Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Здесь , - две точки отрезка , причем нижний предел интегрирования предполагается фиксированным, верхний - переменным. В случае непрерывной функции функция , определенная с помощью интеграла 344, является дифференцируемой и ее производная равна :

. 345345\* MERGEFORMAT ()

Формула 344 в сочетании с какой-нибудь формулой численного интегрирования, например, Симпсона, представляет собой универсальный алгоритм построения первообразной. Приведем два примера, иллюстрирующие этот алгоритм.

Функция непрерывна и, следовательно, имеет первообразные. Они не могут быть выражены через элементарные функции, но представление в виде интеграла с переменным верхним пределом для них справедливо. Одну из первообразных мы получим, выбирая нижний предел интегрирования . Ее называют интегральным синусом и обозначают

.

Интегральный синус определен на всей числовой прямой, является нечетной функцией , имеет конечные предельные значения на бесконечности

.

Согласно 345

.

По знаку производной легко определить области возрастания и убывания функции, разделенные точками экстремума . Методы численного интегрирования позволяют вычислить значения при любом . График интегрального синуса при приведен на рис. 3.

В качестве второго примера рассмотрим функцию ошибок , играющую важную роль в теории вероятности. Ее обозначение образовано с помощью первых букв английского названия функции ошибок – error function. Подобно интегральному синусу, функция ошибок вводится в виде интеграла с переменным пределом от функции , которая не имеет первообразных в классе элементарных функций:

.

Функция ошибок определена на всей числовой прямой, является нечетной функцией , имеет конечные предельные значения на бесконечности:

.

Согласно 345

.

Производная всюду положительная, следовательно, функция ошибок монотонно возрастает. Ее график приведен на рис. 4.

1. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОБЫКНОВЕНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

34615Equation Chapter 5 Section 1

Наиболее универсальными методами численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений являются разностные методы. Они основаны на замене производных в дифференциальном уравнении разностными отношениями. В результате исходное дифференциальное уравнение сводится к системе алгебраических уравнений, которые называются разностными. Решение этой системы дает приближенное решение исходной задачи.

1. Разностная аппроксимация производных.

   1. Сеточные функции.

Пусть на отрезке задан набор точек

. 347347\* MERGEFORMAT ()

Будем называть его сеткой. Чтобы не усложнять изложения, условимся считать сетку равномерной:

, . 348348\* MERGEFORMAT ()

Пусть каждой точке сетки сопоставлено по определенному закону число . Совокупность этих чисел назовем сеточной функцией. Сеточные функции, определенные на сетке 347, образуют -мерное линейное пространство.

Чтобы иметь возможность сравнивать сеточные функции между собой, говорить об их близости, нужно ввести в этом пространстве норму. В этой главе мы будем пользоваться нормой , которая определяется следующим образом:

. 349349\* MERGEFORMAT ()

Это определение законно, поскольку удовлетворяет трем аксиомам нормы:

1. Норма неотрицательна

,

причем равенство нулю имеет место только для нулевого элемента.

1. Модуль числового множителя можно вынести за знак нормы

.

1. Неравенство треугольника

. 350350\* MERGEFORMAT ()

Справедливость последнего утверждения вытекает из свойства максимума:

.

1. Разностные аппроксимации первой производной.

Для сеточных функций нельзя ввести обычное понятие производной, включающее операцию предельного перехода при . Вместо производной здесь вводятся разностные отношения:

, ; 351351\* MERGEFORMAT ()

, ; 352352\* MERGEFORMAT ()

, . 353353\* MERGEFORMAT ()

Отношение 351 называют правой разностной производной, отношение 352 – левой разностной производной и отношение 353 – центральной разностной производной.

Чтобы установить связь разностных отношений 351 – 353 с обычной производной, предположим, что на отрезке определена дифференцируемая функция , значения которой в точках сетки 347 равны значениям рассматриваемой сеточной функции: . Вычислим первую производную функции в точках и сопоставим с разностными отношениями 351 – 353:

, ; 354354\* MERGEFORMAT ()

, ; 355355\* MERGEFORMAT ()

, . 356356\* MERGEFORMAT ()

Эти величины представляют собой погрешности аппроксимации производной с помощью разностных отношений 351 – 353 в точке .

Предположим, что функция дважды непрерывно дифференцируема на отрезке и запишем для нее формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

, 357357\* MERGEFORMAT ()

где какое-то неизвестное нам число между нулем и единицей. Подставляя разложение 357 в формулу 354, получим

. 358358\* MERGEFORMAT ()

Аналогичное представление можно получить для величины 355

. 359359\* MERGEFORMAT ()

Формулы 358 и 359 не позволяют вычислить соответствующие погрешности, но дают возможность их оценить. Функция , по предположению, непрерывна на отрезке , и, следовательно, ограничена:

, . 360360\* MERGEFORMAT ()

В результате получаем

, . 361361\* MERGEFORMAT ()

Оценки 361 являются равномерными, поскольку не зависят от индекса . Таким образом, левое и правое разностное отношение аппроксимируют производную с первым порядком точности относительно .

Для оценки 356 предположим, что функция три раза непрерывно дифференцируема на отрезке и продолжим разложение 357 еще на один член

362362\* MERGEFORMAT ()

Подставляя разложения 362 в формулу 356, будем иметь

. 363363\* MERGEFORMAT ()

По предположению функция непрерывна и, следовательно, ограничена на отрезке :

, . 364364\* MERGEFORMAT ()

В результате из равенства 363 получим оценку

. 365365\* MERGEFORMAT ()

Оценка 365, как и раньше 361, не зависит от индекса , она является равномерной. Таким образом, центральная разностная производная дает более хороший результат: она аппроксимирует производную со вторым порядком точности относительно для функций, трижды непрерывно дифференцируемых на отрезке .

Задача 1.

Рассмотреть функцию на сетке

, , . 366366\* MERGEFORMAT ()

Вычислить в точке правую, левую и центральную разностные производные, найти погрешности аппроксимации производной , сравнить их с априорными оценками по формулам 361 и 365.

В данном случае

,

;

,

;

,

.

Перейдем к априорной оценке погрешности. Вторая и третья производные рассматриваемой функции имеют вид

, .

Для них на отрезке справедливы оценки

, .

Так что неравенства 361 и 365 запишутся следующим образом

, , .

Они выполняются.

1. Разностная аппроксимация второй производной.

Для разностной аппроксимации второй производной составим разностное отношение первых разностных производных

. 367367\* MERGEFORMAT ()

Чтобы установить связь выражения 367 со второй производной, предположим, что на отрезке определена дважды непрерывно дифференцируемая функция , значения которой в точках сетки 347 дают значения сеточной функции . Вычислим ее вторую производную в точках сетки и составим разность

, . 368368\* MERGEFORMAT ()

Она представляет собой погрешность аппроксимации второй производной с помощью разностного отношения второго порядка 367.

Оценим величину погрешности при предположении, что функция четыре раза непрерывно дифференцируема на отрезке . Это предположение позволяет написать разложения Тейлора

369369\* MERGEFORMAT ()

Подставляя их в формулы 367, 368, получим

. 370370\* MERGEFORMAT ()

Мы не можем вычислить погрешность по этой формуле, поскольку значения аргументов у функции нам неизвестны, но можем ее оценить. Функция непрерывна и, следовательно, ограничена на отрезке

, . 371371\* MERGEFORMAT ()

В результате из формулы 370 получаем

. 372372\* MERGEFORMAT ()

Таким образом, разностное отношении 367 аппроксимирует вторую производную со вторым порядком точности относительно для функций, имеющих четыре непрерывные производные на отрезке . Совершенно аналогично можно строить разностные аналоги производных более высокого порядка.

Задача 2.

Для функции вычислить на сетке 366 вторую разностную производную в точке . Найти погрешность аппроксимации второй производной и сравнить результат с априорной оценкой 372.

Характеристики

Список файлов лекций