Д.П. Костомаров, А.П. Фаворский - Вводные лекции по численным методам (doc) (1113731), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу 156, получим

. 158158\* MERGEFORMAT ()

Первоначальные выражения для интерполяционного полинома в форме Лагранжа и Ньютона различны, но окончательные ответы, естественно, совпадают.

1. Погрешность интерполирования.

Поставим вопрос о том, насколько хорошо интерполяционный полином приближает функцию на отрезке , то есть попытаемся оценить погрешность (остаточный член)

, . 159159\* MERGEFORMAT ()

Сразу же отметим, что по определению интерполяционного полинома

при , 160160\* MERGEFORMAT ()

поэтому речь идет об оценке при значениях .

Для того, чтобы это сделать, следует ввести дополнительно предположение о гладкости функции . Предположим, что имеет непрерывную производную на отрезке .

В силу 160 можно представить в виде:

, 161161\* MERGEFORMAT ()

где - полином степени :

. 162162\* MERGEFORMAT ()

Зафиксируем произвольное значение и рассмотрим вспомогательную функцию от переменной :

,

заданную на отрезке и содержащую переменную в качестве параметра. В силу своего определения функция обязана обращаться в нуль в узлах интерполирования при и кроме того при , т. е. как функция аргумента она имеет нуля:

, , . 163163\* MERGEFORMAT ()

Если , то все ее нули также лежат на отрезке . Если то эти нули, вообще говоря, принадлежат отрезку , а если , то они находятся на отрезке . Объединяя эти три случая, скажем, что указанные нули функции принадлежат отрезку , где .

Согласно известной теореме Ролля можно утверждать, что производная имеет по крайней мере нуль на отрезке (эти нули перемежаются с нулями самой функции ). Повторяя это рассуждение, заключаем, что имеет по крайней мере нулей на отрезке , - нуль и, наконец, обращается хотя бы один раз в нуль в некоторой точке , то есть

.

Учитывая, что производная полинома степени тождественно равна нулю, получаем, что

; 164164\* MERGEFORMAT ()

и соответственно

. 165165\* MERGEFORMAT ()

Формула 165 не позволяет вычислить погрешность, поскольку точное значение аргумента нам неизвестно. Однако с ее помощью погрешность можно оценить:

, 166166\* MERGEFORMAT ()

где

. 167167\* MERGEFORMAT ()

Обсудим роль полинома 162 в оценке 166. На отрезке он имеет нуль, а его значения между этими нулями сравнительно невелики, но, когда точка выходит за пределы отрезка и удаляется от точки влево или от точки вправо, оценка 166 ухудшается из-за быстрого роста функции . Это хорошо видно на рис. 2, где в качестве примера приведен график функции с корнями , , , :

.

Ее наибольшее по модулю значение на отрезке равно единице. Однако уже в точках за пределами отрезка полином принимает значение

.

Из сказанного можно сделать следующий вывод. Если , то множитель не обесценивает оценку 166. Такой случай называют собственно интерполяцией . Противоположный случай, когда точка лежит вне отрезка называют экстраполяцией функции . Отмеченная выше особенность поведения полинома резко ухудшает оценку 166 при экстраполяции. Поэтому на практике экстраполяции избегают или ограничиваются многочленами невысокой степени , когда рост функции не настолько критичен.

Задача 4.

Написать мажорантную оценку для погрешности 166 при вычислении приближенного значения в точке с помощью интерполяционного полинома второй степени 146. Сравнить ее с погрешностью 147, подсчитанной непосредственно.

Формула для погрешности 165 принимает в данном случае вид:

, .

Она правильно определяет знак погрешности, но не позволяет вычислить ее величину, поскольку значение аргумента неизвестно. Чтобы получить мажорантную оценку погрешности 166, нужно заменить на его наибольшее значение – единицу. В результате будем иметь:

.

Эта оценка согласуется с величиной погрешности 147, вычисленной «в лоб».

1. О сходимости интерполяционного процесса.

Поставим вопрос, будут ли сходится интерполяционные полиномы к интерполируемой функции на отрезке при неограниченном возрастании числа узлов .

Упорядоченное множество точек , 131 назовем сеткой на отрезке и обозначим для краткости . Рассмотрим последовательность сеток с возрастающим числом узлов:

и отвечающую ей последовательность интерполяционных полиномов , построенных для фиксированной непрерывной на отрезке функции .

Интерполяционный процесс для функции сходится в точке , если существует предел

.

Наряду с обычной сходимостью часто рассматривается сходимость в различных нормах. Так, равномерная сходимость на отрезке означает, что

при .

Сходимость или расходимость интерполяционного процесса зависит как от выбора последовательности сеток, так и от гладкости функции . Если - целая аналитическая функция, то при произвольном расположении узлов на отрезке интерполяционный многочлен равномерно сходится к при .

Положение резко меняется, если производные функции разрывны или не существуют в отдельных точках. Например для функции на отрезке , покрытом равномерной сеткой узлов, значения между узлами интерполяции неограниченно возрастают при . Вместе с тем, для заданной непрерывной функции за счет выбора сеток можно добиться сходимости и притом равномерной на . Однако построение таких сеток довольно сложно и, главное, такие сетки «индивидуальны» для каждой конкретной функции.

Если заметить дополнительно, что объем вычислений при построении интерполяционного полинома быстро нарастает с ростом , то становится понятно, что на практике вычислители избегают пользоваться интерполяционными полиномами высокой степени. Вместо этого, в случае необходимости, при больших значениях используется кусочно-полиномиальная интерполяция, которую мы обсудим в следующем параграфе.

1. Интерполяционный полином Эрмита.

Расширим постановку задачи об интерполяции. Ранее полагалось, что в узлах интерполяции заданы только значения функции . Пусть теперь в узлах , среди которых нет совпадающих, заданы значения функции , и её производных до -го порядка включительно. Числа при этом называют кратностью узла . В каждой точке , таким образом, задано величин:

.

В общей сложности на всей совокупности узлов известно величин, что дает возможность ставить вопрос о построении полинома степени

, 168168\* MERGEFORMAT ()

удовлетворяющего требованиям:

, , . 169169\* MERGEFORMAT ()

Такой полином называется интерполяционным полиномом Эрмита для функции . Рассмотренный ранее вариант построения интерполяционного полинома по известным значениям функции в узлах интерполяции является частным случаем построения полинома Эрмита при условии, что все узлы простые: , .

Докажем, что интерполяционный полином Эрмита существует и является единственным. Представим его в стандартном виде

.

Наше утверждение будет справедливо, если показать, что коэффициенты определяются из условий 169 и притом единственным образом. Условия 169 представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно этих коэффициентов, причем число уравнений и число неизвестных равны .

Рассмотрим соответствующую однородную систему

, , . 170170\* MERGEFORMAT ()

Уравнения 170 просто указывают на то, что числа являются корнями полинома кратности . Мы видим, таким образом, что полином имеет, с учетом кратности, не менее корней. Поскольку его степень равна , то он должен тождественно равняться нулю. Это означает, что , т.е. однородная система уравнений 170 имеет только тривиальное решение. Отсюда следует, что неоднородная система 169 при любой правой части разрешима и при том единственным образом.

Исследование погрешности интерполирования полинома Эрмита почти дословно повторяет проведенное ранее исследование для полинома с простыми узлами , в которых заданы только . Достаточно представить в виде

, 171171\* MERGEFORMAT ()

где

, 172172\* MERGEFORMAT ()

и рассмотреть функцию

.

Применяя теорему Ролля к функции и ее производным с учетом кратности корней в узлах и условия придем к формуле

, 173173\* MERGEFORMAT ()

которая по существу повторяет формулу 165. С ее помощью можно написать оценку типа 166:

, 174174\* MERGEFORMAT ()

где - максимальное значение модуля функции 167. Здесь полином 172 является обобщением полинома 162 на случай кратных корней.

Построение полинома Эрмита в общем случае при произвольном числе узлов и их кратности приводит к довольно громоздким выражениям и редко используется. Поэтому мы ограничимся двумя примерами, встречающимися на практике.

Характеристики

Список файлов лекций