Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

. 211211\* MERGEFORMAT ()

Таким образом, в нашей задаче:

, , .

Остальные коэффициенты сплайна находятся по формулам 190, 204, 205:

, ; , ; , .

Теперь можно выписать кубические полиномы, определяющие сплайн:

212212\* MERGEFORMAT ()

Легко проверить, что построенная таким образом функция непрерывна вместе с первой и второй производной во внутренней узловой точке .

В заключение вычислим значение сплайна в точке , т. е. подсчитаем приближенно :

, . 213213\* MERGEFORMAT ()

Значительная погрешность обусловлена прежде всего большим шагом . Определенную роль играют также условия S4:

. 214214\* MERGEFORMAT ()

Вторая производная рассматриваемой функции в точках в ноль не обращается, т. е. условие 214 дает о ней искаженную информацию. Если учесть при построении сплайна истинные значения функции в точках , то точность аппроксимации улучшится.

1. Сходимость и точность интерполирования сплайнами.

При обсуждении эффективности численного метода в первую очередь обращают внимание на две характеристики:

1. Условие сходимости метода (сходимость).

Речь идет о минимальных по возможности ограничениях, при которых приближенное решение задачи стремится к точному решению задачи.

Сходимость означает, что данный метод в принципе позволяет найти решение задачи с любой степенью точности.

1. Скорость сходимости (точность).

Это характеристика близости приближенного решения к точному (характеристика скорости убывания погрешности) при некоторых дополнительных ограничениях.

Посмотрим как решаются эти вопросы в теории сплайнов.

Итак, на сегменте задана функция и построена сетка

.

Введем в рассмотрение величину

. 215215\* MERGEFORMAT ()

Приведем без доказательства две теоремы.

Теорема 1. Пусть непрерывна на сегменте , тогда для любого можно указать такое, что при любой сетке, удовлетворяющей условию справедливо неравенство

, 216216\* MERGEFORMAT ()

иными словами при равномерно сходится к непрерывной функции .

Теорема 2. Пусть имеет на сегменте четыре непрерывных производных и дополнительно удовлетворяет условию . Тогда имеют место неравенства (оценки):

, 217217\* MERGEFORMAT ()

, 218218\* MERGEFORMAT ()

, 219219\* MERGEFORMAT ()

. 220220\* MERGEFORMAT ()

1. Метод наименьших квадратов.

Mетод наименьших квадратов был предложен Гауссом и Лежандром в конце XVIII - начале XIX веков в связи с проблемой обработки экспериментальных данных. В этом случае задача построения функции непрерывного аргумента по дискретной информации 131, 132 характеризуется двумя особенностями:

1. Число точек , в которых проводятся измерения, обычно бывает достаточно большим.

2. Значения функции 132 в точках сетки 131 определяются приближенно в связи с неизбежными ошибками измерения.

С учетом этих обстоятельств строить функцию в виде суммы большого числа слагаемых 133 и добиваться ее точного равенства в точках сетки величинам , как это делалось при интерполировании, становится нецелесообразным.

В методе наименьших квадратов аппроксимирующая функция ищется в виде суммы, аналогичной 133, но содержащей сравнительно небольшое число слагаемых

, 221221\* MERGEFORMAT ()

в частности, возможен вариант .

Предположим, что мы каким-то образом выбрали коэффициенты , тогда в каждой точке сетки , можно подсчитать погрешность

. 222222\* MERGEFORMAT ()

Сумма квадратов этих величин называется суммарной квадратичной погрешностью

. 223223\* MERGEFORMAT ()

Она дает количественную оценку того, насколько близки значения функции 221 в точках сетки к величинам .

Меняя значения коэффициентов , мы будем менять погрешность , которая является их функцией. В результате естественно возникает задача:

Найти такой, набор коэффициентов , при которых суммарная квадратичная погрешность оказывается минимальной.

Функцию 221 с набором коэффициентов, удовлетворяющих этому требованию, называют наилучшим приближением по методу наименьших квадратов.

Построение наилучшего приближения сводится к классической задаче математического анализа об экстремуме функции нескольких переменных. Метод решения этой задачи известен. Необходимым условием экстремума является равенство нулю в экстремальном точке всех первых частных производных рассматриваемой функции. В случае 223 это дает

. 224224\* MERGEFORMAT ()

Оставим члены, содержащие , слева и поменяем в них порядок суммирования по индексам и . Члены, содержащие , перенесем направо. В результате уравнения 224 примут вид

, 225225\* MERGEFORMAT ()

где

, 226226\* MERGEFORMAT ()

. 227227\* MERGEFORMAT ()

Мы получили систему линейных алгебраических уравнений 225, в которой роль неизвестных играют искомые коэффициенты разложения . Число уравнении и число неизвестных в этой системе совпадает и равно . Матрица коэффициентов системы Г состоит из элементов , которые определяются формулой 226. Ее называют матрицей Грама для системы функций на сетке 131. Отметим, что матрица Грама является симметричной: для ее элементов, согласно 226, справедливо равенство . Числа , стоящие в правой части уравнений 225, вычисляются по формуле 227 через значения сеточной функции 132.

Предположим, что функции выбраны такими, что определитель матрицы Грама, отличен от нуля:

. 228228\* MERGEFORMAT ()

В этом случае при любой правой части система 225 имеет единственное решение

. 229229\* MERGEFORMAT ()

Рассмотрим наряду с набором коэффициентов 229, полученных в результате решения системы 225, любой другой набор коэффициентов . Представим числа в виде

230230\* MERGEFORMAT ()

и сравним значения суммарной квадратичной погрешности для функций 221, построенных с помощью коэффициентов 229 и 230.

Квадрат погрешности и точке для функции 221 с коэффициентами 230 можно записать в виде

231231\* MERGEFORMAT ()

Здесь в среднем слагаемом мы заменили в одной из сумм индекс суммирования на , чтобы не использовать один и тот же индекс в двух разных суммах и иметь возможность перемножить их почленно.

Чтобы получить суммарную квадратичную погрешность, нужно просуммировать выражения 231 для по индексу Первые слагаемые не содержат . Их сумма дает погрешность , вычисленную для функции 221 с коэффициентами 229 .

Рассмотрим теперь сумму вторых слагаемых, которые зависят от линейно:

232232\* MERGEFORMAT ()

Здесь мы поменяли местами порядок суммирования и воспользовались тем, что коэффициенты , удовлетворяют системе уравнений 225.

С учетом 232 будем иметь

233233\* MERGEFORMAT ()

Формула 233 показывает, что функция 221 с коэффициентами 230, полученными в результате решения уравнений 225, действительно минимизирует суммарную квадратичную погрешность . Если мы возьмем любой другой набор коэффициентов 230, отличный от 229, то согласно формуле 233 к погрешности добавится положительное слагаемое и она увеличится.

Итак, чтобы построить наилучшее приближение 221 сеточной функции 131, 132 по методу наименьших квадратов, нужно взять в качестве коэффициентов разложения решение системы линейных уравнений 225.

Задача 7

Сеточная функция задана таблицей 1

.

Таблица 1:

Построить линейную функцию

, 234234\* MERGEFORMAT ()

которая дает для нее наилучшее приближение по методу наименьших квадратов.

В рассматриваемом случае имеем:

.

Для определения коэффициентов и составим систему уравнений 225. Элементы матрицы Грама вычисляются по формуле 226

,

,

.

Числа и , стоящие в правой части уравнений 225, находим по формуле 227

,

.

В результате система 225 принимает в рассматриваемом случае вид

235235\* MERGEFORMAT ()

Определитель системы 235 , так что система имеет единственное решение

.

В результате мы получаем следующую линейную аппроксимацию рассматриваемой табличной функции

. 236236\* MERGEFORMAT ()

Теперь, когда функция 236 построена, можно подсчитать погрешность аппроксимации в точках сетки:

, .

В результате получаем

. 237237\* MERGEFORMAT ()

Отметим, что наибольшая по модулю погрешность достигается в точке : , .

В заключение сделаем важное замечание. Обычно бывает известна точность , с которой задаются значения функции . Например, если речь идет об экспериментальных данных, то ошибка в определении зависит от методики проведения измерений и точности приборов.

Предположим, что в разобранном примере числа заданы с точностью . В этом случае построенная линейная функция согласуется с доступной нам информацией о функции : погрешности 237 по модулю не превышают . В результате мы можем утверждать, что в пределах точности задания таблицы зависимость от можно принять линейной.

Это видно на рис.4. На нем показаны точки , соответствующие рассматриваемой таблице. Для каждой из них указан доверительный интервал , в пределах которого может реально находится значение функции с учетом точности задания величины . Прямая 236 везде проходит внутри доверительных интервалов, что подтверждает сделанный выше вывод.

Рассмотрим теперь противоположный случай: будем считать, что величины заданы с более высокой точностью . При такой точность построенная линейная аппроксимация 236 не согласуется с данными таблицы: погрешность аппроксимации 237 превышает по модулю . В этом случае нужно либо увеличить число членов в разложении функции , добавив к линейной функции квадратичный член , либо заменить систему функций , по которым ведется разложение, на какую-нибудь другую.

1. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

23814Equation Chapter 4 Section 1

1. Формула Ньютона-Лейбница и численное интегрирование.

Из курса математического анализа Вы знакомы с вычислением определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница

. 239239\* MERGEFORMAT ()

Характеристики

Список файлов лекций