Д.П. Костомаров, А.П. Фаворский - Вводные лекции по численным методам (doc) (1113731), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

В данном случае

,

.

Четвертая производная рассматриваемой функции и мажоранта для нее на отрезке имеют вид

, .

Так что неравенство 372 запишется следующим образом

.

Оно выполняется.

При численном интегрировании дифференциальных уравнений производные в них приближенно заменяются соответствующими разностными отношениями. В результате задача сводится к системе разностных уравнений, которые решаются на компьютере. В качестве ответа получается сеточная функция . После этого встает вопрос, в какой степени и с какой точностью ее можно рассматривать в качестве приближенного решения исходной задачи. Нужно иметь в виду, что прямое сравнение решения дифференциального уравнения и рассчитанной сеточной функции невозможно: они принадлежат разным пространствам и их, прежде всего, нужно свести в одно пространство. Это можно сделать двояко.

Во-первых, по сеточной функции с помощью методов интерполирования можно построить функцию непрерывного аргумента и оценить разность , например, в норме

.

Во-вторых, наоборот, решению дифференциального уравнения можно сопоставить сеточную функцию и сравнить между собой две сеточные функции и , составив их разность . При этом погрешность приближенного решения задачи будет характеризовать норма разности

.

Наиболее последовательным является первый путь, но обычно выбирают более простой - второй.

В следующих параграфах мы рассмотрим численное решение с помощью метода конечных разностей задачи Коши и краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка.

1. Численное решение задачи Коши.

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка

, 373373\* MERGEFORMAT ()

. 374374\* MERGEFORMAT ()

Если функция непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по аргументу в некоторой окрестности начальной точки , то можно указать такой отрезок , , на котором решение задачи 373, 374 существует и является единственным. В этом параграфе мы обсудим численные методы ее решения.

1. Метод Эйлера.

Пусть нам нужно построить решение задачи 373, 374 на отрезке длины . Возьмем некоторое целое число , введем шаг и образуем на отрезке сетку

, . 375375\* MERGEFORMAT ()

Сопоставим задаче 373, 374 на отрезке разностную задачу

, ; 376376\* MERGEFORMAT ()

. 377377\* MERGEFORMAT ()

Здесь мы заменили производную в уравнении 373 правой разностной производной и сохранили неизменным начальное условие 374.

Уравнение 376 является разностным уравнением первого порядка, которое принято называть схемой Эйлера. Его можно переписать в виде рекуррентного соотношения

, . 378378\* MERGEFORMAT ()

Это позволяет последовательно рассчитать все значения сеточной функции , решив тем самым задачу 376, 377. Такую разностную схему называют явной.

Перейдем теперь к обсуждению главного вопроса: с какой точностью рассчитанная сеточная функция дает решение исходной задачи Коши . Для ответа на него рассмотрим решение задачи 373, 374 в точках сетки 375, образуя из функции непрерывного аргумента сеточную функцию , и сравним ее с рассчитанной сеточной функцией . Для этого образуем две сеточные функции , :

, ; 379379\* MERGEFORMAT ()

, . 380380\* MERGEFORMAT ()

Смысл первой функции 379 очевиден. Она характеризует разницу между рассчитанными числами и решением задачи 373, 374 в точках сетки . В соответствии с этим сеточную функцию называют погрешностью решения.

Функция 380 получается в результате подстановки решения дифференциального уравнения 373 в разностное уравнение 376. Если бы эти уравнения совпадали, то мы получили бы нуль. Но они различаются и нуля мы не получим. Сеточную функцию , характеризующую степень близости дифференциального и разностного уравнений, называют погрешностью аппроксимации уравнения на решении.

Установим связь между сеточными функциями и . С этой целью выразим из формулы 379 :

381381\* MERGEFORMAT ()

и подставим в разностное уравнение 376. В результате получим

или

. 382382\* MERGEFORMAT ()

Здесь в обе фигурные скобки мы добавили величину . Добавленные члены входят в соотношение 382 с противоположными знаками и благодаря этому не нарушают равенство. После таких преобразований во вторых фигурных скобках получается величина .

В первых фигурных скобках стоит разность значений функции при одинаковом первом аргументе и разных значениях второго аргумента. Эту разность с помощью формулы Лагранжа можно представить в виде

и записать формулу 382 в виде рекуррентного соотношения

, . 383383\* MERGEFORMAT ()

Согласно 374 и 377 его следует дополнить нулевым начальным условием

. 384384\* MERGEFORMAT ()

В отличие от формул 376, 377 формулы 383, 384 не могут быть использованы для вычисления величин . В них входят неизвестные величины: , , . Однако из этой системы рекуррентных равенств можно получить рекуррентные неравенства.

Введем для оценки сеточной функции ее норму

, при этом . 385385\* MERGEFORMAT ()

Предположим далее, что функция в интересующей нас области изменения ее аргументов ограничена

. 386386\* MERGEFORMAT ()

Это позволяет написать оценку

, . 387387\* MERGEFORMAT ()

С учетом 385 и 387 из формулы 383 следуют рекуррентные неравенства

, 388388\* MERGEFORMAT ()

которые порождают цепочку оценок

389389\* MERGEFORMAT ()

Согласно 387 , так что

.

Это позволяет заменить индивидуальные оценки 389 универсальной оценкой

, . 390390\* MERGEFORMAT ()

Неравенства 390 справедливы при любом , в частности, при том, при котором достигает своего наибольшего значения и определяет тем самым норму сеточной функции . В результате оценка погрешности решения принимает вид

, 391391\* MERGEFORMAT ()

где - длина отрезка, на котором рассматривается решение исходной задачи 373, 374.

Мы получили важный результат: оценку погрешности решения через оценку погрешности аппроксимации уравнения с коэффициентом, который не зависит от шага . Чем лучше разностное уравнение аппроксимирует дифференциальное, тем меньше погрешность решения.

Чтобы завершить исследование метода Эйлера, оценим норму погрешности аппроксимации уравнения . Предположим, что функция имеет в рассматриваемой области изменения аргументов непрерывные и ограниченные первые частные производные и . Это обеспечивает существование у решения задачи 373, 374 непрерывной и ограниченной второй производной

. 392392\* MERGEFORMAT ()

Запишем для функции формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

. 393393\* MERGEFORMAT ()

Подставляя разложение 393 в формулу 380 для погрешности аппроксимации уравнения, получим

. 394394\* MERGEFORMAT ()

Согласно формуле 392 функция непрерывна и ограничена

, . 395395\* MERGEFORMAT ()

Это позволяет написать оценки

, . 396396\* MERGEFORMAT ()

Неравенства 396 показывают, что при погрешность аппроксимации уравнения и связанная с ней неравенством 391 погрешность решения стремятся к нулю со скоростью . В связи с этим метод Эйлера называют методом первого порядка точности относительно .

Задача 3.

Рассмотреть задачу Коши

, 397397\* MERGEFORMAT ()

. 398398\* MERGEFORMAT ()

Построить ее численное решение на отрезке по схеме Эйлера с шагами , , . Сравнить результаты расчетов между собой и с аналитическим решением задачи

. 399399\* MERGEFORMAT ()

Результаты расчетов приведены в таблице 1.

Таблица 1

Здесь в первом столбце выписаны значения независимой переменной с шагом , в трех следующих столбцах - решения разностной задачи с шагами , , . При этом результаты расчетов с шагами и в промежуточных точках , которые не вошли в первый столбец, опущены. В последнем пятом столбце приведены для сравнения значения функции 399, дающей аналитическое решение задачи. Из таблицы видно, как по мере уменьшения шага повышается точность. В то же время следует отметить, что даже при маленьком шаге метод не может обеспечить решению хорошую точность: ошибка в последней точке составляет .

Результаты проведенных расчетов представлены также на рис. 1. На нем приведены три кривые, соответствующие численному решению задачи по схеме Эйлера с шагами , , . При выбранном масштабе кривая III практически совпадает с графиком аналитического решения задачи 399 (пунктирная линия). Рисунок наглядно показывает повышение точности приближенного решения по мере уменьшения шага .

Мы подробно разобрали метод Эйлера, поскольку на примере простой разностной схемы 376 он позволяет поставить и обсудить все основные вопросы численного решения задачи Коши методом конечных разностей. Однако следует отметить, что полученные в этом разделе результаты представляют прежде всего теоретический интерес. Для решения реальных задач разностную схему Эйлера обычно не применяют из-за ее низкой точности: погрешность с уменьшением убывает как . В следующих разделах мы обсудим пути построения разностных схем более высокого порядка точности.

1. Повышение точности разностного метода.

Оценка погрешности решения через погрешность аппроксимации уравнения в методе Эйлера 391 приводит к вполне естественному выводу: чтобы повысить точность метода, нужно улучшить аппроксимацию дифференциального уравнения разностным. Рассмотрим возможные пути реализации этой идеи.

Предположим, что решение дифференциального уравнения имеет производные достаточно высокого порядка и напишем для него разложение по формуле Тейлора

. 400400\* MERGEFORMAT ()

Характеристики

Список файлов лекций