Д.П. Костомаров, А.П. Фаворский - Вводные лекции по численным методам (doc) (1113731), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

где - любая первообразная подынтегральной функции на отрезке . Формула Ньютона-Лейбница играет важную роль, устанавливая связь задачи определенного интегрирования с задачей отыскания первообразной (с задачей неопределенного интегрирования). Она позволяет вычислять интегралы от элементарных функций, первообразные которых тоже являются элементарными функциями. Например,

. 240240\* MERGEFORMAT ()

Однако существует много простых функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. В качестве примера можно привести такие функции как или . Для них описанный способ вычисления определенных интегралов неприменим. Формула Ньютона-Лейбница не позволяет также вычислять интегралы от функций, которые задаются графиком или таблицей. Иными словами, она не дает общего, универсального метода нахождения определенного интеграла от произвольной функции по ее значениям на отрезке , она не является алгоритмом решения рассматриваемой задачи.

Универсальные алгоритмы вычисления определенных интегралов дают формулы численного интегрирования или, как их обычно называют, квадратурные формулы (буквально формулы вычисления площадей). Квадратурные формулы имеют вид:

. 241241\* MERGEFORMAT ()

Здесь точки называют узлами, коэффициенты -весовыми множителями или просто весами, величину - остаточным членом или погрешностью. Узлы и веса подбираются таким образом, чтобы выполнялось предельное равенство:

, так что . 242242\* MERGEFORMAT ()

Суть этого требования заключается в следующем. Если пренебречь в формуле 241 остаточным членом , то получится приближенное равенство:

. 243243\* MERGEFORMAT ()

Условие 242, которое называют сходимостью, позволяет сделать погрешность в равенстве 243 меньше любого наперед заданного числа за счет выбора достаточно большого .Таким образом, открывается возможность вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью по значениям функции , взятым в разных точках отрезка . Чем выше требование точности, тем больше слагаемых приходится удерживать в сумме. За точность приходится платить увеличением объема вычислений.

В заключение сделаем следующее замечание. Подставляя в формулу 241 функцию , получим:

.

Обычно весовые коэффициенты подбираются таким образом, чтобы выполнялось равенство:

,

т. е., чтобы при интегрировании константы равенство 243 было не приближенным, а точным.

В следующих параграфах этой главы мы обсудим методы построения квадратурных формул и с разных сторон разберем проблему оценки их точности.

1. Квадратурные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона.

   1. Квадратурные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона и их особенности.

С квадратурными формулами прямоугольников, трапеций, Симпсона Вы уже встречались в курсе математического анализа, поэтому их вывод будет изложен конспективно.

Возьмем произвольное целое число и разобьем отрезок , по которому ведется интегрирование, на равных отрезков длиной

точками

. 244244\* MERGEFORMAT ()

Для дальнейшего нам также понадобятся средние точки этих отрезков

. 245245\* MERGEFORMAT ()

Идея вывода формулы прямоугольников очень проста. Построим с помощью проведенного разбиения интегральную сумму, в которой значения функции для каждого отрезка вычисляются в его средней точке 245:

. 246246\* MERGEFORMAT ()

Принимая во внимание то, что интегральная сумма дает приближенное значение интеграла, можно написать:

. 247247\* MERGEFORMAT ()

В квадратурной формуле 247 узлами являются точки 245, все весовые множители одинаковы и равны . Для остаточного члена введено специальное обозначение .

Формулу 247 называют формулой прямоугольников. Причина такого названия имеет простой геометрический смысл. Величина 246 представляет собой сумму площадей прямоугольников с одинаковыми основаниями и высотами . Она аппроксимирует с точностью до площадь криволинейной трапеции, соответствующей исходному интегралу (см. рис. 1).

Идея вывода квадратурных формул трапеций и Симпсона иная. Она заключается в том, чтобы сопоставить подынтегральной функции близкую ей функцию , которую можно проинтегрировать, и приближенно заменить искомый интеграл интегралом от этой функции.

Рассмотрим, как данная идея реализуется при выводе формулы трапеций. В этом случае в качестве аппроксимирующей функции берется кусочно – линейная функция. На каждом из частичных сегментов она задается формулой

, 248248\* MERGEFORMAT ()

.

В граничных точках отрезка и функция принимает те же значения, что и функция :

, 249249\* MERGEFORMAT ()

т. е. она осуществляет кусочно – линейную интерполяцию функции на отрезке (см. рис. 2).

Вычислим интеграл:

. 250250\* MERGEFORMAT ()

Этот результат имеет простой геометрический смысл: фигура ограниченная снизу отрезком оси , сверху отрезком прямой 248, с боков вертикальными прямым и , представляет собой трапецию, площадь которой дается формулой 250.

Интеграл от функции по всему отрезку является суммой интегралов 250

251251\* MERGEFORMAT ()

Он дает приближенное значение интеграла :

, 252252\* MERGEFORMAT ()

В квадратурной формуле 252 узлами являются точки 244. Все весовые коэффициенты, кроме двух, одинаковы и равны , а весовые коэффициенты при и имеют значения в два раза меньше. Для остаточного члена введено специальное обозначение . Формулу 252 называют квадратурной формулой трапеций. С точностью до она выражает площадь криволинейной трапеции, соответствующую интегралу , через сумму площадей трапеций 250 (см. рис. 2).

Формула 246 для величины изначально строилась как интегральная сумма. При выводе формулы 251 для величины понятие интегральной суммы не использовалась. Однако теперь, когда формула уже получена, видно, что величину тоже можно интерпретировать как интегральную сумму. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим разбиение отрезка на частичные отрезки точками 245. Оно дает отрезок. Два крайних и имеют длину , а остальные - длину . Выберем для образования интегральной суммы на крайних отрезках значения функции в точках и , а на остальных отрезках - значения функции в их средних точках . Образованная таким образом интегральная сумма соответствует выражению 251 для .

Вывод квадратурной формулы Симпсона развивает описанный подход дальше. Теперь для аппроксимации функции используется не кусочно – линейное, а кусочно – квадратичное интерполирование.

Будем считать четным и сгруппируем отрезки парами: первая пара , , вторая пара , и т. д. Для каждого двойного отрезка построим интерполяционный полином второй степени в форме Лагранжа, принимающий в узлах , , значения функции . В результате получим аппроксимирующую функцию на отрезке в виде кусочно – квадратичной функции:

253253\* MERGEFORMAT ()

Проинтегрировав полином второй степени 253 по отрезку , получим

, . 254254\* MERGEFORMAT ()

Интеграл от функции по всему отрезку равен сумме интегралов 254

255255\* MERGEFORMAT ()

(Напомним, что число должно быть обязательно четным.) Величина 255 дает приближенное значение интеграла :

. 256256\* MERGEFORMAT ()

Узлами квадратурной формулы 255, как и формулы трапеций 252, являются точки 244. Весовые коэффициенты в узлах с четными и нечетными номерами имеют разные значения. Для остаточного члена введено обозначение . Формула 256 называется квадратурной формулой Симпсона.

Представление 255 для как и представление 251 для , также можно рассматривать как интегральную сумму. Для ее построения нужно разбить отрезок на частичный отрезок с помощью внутренних точек

, , 257257\* MERGEFORMAT ()

и двух граничных точек

и . 258258\* MERGEFORMAT ()

В результате получаются отрезки , различной длины. Два крайних отрезка и имеют длину . Отрезки, в центре которых лежат точки с четными номерами, - длину , отрезки, в центре которых лежат точки с нечетными номерами, – длину .

Для построения интегральной суммы, соответствующей данному разбиению, возьмем для крайних отрезков значения функции в точках и , для остальных отрезков – значение функции в их средних точках . В результате получим интегральную сумму в виде выражения 255. Разные длины частичных отрезков приводит к своеобразному чередованию коэффициентов в виде двоек, четверок и единиц в крайних точках.

Заканчивая обсуждение формул 251 для и 255 для , установим полезную для дальнейшего связь между этими величинами

Характеристики

Список файлов лекций