Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Выражая из первого соотношения , из второго , получим окончательные расчетные формулы для компонент очередной итерации:

Примем, как и в предыдущих случаях, за начальное приближение нулевой вектор и сделаем три итерации. При этом для каждой из них подсчитаем невязку 72, позволяющую следить за сходимостью процесса

, , ,

, , ,

, , .

Поведение невязок, а также сравнение членов итерационной последовательности с точным решением системы показывают сходимость процесса, более быструю, чем в методе Зейделя. Выбранное значение параметра оказалось близким к оптимальному .

1. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ.

13013Equation Chapter 3 Section 1Пусть на отрезке определена некоторая функция однако полная информация о ней недоступна. Известны лишь ее значения в конечном числе точек этого отрезка, которые мы будем считать занумерованными в порядке возрастания:

. 131131\* MERGEFORMAT ()

Требуется по известным значениям

, 132132\* MERGEFORMAT ()

«восстановить», хотя бы приближенно, исходную функцию то есть построить на отрезке функцию , достаточно близкую к . Функцию принято называть интерполирующей функцией, точки - узлами интерполяции.

Подобные задачи часто возникают на практике, например, при обработке экспериментальных данных, когда значения переменной , зависящей от , измеряется в конечном числе точек : , или при работе с табличными функциями, если требуется вычислить при значениях аргумента , не совпадающего ни с одним из табличных .

Поставленный выше в общей форме вопрос о приближении функций является достаточно сложным. Существует не один подход к его решению. Мы ограничимся изложением трех наиболее распространенных методов.

1. Интерполирование.

   1. Классическая постановка задачи интерполирования.

Выберем некоторую систему функций , заданных на отрезке , и будем строить как их линейную комбинацию:

, 133133\* MERGEFORMAT ()

где числовые коэффициенты подлежат определению, согласно условиям:

, . 134134\* MERGEFORMAT ()

Равенства 134 представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов :

,

или в развернутом виде:

. 135135\* MERGEFORMAT ()

Для того, чтобы коэффициенты можно было определить и притом единственным образом, необходимо и достаточно, чтобы определитель полученной системы линейных уравнений был отличен от нуля:

. 136136\* MERGEFORMAT ()

Определение.

Система функций удовлетворяющая при фиксированных значениях условию 136, называется Чебышевской.

Очевидно, что для однозначной разрешимости задачи интерполирования в классической постановке необходимо и достаточно, чтобы система функций была Чебышевской. Только такие системы функций мы и будем использовать в этой главе. Необходимым условием принадлежности системы функций к Чебышевской является их линейная независимость. Однако это условие не является достаточным. Например, для системы из двух линейно независимых функций , с узлами интерполяции определитель

и данная система функций при выбранных значениях и не является Чебышевской.

1. Интерполирование полиномами.

При построении интерполирующей функции в виде 133 функции , естественно, выбираются такими, чтобы их вычисление было простым. В частности, широкое распространение получило интерполирование с помощью степенных функций:

.

В этом случае интерполирующая функция представляет собой полином степени :

137137\* MERGEFORMAT ()

с неизвестными коэффициентами .

Согласно рассмотренной выше общей схеме построения интерполирующей функции, следует потребовать, чтобы коэффициенты с учетом 137 удовлетворяли системе линейных уравнений:

, . 138138\* MERGEFORMAT ()

Определителем этой системы является определитель Ван-дер- Монда:

.

В нашем случае этот определитель отличен от нуля, поскольку, согласно 131, все узлы интерполирования различны между собой. Итак, интерполирование с помощью полиномов при сделанных в начале главы предположениях всегда осуществимо и притом единственным образом.

Задача 1.

Построить линейный полином

по заданным узлам интерполяции и соответствующим им значениям функции

и .

Линейная система уравнений для определения и в данном случае имеет вид:

,

.

Определитель этой системы равен . Решив систему, получим:

.

Следовательно,

. 139139\* MERGEFORMAT ()

Перепишем этот полином в несколько другой форме, выделяя и в качестве множителей

. 140140\* MERGEFORMAT ()

Геометрический образ интерполирующей функции - прямая, проходящая на плоскости через точки с координатами и . Уравнение этой прямой, наряду с 139 и 140, можно переписать в виде:

. 141141\* MERGEFORMAT ()

Из данного примера видно, что всегда существуют различные эквивалентные между собой формы записи интерполяционного полинома, удобные в различных ситуациях.

1. Построение интерполяционного полинома в форме Лагранжа.

Интерполяционный полином первой степени 139 мы построили, решая напрямую систему двух уравнений с двумя неизвестными - коэффициентами и . Однако решить таким же образом систему 138 при произвольном технически очень сложно. Проще сделать это с помощью специальных методов, учитывающих особенности рассматриваемой задачи. Один из таких методов, принадлежащих Лагранжу, мы и рассмотрим в этом разделе.

Представим искомый полином в виде:

, 142142\* MERGEFORMAT ()

где полиномы степени , «ориентированные» на точки в том смысле, что

143143\* MERGEFORMAT ()

Такие полиномы легко построить:

144144\* MERGEFORMAT ()

или в развернутом виде:

145145\* MERGEFORMAT ()

Иногда нам будет удобно записывать в виде:

.

Из выражения 142 и формул 143 очевидно, что построенный полином действительно является интерполяционным полиномом для функции на сетке с узлами . Его принято называть интерполяционным полиномом в форме Лагранжа. Этим подчеркивается, что возможны и другие эквивалентные представления интерполяционного полинома . С одним из них мы познакомимся в следующем разделе.

В заключение отметим, что из трех различных представлений интерполяционного полинома первой степени 139- 141 формула 140 дает его запись в форме Лагранжа.

Задача 2.

Написать интерполяционный полином второй степени для функции по ее значениям в трех точках: , , . Вычислить с помощью этого полинома приближенное значение синуса в точке , сравнить полученный результат с точным значением синуса и подсчитать погрешность .

Воспользуемся для записи полинома формулой Лагранжа 142. В рассматриваемом случае , так что в формуле останется только два слагаемых соответствующих точкам и . В результате получим:

146146\* MERGEFORMAT ()

Перейдем к выполнению второй части задания. Вычислим с помощью интерполяционного полинома 146 приближенное значения синуса в точке и подсчитаем погрешность:

, . 147147\* MERGEFORMAT ()

На рис. 1 приведены для сравнения графики функций (сплошная линия) и (пунктир).

1. Интерполяционный полином в форме Ньютона.

Интерполяционный полином в форме Лагранжа, несмотря на своё изящество, неудобен для вычислений тем, что при увеличении числа узлов интерполяции приходится перестраивать весь полином заново.

Перепишем интерполяционный полином Лагранжа в иной, эквивалентной форме

, 148148\* MERGEFORMAT ()

где - полиномы Лагранжа степени , соответствующие узлам интерполирования . В частности, - полином нулевой степени.

Полином

149149\* MERGEFORMAT ()

имеет степень и по построению обращается в ноль при поэтому его можно представить в виде

, 150150\* MERGEFORMAT ()

где - числовой коэффициент при . Поскольку не содержит степени , то просто совпадает с коэффициентом при в полиноме . Согласно 142 и 145 его можно записать в виде

, 151151\* MERGEFORMAT ()

где

. 152152\* MERGEFORMAT ()

При этом

. 153153\* MERGEFORMAT ()

Формулы 149 и 151 позволяют написать рекуррентное соотношение для полинома :

. 154154\* MERGEFORMAT ()

Выражая аналогичным образом по индукции через , через и т. д., получим окончательную формулу для полинома :

155155\* MERGEFORMAT ()

Представление 155 удобно для вычислителя, поскольку увеличение на единицу требует только добавления к «старому» многочлену одного дополнительного слагаемого. Такое представление интерполяционного полинома называют интерполяционным полиномом в форме Ньютона.

Из трех эквивалентных представлений интерполяционного полинома первой степени 139 - 141 формула 141 дает его запись в форме Ньютона.

Задача 3.

Написать интерполяционный полином второй степени в форме Ньютона для функции по ее значениям в трех точках: , , (см. задачу 2).

Согласно формуле 155

. 156156\* MERGEFORMAT ()

Коэффициенты в этом разложении вычисляются по формулам 151 и153:

, , . 157157\* MERGEFORMAT ()

Характеристики

Список файлов лекций