Д.П. Костомаров, А.П. Фаворский - Вводные лекции по численным методам (doc) (1113731), страница 11
Текст из файла (страница 11)
. 259259\* MERGEFORMAT ()
Здесь - сумма 251 с вдвое меньшим числом слагаемых и, соответственно, с вдвое большим шагом. Благодаря этому при ее образовании в качестве узлов используются точки
244 только с четными номерами. Поскольку в формуле Симпсона
предполагается обязательно четным, то
- целое число, так что выражение
определено.
Соотношение 259 проверяется «в лоб». Из 251 следует, что:
,
.
Вычитая теперь вторую строку из первой, получим равенство 259.
-
Сходимость и точность квадратурных формул прямоугольников, трапеций и Симпсона.
После того, как мы установили, что величины ,
,
являются интегральными суммами, проблема сходимости рассмотренных методов численного интегрирования решается элементарно. Их сходимость имеет место для любой интегрируемой функции:
,
, 260260\* MERGEFORMAT ()
,
. 261261\* MERGEFORMAT ()
. 262262\* MERGEFORMAT ()
Этот вывод является прямым следствием определения интегрируемости.
Предельные соотношения 260 – 262 доказывают принципиальную возможность вычисления интеграла от произвольной интегрируемой функции каждым из трех методов с любой точностью за счет выбора достаточно большого
и, соответственно, малого шага
.
После общего вывода о сходимости методов перейдем к обсуждению основного вопроса, связанного с организацией реального вычислительного процесса: каким нужно взять , чтобы добиться при вычислении интеграла нужной точности. Ответ на него требует анализа остаточных членов. При этом на функцию
приходится накладывать дополнительные ограничения, выходящие за рамки предположения об интегрируемости.
Начнем с обсуждения остаточных членов в квадратурных формулах прямоугольников и трапеций. Предположим, что функция дважды непрерывно дифференцируема на отрезке
. В курсе математического анализа при этом предположении устанавливаются формулы
, 263263\* MERGEFORMAT ()
, 264264\* MERGEFORMAT ()
где и
- некоторые точки отрезка
. Существование таких точек гарантировано, но их точное положение неизвестно. (См В. А. Ильин, Э. Г. Позняк «Основы математического анализа». М. 1965. С. 389-397.)
Суммируя равенства 263 и 264 по , получим формулы 247 и 252 со следующими выражениями для остаточных членов
, 265265\* MERGEFORMAT ()
. 266266\* MERGEFORMAT ()
Рассмотрим суммы
и
. 267267\* MERGEFORMAT ()
Функция по предположению непрерывна и, следовательно, интегрируема на отрезке
. С учетом этого замечания выражения 267 можно рассматривать как интегральные суммы для интеграла
. Отсюда следует вывод:
, 268268\* MERGEFORMAT ()
. 269269\* MERGEFORMAT ()
Предельные равенства 268 и 269 позволяют записать остаточные члены квадратурных формул прямоугольников и трапеций в виде
, 270270\* MERGEFORMAT ()
, 271271\* MERGEFORMAT ()
где
, 272272\* MERGEFORMAT ()
, при
, 273273\* MERGEFORMAT ()
, 274274\* MERGEFORMAT ()
, при
. 275275\* MERGEFORMAT ()
Формулы 270 и 271 выделяют в остаточных членах главные слагаемые и
, которые при возрастании
стремятся к нулю как
. Важно подчеркнуть, что коэффициенты
272 и
274 от
не зависят. Дополнительные слагаемые
и
являются бесконечно малыми более высокого порядка. Если ими пренебречь по сравнению с главными слагаемыми, то получатся простые асимптотические представления остаточных членов
и
. 276276\* MERGEFORMAT ()
Их относительная точность возрастает при увеличении .
Теперь получим другие представления остаточных членов. Из курса математического анализа известно следующее утверждение.
Лемма.
Пусть функция непрерывна на отрезке
и пусть
-некоторые точки этого отрезка. Тогда на отрезке
найдется такая точка
, что
,
. 277277\* MERGEFORMAT ()
Иными словами, среднее арифметическое значений непрерывной функции в нескольких точках отрезка , равно ее значению в одной из точек этого отрезка.
Применяя это утверждение к суммам 265 и 266, получим другое представление остаточных членов и
:
,
, 278278\* MERGEFORMAT ()
,
. 279279\* MERGEFORMAT ()
Формулы 278 и 279 не позволяют вычислить остаточные члены: существование точек и
на отрезке
гарантировано, но их положение неизвестно. Однако эти формулы можно использовать для оценки остаточных членов. Пусть известно число
, которое является мажорантой для второй производной функции
:
,
, 280280\* MERGEFORMAT ()
тогда равенства 278 и 279 можно заменить неравенствами:
, 281281\* MERGEFORMAT ()
. 282282\* MERGEFORMAT ()
При заданной точности они позволяют определить число узлов
, которое нужно использовать при вычислении интеграла по рассматриваемым квадратурным формулам.
В случае, когда вторая производная функции является знакоопределенной на отрезке
, формулы 278 и 279 позволяют определить знаки остаточных членов. При этом существенно то, что они оказываются противоположными. Пусть, например,
, в этом случае
,
так что для интеграла получается двухсторонняя оценка
. 283283\* MERGEFORMAT ()
При отрицательной второй производной сохраняется двухсторонняя оценка, но знаки неравенств 283 меняются на противоположные. Такие оценки очень удобны, поскольку позволяют легко контролировать точность вычислений: в случае 283
и
дают значение интеграла с недостатком и избытком с ошибкой, не превышающей
, в противоположном случае
и
меняются ролями.
Заканчивая обсуждение методов прямоугольников и трапеций, сделаем следующее замечание. Формулы 270, 271, оценки 281, 282 показывают, что в случае дважды непрерывно дифференцируемой подынтегральной функции остаточные члены и
убывают как
. Однако, если отказаться от этого требования гладкости, то данные результаты теряют силу. В этом случае для интегрируемых функций можно гарантировать стремление остаточных членов к нулю, но нельзя утверждать, что оно происходит со скоростью
.
Можно поставить прямо противоположный вопрос. Нельзя ли, повышая требование гладкости подынтегральной функции, увеличить скорость сходимости методов? Ответ на него отрицательный. Предположение о существовании у функции четырех или шести производных не может изменить формул 270 и 271, так что скорость убывания остаточных членов при возрастании
останется прежней -
. Поэтому методы прямоугольников и трапеций называют методами второго порядка точности, добавляя при этом – для дважды непрерывно дифференцируемых функций.
Задача 1.
Вычислить по формулам прямоугольников и трапеций при интеграл
. 284284\* MERGEFORMAT ()
В данном случае
, 285285\* MERGEFORMAT ()
. 286286\* MERGEFORMAT ()
Зная точный ответ 284, найдем погрешности
и
. 287287\* MERGEFORMAT ()
Вторая производная функции на отрезке
отрицательна, ее модуль не превышает единицы:
. Мы видим, что знаки погрешности
и
287 согласуются с формулами 278 и 279. Они противоположны, так что для интеграла
справедлива двусторонняя оценка, аналогичная 283, но другого знака:
. 288288\* MERGEFORMAT ()
Величина погрешностей 287 удовлетворяет неравенствам 281 и 282:
,
. 289289\* MERGEFORMAT ()
Перейдем к обсуждению остаточного члена в методе Симпсона, которое проведем при предположении о четырехкратной непрерывной дифференцируемости подынтегральной функции
. Напомним, что в методе Симпсона число точек
выбирается четным, так что
является целым числом.
Рассмотрим отрезок двойной длины , расположенный между точками разбиения 244 с четными номерами
,
. В курсе математического анализа выводится формула:
, 290290\* MERGEFORMAT ()
где . Существование такой точки гарантировано, но ее точное положение на отрезке неизвестно.
Суммируя равенства 290 по , получим квадратурную формулу 256 со следующим выражением для остаточного члена:
. 291291\* MERGEFORMAT ()
Из формулы 291, аналогичной формулам 265, 266, можно вывести различные представления остаточного члена и изучить его свойства.
Рассмотрим сумму
. 292292\* MERGEFORMAT ()
Функция предполагается непрерывной и, следовательно, интегрируемой на отрезке
. С учетом этого сумму 292 можно рассматривать как интегральную сумму для интеграла
. Отсюда следует вывод
. 293293\* MERGEFORMAT ()
Предельное равенство 293 позволяет записать остаточный член квадратурной формулы Симпсона 291 в виде
, 294294\* MERGEFORMAT ()
, 295295\* MERGEFORMAT ()
, при
. 296296\* MERGEFORMAT ()
Эта формула, как и формулы 270, 271 для методов прямоугольников и трапеций, выделяет в остаточном члене главное слагаемое
, которое стремится к нулю как
. Коэффициент
295 не зависит от
. Дополнительное слагаемое
является бесконечно малой более высокого порядка. Если им пренебречь, то получится асимптотическое представление остаточного члена
. 297297\* MERGEFORMAT ()
Его относительная точность возрастает с увеличением .
Другое представление остаточного члена можно вывести с помощью формулы 277. Она позволяет записать формулу 291 в виде
, 298298\* MERGEFORMAT ()
где - какая-то точка отрезка
. Вычислить погрешность по формуле 298 нельзя, поскольку положение точки
неизвестно, но можно ее оценить. Пусть
, тогда