Главная » Просмотр файлов » Д.П. Костомаров, А.П. Фаворский - Вводные лекции по численным методам (doc)

Д.П. Костомаров, А.П. Фаворский - Вводные лекции по численным методам (doc) (1113731), страница 11

Файл №1113731 Д.П. Костомаров, А.П. Фаворский - Вводные лекции по численным методам (doc) (Д.П. Костомаров, А.П. Фаворский - Вводные лекции по численным методам (doc)) 11 страницаД.П. Костомаров, А.П. Фаворский - Вводные лекции по численным методам (doc) (1113731) страница 112019-05-05СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

. 259259\* MERGEFORMAT ()

Здесь - сумма 251 с вдвое меньшим числом слагаемых и, соответственно, с вдвое большим шагом. Благодаря этому при ее образовании в качестве узлов используются точки 244 только с четными номерами. Поскольку в формуле Симпсона предполагается обязательно четным, то - целое число, так что выражение определено.

Соотношение 259 проверяется «в лоб». Из 251 следует, что:

,

.

Вычитая теперь вторую строку из первой, получим равенство 259.

      1. Сходимость и точность квадратурных формул прямоугольников, трапеций и Симпсона.

После того, как мы установили, что величины , , являются интегральными суммами, проблема сходимости рассмотренных методов численного интегрирования решается элементарно. Их сходимость имеет место для любой интегрируемой функции:

, , 260260\* MERGEFORMAT ()

, . 261261\* MERGEFORMAT ()

. 262262\* MERGEFORMAT ()

Этот вывод является прямым следствием определения интегрируемости.

Предельные соотношения 260 – 262 доказывают принципиальную возможность вычисления интеграла от произвольной интегрируемой функции каждым из трех методов с любой точностью за счет выбора достаточно большого и, соответственно, малого шага .

После общего вывода о сходимости методов перейдем к обсуждению основного вопроса, связанного с организацией реального вычислительного процесса: каким нужно взять , чтобы добиться при вычислении интеграла нужной точности. Ответ на него требует анализа остаточных членов. При этом на функцию приходится накладывать дополнительные ограничения, выходящие за рамки предположения об интегрируемости.

Начнем с обсуждения остаточных членов в квадратурных формулах прямоугольников и трапеций. Предположим, что функция дважды непрерывно дифференцируема на отрезке . В курсе математического анализа при этом предположении устанавливаются формулы

, 263263\* MERGEFORMAT ()

, 264264\* MERGEFORMAT ()

где и - некоторые точки отрезка . Существование таких точек гарантировано, но их точное положение неизвестно. (См В. А. Ильин, Э. Г. Позняк «Основы математического анализа». М. 1965. С. 389-397.)

Суммируя равенства 263 и 264 по , получим формулы 247 и 252 со следующими выражениями для остаточных членов

, 265265\* MERGEFORMAT ()

. 266266\* MERGEFORMAT ()

Рассмотрим суммы

и . 267267\* MERGEFORMAT ()

Функция по предположению непрерывна и, следовательно, интегрируема на отрезке . С учетом этого замечания выражения 267 можно рассматривать как интегральные суммы для интеграла . Отсюда следует вывод:

, 268268\* MERGEFORMAT ()

. 269269\* MERGEFORMAT ()

Предельные равенства 268 и 269 позволяют записать остаточные члены квадратурных формул прямоугольников и трапеций в виде

, 270270\* MERGEFORMAT ()

, 271271\* MERGEFORMAT ()

где

, 272272\* MERGEFORMAT ()

, при , 273273\* MERGEFORMAT ()

, 274274\* MERGEFORMAT ()

, при . 275275\* MERGEFORMAT ()

Формулы 270 и 271 выделяют в остаточных членах главные слагаемые и , которые при возрастании стремятся к нулю как . Важно подчеркнуть, что коэффициенты 272 и 274 от не зависят. Дополнительные слагаемые и являются бесконечно малыми более высокого порядка. Если ими пренебречь по сравнению с главными слагаемыми, то получатся простые асимптотические представления остаточных членов

и . 276276\* MERGEFORMAT ()

Их относительная точность возрастает при увеличении .

Теперь получим другие представления остаточных членов. Из курса математического анализа известно следующее утверждение.

Лемма.

Пусть функция непрерывна на отрезке и пусть -некоторые точки этого отрезка. Тогда на отрезке найдется такая точка , что

, . 277277\* MERGEFORMAT ()

Иными словами, среднее арифметическое значений непрерывной функции в нескольких точках отрезка , равно ее значению в одной из точек этого отрезка.

Применяя это утверждение к суммам 265 и 266, получим другое представление остаточных членов и :

, , 278278\* MERGEFORMAT ()

, . 279279\* MERGEFORMAT ()

Формулы 278 и 279 не позволяют вычислить остаточные члены: существование точек и на отрезке гарантировано, но их положение неизвестно. Однако эти формулы можно использовать для оценки остаточных членов. Пусть известно число , которое является мажорантой для второй производной функции :

, , 280280\* MERGEFORMAT ()

тогда равенства 278 и 279 можно заменить неравенствами:

, 281281\* MERGEFORMAT ()

. 282282\* MERGEFORMAT ()

При заданной точности они позволяют определить число узлов , которое нужно использовать при вычислении интеграла по рассматриваемым квадратурным формулам.

В случае, когда вторая производная функции является знакоопределенной на отрезке , формулы 278 и 279 позволяют определить знаки остаточных членов. При этом существенно то, что они оказываются противоположными. Пусть, например, , в этом случае , так что для интеграла получается двухсторонняя оценка

. 283283\* MERGEFORMAT ()

При отрицательной второй производной сохраняется двухсторонняя оценка, но знаки неравенств 283 меняются на противоположные. Такие оценки очень удобны, поскольку позволяют легко контролировать точность вычислений: в случае 283 и дают значение интеграла с недостатком и избытком с ошибкой, не превышающей , в противоположном случае и меняются ролями.

Заканчивая обсуждение методов прямоугольников и трапеций, сделаем следующее замечание. Формулы 270, 271, оценки 281, 282 показывают, что в случае дважды непрерывно дифференцируемой подынтегральной функции остаточные члены и убывают как . Однако, если отказаться от этого требования гладкости, то данные результаты теряют силу. В этом случае для интегрируемых функций можно гарантировать стремление остаточных членов к нулю, но нельзя утверждать, что оно происходит со скоростью .

Можно поставить прямо противоположный вопрос. Нельзя ли, повышая требование гладкости подынтегральной функции, увеличить скорость сходимости методов? Ответ на него отрицательный. Предположение о существовании у функции четырех или шести производных не может изменить формул 270 и 271, так что скорость убывания остаточных членов при возрастании останется прежней - . Поэтому методы прямоугольников и трапеций называют методами второго порядка точности, добавляя при этом – для дважды непрерывно дифференцируемых функций.

Задача 1.

Вычислить по формулам прямоугольников и трапеций при интеграл

. 284284\* MERGEFORMAT ()

В данном случае

, 285285\* MERGEFORMAT ()

. 286286\* MERGEFORMAT ()

Зная точный ответ 284, найдем погрешности

и . 287287\* MERGEFORMAT ()

Вторая производная функции на отрезке отрицательна, ее модуль не превышает единицы: . Мы видим, что знаки погрешности и 287 согласуются с формулами 278 и 279. Они противоположны, так что для интеграла справедлива двусторонняя оценка, аналогичная 283, но другого знака:

. 288288\* MERGEFORMAT ()

Величина погрешностей 287 удовлетворяет неравенствам 281 и 282:

, . 289289\* MERGEFORMAT ()

Перейдем к обсуждению остаточного члена в методе Симпсона, которое проведем при предположении о четырехкратной непрерывной дифференцируемости подынтегральной функции . Напомним, что в методе Симпсона число точек выбирается четным, так что является целым числом.

Рассмотрим отрезок двойной длины , расположенный между точками разбиения 244 с четными номерами , . В курсе математического анализа выводится формула:

, 290290\* MERGEFORMAT ()

где . Существование такой точки гарантировано, но ее точное положение на отрезке неизвестно.

Суммируя равенства 290 по , получим квадратурную формулу 256 со следующим выражением для остаточного члена:

. 291291\* MERGEFORMAT ()

Из формулы 291, аналогичной формулам 265, 266, можно вывести различные представления остаточного члена и изучить его свойства.

Рассмотрим сумму

. 292292\* MERGEFORMAT ()

Функция предполагается непрерывной и, следовательно, интегрируемой на отрезке . С учетом этого сумму 292 можно рассматривать как интегральную сумму для интеграла . Отсюда следует вывод

. 293293\* MERGEFORMAT ()

Предельное равенство 293 позволяет записать остаточный член квадратурной формулы Симпсона 291 в виде

, 294294\* MERGEFORMAT ()

, 295295\* MERGEFORMAT ()

, при . 296296\* MERGEFORMAT ()

Эта формула, как и формулы 270, 271 для методов прямоугольников и трапеций, выделяет в остаточном члене главное слагаемое , которое стремится к нулю как . Коэффициент 295 не зависит от . Дополнительное слагаемое является бесконечно малой более высокого порядка. Если им пренебречь, то получится асимптотическое представление остаточного члена

. 297297\* MERGEFORMAT ()

Его относительная точность возрастает с увеличением .

Другое представление остаточного члена можно вывести с помощью формулы 277. Она позволяет записать формулу 291 в виде

, 298298\* MERGEFORMAT ()

где - какая-то точка отрезка . Вычислить погрешность по формуле 298 нельзя, поскольку положение точки неизвестно, но можно ее оценить. Пусть , тогда

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
2,72 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее