Д.П. Костомаров, А.П. Фаворский - Вводные лекции по численным методам (doc) (1113731), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Задача 5.

Построить решение задачи Коши 397, 398 на отрезке с шагом по схеме Адамса второго 439 и четвертого 446 порядка. Сравнить результаты расчетов между собой, с результатами расчетов по схеме Рунге-Кутта и с аналитическим решением задачи.

Результаты расчетов приведены в четвертом и пятом столбцах таблицы 2. В соответствии с заданием, нужно сравнивать четвертый столбец со вторым и шестым, а пятый – с третьим и шестым. Напомним, что в шестом столбце приведено аналитическое решение (53) рассматриваемой задачи, так что сравнение с ним позволяет судить о точности приближенного решения по схеме Рунге-Кутта и схеме Адамса.

Расчет по схеме Адамса второго порядка точности начинается с , четвертого - с . Значение в четвертом столбце, , , в пятом столбце рассчитывались по схеме Рунге-Кутта соответствующего порядка, поэтому в таблице они оказываются одинаковыми с соответствующими данными второго и третьего столбцов. Сравнение результатов проведенных расчетов двумя методами с аналитическим решением задачи показывает, что их точность примерно одинакова.

Сравним схемы четвертого порядка точности в методе Рунге-Кутта 430 и Адамса 446 с точки зрения организации вычислительного процесса. Чтобы сделать один шаг по методу Рунге-Кутта, необходимо вычислить функцию четыре раза 431, а в методе Адамса только один раз. В трех предшествующих точках функция была уже вычислена на предыдущих шагах и вычислять ее снова нет необходимости. В этом заключается главное достоинство метода Адамса, которое особенно высоко ценилось в докомпьютерную эру.

Главный недостаток метода Адамса мы уже отмечали: при его применении первые шаги приходится делать с помощью другого метода, например, с помощью метода Рунге-Кутта и только после этого можно перейти на расчет по схеме Адамса. Таким образом, программа решения задачи Коши по методу Адамса должна включать в себя как элемент программу метода Рунге-Кутта для расчета начальной стадии вычислительного процесса.

С этой особенностью метода Адамса связана еще одна проблема. При численном интегрировании дифференциального уравнения часто приходится менять шаг . В методе Рунге-Кутта это не составляет труда, поскольку каждый шаг делается независимо от предыдущего. В методе Адамса ситуация иная. Здесь нужно либо изначально программировать весьма сложные формулы расчета с переменным шагом, либо после каждой смены шага заново проводить расчет первых трех точек по методу Рунге-Кутта. Только после этого можно переходить на стандартный счет по методу Адамса. Эти недостатки приводят к тому, что сегодня при компьютернах расчетах предпочтение часто отдается более удобному методу Рунге-Кутта.

1. Численное решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка.

Рассмотрим следующую задачу для линейного дифференциального уравнения второго порядка:

449449\* MERGEFORMAT ()

450450\* MERGEFORMAT ()

Здесь два дополнительных условия заданы в граничных точках отрезка , поэтому задачу 449, 450 называют краевой.

Пусть функции и непрерывны на отрезке , причем

. 451451\* MERGEFORMAT ()

При сделанных предположениях, как известно из курса дифференциальных уравнений, решение задачи 449, 450 существует и является единственным.

Перейдем к обсуждению вопросов, связанных с его расчетом с помощью численного метода. Возьмем некоторое целое число , введем шаг и построим сетку

. 452452\* MERGEFORMAT ()

Заменим дифференциальное уравнение 449 его разностным аналогом. В результате получим следующую задачу:

, 453453\* MERGEFORMAT ()

454454\* MERGEFORMAT ()

Здесь , , граничные условия 454 для сеточной функции взяты такими же, что и в дифференциальной задаче.

Разностные уравнения 453 можно переписать в виде

. 455455\* MERGEFORMAT ()

Мы получили линейную систему из -го уравнения с -им неизвестным , . Значения и неизвестными не являются: они задаются граничными условиями 454.

Между разностными схемами для задачи Коши и для краевой задачи есть существенное различие. В первом случае для определения сеточной функции мы имели рекуррентные соотношения, которые позволяли последовательно рассчитать все ее значения. Такие разностные схемы называются явными. В краевой задаче 453, 454 сеточная функция определяется из решения системы линейных алгебраических уравнений. Такая разностная схема называется неявной.

Из записи разностных уравнений в форме 455 видно, что мы получили систему уравнений с трехдиагональной матрицей с диагональным преобладанием: диагональный элемент больше суммы двух других элементов той же строки, равной 2. Системы такого типа мы уже встречали в третьей главе в связи с задачей интерполяции кубическим сплайном. Диагональное преобладание гарантирует существование и единственность решения системы, которое может быть построено методом прогонки.

Перейдем к обсуждению основного вопроса: с какой точностью сеточная функция , полученная в результате решения задачи 453, 454, приближает решение краевой задачи 449, 450. Пусть решение исходной краевой задачи. Обозначим через его значения в узлах сетки и введем две сеточные функции: погрешность решения и погрешность аппроксимации уравнения

, 456456\* MERGEFORMAT ()

. 457457\* MERGEFORMAT ()

Выразим из соотношения 456 через и и подставим в разностное уравнение 453. Оставим члены, содержащие , слева, а остальные члены перенесем направо. В результате получим

, . 458458\* MERGEFORMAT ()

Граничные условия в дифференциальной и разностной задачах совпадают, так что значения сеточной функции в граничных точках будут нулевыми

. 459459\* MERGEFORMAT ()

Мы не можем рассчитать погрешность , решая задачу 458, 459, поскольку в правые части уравнений входят неизвестные величины и . Однако задача 458, 459 позволяет оценить погрешность.

Пусть максимальное по модулю число соответствует индексу :

, . 460460\* MERGEFORMAT ()

В граничных точках обращается в ноль 459, так что индекс не равен ни нулю, ни . Рассмотрим уравнение 458 для этого значения индекса и запишем его в виде:

. 461461\* MERGEFORMAT ()

Возьмем модуль от обеих частей равенства и оценим правую часть сверху

или

. 462462\* MERGEFORMAT ()

Здесь мы сократили одинаковые члены слева и справа, разделили обе части неравенства на множитель и заменили в знаменателе на минимально возможное значение функции на отрезке , равное 451. Таким образом нам удалось оценить погрешность решения через погрешность аппроксимации уравнения .

Для оценки погрешности аппроксимации уравнения предположим, что функции и дважды непрерывно дифференцируемы на отрезке . В этом случае уравнение 449 допускает двухкратное дифференцирование, что обеспечивает существование у решения краевой задачи 449, 450 четырех непрерывных производных и позволяет написать разложения

463463\* MERGEFORMAT ()

Подставляя их в формулу 457, получим следующее выражение для :

. 464464\* MERGEFORMAT ()

Выражение в первых фигурных скобках равно нулю в силу дифференциального уравнения 449. В результате в правой части формулы 464 остается только вторая группа членов, обязанная своим происхождением остаточным членам в разложениях 463. Оценим ее следующим образом. Функция непрерывна и, следовательно, ограничена на отрезке . Пусть

, 465465\* MERGEFORMAT ()

тогда из формул 462 и 464 получаем

, . 466466\* MERGEFORMAT ()

Мы видим, что разностная схема 453 обеспечивает второй порядок аппроксимации уравнения и, как следствие неравенства 462, второй порядок точности для погрешности решения.

Задача 6.

Рассмотреть на отрезке краевую задачу

, 467467\* MERGEFORMAT ()

. 468468\* MERGEFORMAT ()

Выписать и решить соответствующую разностную задачу с шагом . Сравнить решение разностной задачи с аналитическим решением

. 469469\* MERGEFORMAT ()

Система трех уравнений относительно , , с учетом нулевых граничных условий имеет вид

. 470470\* MERGEFORMAT ()

Решение системы 470, как и решение исходной дифференциальной задачи, симметрично относительно средней точки, так что . С учетом этой особенности система 470 сводится к системе двух уравнений с двумя неизвестными:

Характеристики

Список файлов лекций