной задачи (12.7)—(12.9) имеемуП+а/2 _n+(a-t)/2+ЛК '{аау+(\-<га)уо = 1,2,я = 0,1,....)~<Ра,/J2.48)При аа > 0,5 схема покомпонентного расщепления (12.48) безусловноустойчива.
Приведем соответствующую априорную оценку устойчивостипо начальным данным и правой части.Для правых частей ipna, a = 1,2 будем использовать специальноепредставление*>?«) = Й + Й .«=1,2,] Г ; й = 0.(12.49)При 0,5 < <га < 2, a = 1,2 и т > 0 для решения задачи (12.48), (12.49)выполняется априорная оценкаjfe=0а=\ ^р=а/При исследовании сходимости локально-одномерных схем существенно учитывается специальное представление для погрешности типа (12.49). Отметим также, что устойчивость локально-одномерных схемустанавливается не только в гильбертовых пространствах сеточных функций, но и при использовании принципа максимума — в равномернойнорме.12.3. УпражненияВ предложенных ниже примерах получены результаты по устойчивостидвух- и трехслойных разностных схем, исследуются разностные схемыдля параболических и гиперболических уравнений второго порядка.Упражнение 12.1.
Пусть в схеме (12.10), (12.11) А = А* > 0. Покажите,что приВ>Т-А(12.50)19512.3. Упражненияразностная схема устойчива по начальным данным и правой части, и для разностного решения справедлива априорная оценкаЬп+Х < N L + WL„ + IHL-. + 1>1ИИл-02-51)Решение. Представим решение задачи (12.10), (12.11) в видеуп = vn+wn,(12.52)где wn есть решение стационарного уравненияAwn+S=ipn,n = 0,l,...,и пусть ад(0) = W(T). ДЛЯ V" получим задачуBvt + Av- <pn,000v =у —wс правой частьюipn = -(В - rA)wnt,$° = 0при использовании стандартных обозначенийyt =.ТДля решения этой задачи (см. оценку (12.23)) получимьп\А<ь°\\А+£г\\в-^\\А.*=0Принимая во внимание, что ад' = A~Vf» для последнего слагаемогополучим\\В-^\\А= | | ^ 2 В - У || = \\{Е-тС) A-Wrf\\,где С = А1/2В~]А1/2.В силу предположения (12.50), обеспечивающегоустойчивость схемы, имеем\\Е-тС\\<\196Глава 12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
