Д.П. Костомаров, А.П. Фаворский - Вводные лекции по численным методам (doc) (1113731), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Пример 1

Построить интерполяционный полином Эрмита для функции по известным значениям в узлах и значению в одном из узлов .

Степень полинома в данном случае равна .

Будем искать в виде

Здесь выражения, стоящие под знаком суммы, суть обычные составляющие полинома в форме Лагранжа в узлах , «усиленные» дополнительными множителями . Слагаемое, отвечающее кратному узлу , выделено отдельно как особое. Постоянная подлежит определению.

Из структуры видно, что . Найдем производную в узле . Слагаемые, стоящие под знаком суммы, содержат множители и потому их производные обращаются в нуль при . Таким образом,

. 175175\* MERGEFORMAT ()

Для соблюдения требования следует положить

,

где для краткости обозначено

. 176176\* MERGEFORMAT ()

Итак:

177177\* MERGEFORMAT ()

Пример 2.

Построить интерполяционный полином Эрмита для функции в случае, когда во всех узлах интерполяции , заданы значения функции и ее первой производной .

В данном случае , , так что степень полинома равна .

Запишем исходный полином в виде:

. 178178\* MERGEFORMAT ()

Представление 178 удобно тем, что автоматически выполняются условия

.

При вычислении производной полинома 178 в узле следует учесть, что все слагаемые суммы, кроме слагаемого, отвечающему самому узлу , дают нулевой вклад в производную в этой точке, поэтому

.

Отсюда

,

где, числа определяются формулой 176. Таким образом, решением данной задачи является полиномом Эрмита

. 179179\* MERGEFORMAT ()

Задача 5

Построить полином Эрмита второй степени для функции по следующим данным:

, , .

Вычислить с помощью этого полинома приближенное значение синуса в точке . Найти погрешность, сравнить ее с погрешностью, которую дает интерполяционный полином 146 задачи 2 и с теоретической оценкой погрешности 174.

Здесь мы имеем задачу, которая в общем виде была разобрана в примере 1: согласно 179 узел является простым, а узел - двукратным. В этом случае в формуле 177 сумма, соответствующая простым узлам, сводится к одному слагаемому, которое в силу нулевого значения синуса в точке обращается в ноль. Второй член в формуле 177 соответствует кратному корню . Подставляя сюда соответствующее значение синуса и его производной в этой точке, а также значение коэффициента , будем иметь:

. 180180\* MERGEFORMAT ()

Вычислим значение полинома в точке и подсчитаем погрешность

, . 181181\* MERGEFORMAT ()

Теоретическая формула для погрешности 173 принимает в данном случае вид:

, . 182182\* MERGEFORMAT ()

Она правильно определяет знак погрешности и позволяет написать для нее мажорантную оценку

. 183183\* MERGEFORMAT ()

Данная оценка согласуется с величиной погрешности 181, подсчитанной «в лоб».

При подсчете приближенного значения с помощью полинома Эрмита 180 в точке мы получили погрешность 181, модуль которой в два с лишним раза превышает погрешность 147 полинома 146. Чтобы понять причину такого расхождения, рассмотрим рис. 3, на котором приведены графики функций (сплошная линия) и (пунктир). Сравним его с рис. 1, на котором изображены графики функции и полинома . Из-за нулевого значения производной в точке график полинома качественно больше похож на график синуса, чем график полином . Однако равенство полинома синусу не только в граничных точках отрезка , но и во внутренней точке приводит к тому, что полином приближает синус на отрезке лучше чем полином . Это хорошо видно при сравнении рис. 1 и рис. 3. Подсчет погрешностей 147 и 181 в точке является дополнительным тому подтверждением.

1. Интерполирование сплайнами.

Увеличение степени интерполяционного полинома может оказаться невыгодным из-за быстрого роста объема вычислений. К тому же далеко не всегда оно приводит к повышению точности. Во второй половине ХХ века с появлением компьютеров и развитием современной вычислительной математики при обработке больших таблиц получила развитие новая идея – строить приближение функций с помощью кусочно-полиномиальной интерполяции с использованием полиномов сравнительно невысоких степеней. Наиболее удобными оказались полиномы третьей степени. Такие конструкции получили название кубических сплайнов.

1. Определение кубического сплайна.

Пусть на отрезке задана функция . Рассмотрим сетку узлов

184184\* MERGEFORMAT ()

и обозначим через расстояние между смежными узлами

, 185185\* MERGEFORMAT ()

Определение:

Назовем кубическим сплайном функции , на сетке 184 функцию удовлетворяющую условиям:

S1. На каждом отрезке функция является полиномом третьей степени.

S2. Функция , её первая и вторая производные непрерывны на сегменте .

S3.

S4. На концах сегмента функция удовлетворяет условиям .

Замечание. На концах сегмента могут быть заданы в принципе и другие условия, например:

.

Справедлива следующая теорема.

Теорема.

Существует единственный сплайн , удовлетворяющий требованиям (S1) – (S4).

Мы проведем конструктивное доказательство этой теоремы.

1. Формулировка системы уравнений для коэффициентов кубического сплайна.

Сведем задачу построения сплайна к отысканию коэффициентов упомянутых полиномов третьей степени на каждом из отрезков .Для этого сопоставим отрезку полином , для удобства записанный в виде:

, . 186186\* MERGEFORMAT ()

При этом, очевидно:

, 187187\* MERGEFORMAT ()

, 188188\* MERGEFORMAT ()

так, что

. 189189\* MERGEFORMAT ()

Для выполнения требований (S3) в узлах интерполяции с номерами следует положить:

190190\* MERGEFORMAT ()

Требуя непрерывности сплайна в узлах и выполнения условия (S3) при , получим:

191191\* MERGEFORMAT ()

или

.

Это равенство можно переписать следующим образом:

. 192192\* MERGEFORMAT ()

Условие (S2) непрерывности первой производной в узлах принимает вид:

193193\* MERGEFORMAT ()

и приводит к соотношениям

или

. 194194\* MERGEFORMAT ()

Аналогичным образом условия непрерывности второй производной в тех же узлах:

195195\* MERGEFORMAT ()

означают, что

. 196196\* MERGEFORMAT ()

Наконец, дополнительные граничные условия (S4) дают еще два уравнения

. 197197\* MERGEFORMAT ()

В итоге мы получили замкнутую систему 192, 194, 196, 197, содержащую в сумме линейных уравнений для отыскания неизвестных:

1. Редукция системы.

Удобно формально ввести ещё одно неизвестное , положив при этом , и первое уравнение в 197 переписать в виде:

,

то есть в форме аналогичной 196.

Теперь уравнения 196 и 197 естественно представить в единообразном виде

, 198198\* MERGEFORMAT ()

, . 199199\* MERGEFORMAT ()

Обратим внимание на то, что из системы 198 можно выразить все коэффициенты через разности , а затем из системы 192 выразить через и коэффициенты . Подставляя полученные выражения в 194, придем к системе линейных уравнений для :

, . 200200\* MERGEFORMAT ()

Сдвигая индекс на единицу, получим симметричную форму записи уравнений 200:

, . 201201\* MERGEFORMAT ()

Кроме того, согласно 199

. 202202\* MERGEFORMAT ()

Система 201 содержит уравнение с -ой неизвестной: . Величины и определены дополнительными соотношениями 202. Если сетка 184 равномерная, т. е. , то уравнения 201 принимают особенно простой вид:

. 203203\* MERGEFORMAT ()

Для уравнений системы 201 выполнено условие диагонального преобладания. Отсюда следует существование и единственность решения задачи 201, 202. По найденным величинам можно рассчитать остальные коэффициенты сплайна по формулам

204204\* MERGEFORMAT ()

и

, 205205\* MERGEFORMAT ()

завершив тем самым построение сплайна. Теорема доказана.

1. Замечание о решении системы.

Уравнения 201 имеют так называемую трехточечную структуру, общий вид таких систем

, , 206206\* MERGEFORMAT ()

, 207207\* MERGEFORMAT ()

соответствует системе линейных уравнений с трехдиагональной матрицей для определения вектора неизвестных :

,

где

. 208208\* MERGEFORMAT ()

При этом легко видеть, что в нашем случае

, 209209\* MERGEFORMAT ()

поскольку

. 210210\* MERGEFORMAT ()

Как было показано в главе 1, решение подобных систем эффективно осуществляется методом прогонки.

Задача 6.

Рассмотреть функцию на отрезке с узлами интерполяции . Построить кубический сплайн. Найти его значение при , т. е. вычислить приближенно . Подсчитать погрешность.

В рассматриваемом случае мы имеем равномерную сетку с шагом . У нее одна внутренняя точка и две граничные - и . Система 203 сводится к одному уравнению относительно коэффициента , которое с учетом дополнительных соотношений 200, определяющих нулевые значения коэффициентов и , принимает вид:

Характеристики

Список файлов лекций