Д.П. Костомаров, А.П. Фаворский - Вводные лекции по численным методам (doc) (1113731), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

. 259259\* MERGEFORMAT ()

Здесь - сумма 251 с вдвое меньшим числом слагаемых и, соответственно, с вдвое большим шагом. Благодаря этому при ее образовании в качестве узлов используются точки 244 только с четными номерами. Поскольку в формуле Симпсона предполагается обязательно четным, то - целое число, так что выражение определено.

Соотношение 259 проверяется «в лоб». Из 251 следует, что:

,

.

Вычитая теперь вторую строку из первой, получим равенство 259.

1. Сходимость и точность квадратурных формул прямоугольников, трапеций и Симпсона.

После того, как мы установили, что величины , , являются интегральными суммами, проблема сходимости рассмотренных методов численного интегрирования решается элементарно. Их сходимость имеет место для любой интегрируемой функции:

, , 260260\* MERGEFORMAT ()

, . 261261\* MERGEFORMAT ()

. 262262\* MERGEFORMAT ()

Этот вывод является прямым следствием определения интегрируемости.

Предельные соотношения 260 – 262 доказывают принципиальную возможность вычисления интеграла от произвольной интегрируемой функции каждым из трех методов с любой точностью за счет выбора достаточно большого и, соответственно, малого шага .

После общего вывода о сходимости методов перейдем к обсуждению основного вопроса, связанного с организацией реального вычислительного процесса: каким нужно взять , чтобы добиться при вычислении интеграла нужной точности. Ответ на него требует анализа остаточных членов. При этом на функцию приходится накладывать дополнительные ограничения, выходящие за рамки предположения об интегрируемости.

Начнем с обсуждения остаточных членов в квадратурных формулах прямоугольников и трапеций. Предположим, что функция дважды непрерывно дифференцируема на отрезке . В курсе математического анализа при этом предположении устанавливаются формулы

, 263263\* MERGEFORMAT ()

, 264264\* MERGEFORMAT ()

где и - некоторые точки отрезка . Существование таких точек гарантировано, но их точное положение неизвестно. (См В. А. Ильин, Э. Г. Позняк «Основы математического анализа». М. 1965. С. 389-397.)

Суммируя равенства 263 и 264 по , получим формулы 247 и 252 со следующими выражениями для остаточных членов

, 265265\* MERGEFORMAT ()

. 266266\* MERGEFORMAT ()

Рассмотрим суммы

и . 267267\* MERGEFORMAT ()

Функция по предположению непрерывна и, следовательно, интегрируема на отрезке . С учетом этого замечания выражения 267 можно рассматривать как интегральные суммы для интеграла . Отсюда следует вывод:

, 268268\* MERGEFORMAT ()

. 269269\* MERGEFORMAT ()

Предельные равенства 268 и 269 позволяют записать остаточные члены квадратурных формул прямоугольников и трапеций в виде

, 270270\* MERGEFORMAT ()

, 271271\* MERGEFORMAT ()

где

, 272272\* MERGEFORMAT ()

, при , 273273\* MERGEFORMAT ()

, 274274\* MERGEFORMAT ()

, при . 275275\* MERGEFORMAT ()

Формулы 270 и 271 выделяют в остаточных членах главные слагаемые и , которые при возрастании стремятся к нулю как . Важно подчеркнуть, что коэффициенты 272 и 274 от не зависят. Дополнительные слагаемые и являются бесконечно малыми более высокого порядка. Если ими пренебречь по сравнению с главными слагаемыми, то получатся простые асимптотические представления остаточных членов

и . 276276\* MERGEFORMAT ()

Их относительная точность возрастает при увеличении .

Теперь получим другие представления остаточных членов. Из курса математического анализа известно следующее утверждение.

Лемма.

Пусть функция непрерывна на отрезке и пусть -некоторые точки этого отрезка. Тогда на отрезке найдется такая точка , что

, . 277277\* MERGEFORMAT ()

Иными словами, среднее арифметическое значений непрерывной функции в нескольких точках отрезка , равно ее значению в одной из точек этого отрезка.

Применяя это утверждение к суммам 265 и 266, получим другое представление остаточных членов и :

, , 278278\* MERGEFORMAT ()

, . 279279\* MERGEFORMAT ()

Формулы 278 и 279 не позволяют вычислить остаточные члены: существование точек и на отрезке гарантировано, но их положение неизвестно. Однако эти формулы можно использовать для оценки остаточных членов. Пусть известно число , которое является мажорантой для второй производной функции :

, , 280280\* MERGEFORMAT ()

тогда равенства 278 и 279 можно заменить неравенствами:

, 281281\* MERGEFORMAT ()

. 282282\* MERGEFORMAT ()

При заданной точности они позволяют определить число узлов , которое нужно использовать при вычислении интеграла по рассматриваемым квадратурным формулам.

В случае, когда вторая производная функции является знакоопределенной на отрезке , формулы 278 и 279 позволяют определить знаки остаточных членов. При этом существенно то, что они оказываются противоположными. Пусть, например, , в этом случае , так что для интеграла получается двухсторонняя оценка

. 283283\* MERGEFORMAT ()

При отрицательной второй производной сохраняется двухсторонняя оценка, но знаки неравенств 283 меняются на противоположные. Такие оценки очень удобны, поскольку позволяют легко контролировать точность вычислений: в случае 283 и дают значение интеграла с недостатком и избытком с ошибкой, не превышающей , в противоположном случае и меняются ролями.

Заканчивая обсуждение методов прямоугольников и трапеций, сделаем следующее замечание. Формулы 270, 271, оценки 281, 282 показывают, что в случае дважды непрерывно дифференцируемой подынтегральной функции остаточные члены и убывают как . Однако, если отказаться от этого требования гладкости, то данные результаты теряют силу. В этом случае для интегрируемых функций можно гарантировать стремление остаточных членов к нулю, но нельзя утверждать, что оно происходит со скоростью .

Можно поставить прямо противоположный вопрос. Нельзя ли, повышая требование гладкости подынтегральной функции, увеличить скорость сходимости методов? Ответ на него отрицательный. Предположение о существовании у функции четырех или шести производных не может изменить формул 270 и 271, так что скорость убывания остаточных членов при возрастании останется прежней - . Поэтому методы прямоугольников и трапеций называют методами второго порядка точности, добавляя при этом – для дважды непрерывно дифференцируемых функций.

Задача 1.

Вычислить по формулам прямоугольников и трапеций при интеграл

. 284284\* MERGEFORMAT ()

В данном случае

, 285285\* MERGEFORMAT ()

. 286286\* MERGEFORMAT ()

Зная точный ответ 284, найдем погрешности

и . 287287\* MERGEFORMAT ()

Вторая производная функции на отрезке отрицательна, ее модуль не превышает единицы: . Мы видим, что знаки погрешности и 287 согласуются с формулами 278 и 279. Они противоположны, так что для интеграла справедлива двусторонняя оценка, аналогичная 283, но другого знака:

. 288288\* MERGEFORMAT ()

Величина погрешностей 287 удовлетворяет неравенствам 281 и 282:

, . 289289\* MERGEFORMAT ()

Перейдем к обсуждению остаточного члена в методе Симпсона, которое проведем при предположении о четырехкратной непрерывной дифференцируемости подынтегральной функции . Напомним, что в методе Симпсона число точек выбирается четным, так что является целым числом.

Рассмотрим отрезок двойной длины , расположенный между точками разбиения 244 с четными номерами , . В курсе математического анализа выводится формула:

, 290290\* MERGEFORMAT ()

где . Существование такой точки гарантировано, но ее точное положение на отрезке неизвестно.

Суммируя равенства 290 по , получим квадратурную формулу 256 со следующим выражением для остаточного члена:

. 291291\* MERGEFORMAT ()

Из формулы 291, аналогичной формулам 265, 266, можно вывести различные представления остаточного члена и изучить его свойства.

Рассмотрим сумму

. 292292\* MERGEFORMAT ()

Функция предполагается непрерывной и, следовательно, интегрируемой на отрезке . С учетом этого сумму 292 можно рассматривать как интегральную сумму для интеграла . Отсюда следует вывод

. 293293\* MERGEFORMAT ()

Предельное равенство 293 позволяет записать остаточный член квадратурной формулы Симпсона 291 в виде

, 294294\* MERGEFORMAT ()

, 295295\* MERGEFORMAT ()

, при . 296296\* MERGEFORMAT ()

Эта формула, как и формулы 270, 271 для методов прямоугольников и трапеций, выделяет в остаточном члене главное слагаемое , которое стремится к нулю как . Коэффициент 295 не зависит от . Дополнительное слагаемое является бесконечно малой более высокого порядка. Если им пренебречь, то получится асимптотическое представление остаточного члена

. 297297\* MERGEFORMAT ()

Его относительная точность возрастает с увеличением .

Другое представление остаточного члена можно вывести с помощью формулы 277. Она позволяет записать формулу 291 в виде

, 298298\* MERGEFORMAT ()

где - какая-то точка отрезка . Вычислить погрешность по формуле 298 нельзя, поскольку положение точки неизвестно, но можно ее оценить. Пусть , тогда

Характеристики

Список файлов лекций