Главная » Просмотр файлов » Д.П. Костомаров, А.П. Фаворский - Вводные лекции по численным методам (doc)

Д.П. Костомаров, А.П. Фаворский - Вводные лекции по численным методам (doc) (1113731), страница 13

Файл №1113731 Д.П. Костомаров, А.П. Фаворский - Вводные лекции по численным методам (doc) (Д.П. Костомаров, А.П. Фаворский - Вводные лекции по численным методам (doc)) 13 страницаД.П. Костомаров, А.П. Фаворский - Вводные лекции по численным методам (doc) (1113731) страница 132019-05-05СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

.

Ее решение имеет вид: , , так что искомая квадратурная формула запишется следующим образом:

. 321321\* MERGEFORMAT ()

Выбор в качестве единственного узла средней точки отрезка выглядит по соображениям симметрии вполне естественно. Требование, чтобы сумма весовых коэффициентов равнялась двум 320, определяет в данном случае единственный весовой коэффициент . Квадратурная формула 321 является точной для любой линейной функции .

      1. Полиномы Лежандра

Мы решили систему уравнений 319 при . Однако решить ее «в лоб» в общем случае при произвольном сложно. Поэтому мы будем вынуждены воспользоваться обходным путем. Для этой цели нам понадобятся полиномы Лежандра, с которыми Вы уже встречались в курсе линейной алгебры. Они определяются формулами

. 322322\* MERGEFORMAT ()

Выпишем, используя эту формулу, несколько первых полиномов Лежандра

, , , . 323323\* MERGEFORMAT ()

Полиномы Лежандра обладают следующими свойствами:

1. Полином Лежандра номера является полиномом -ой степени, обладающим той же четностью, что и :

. 324324\* MERGEFORMAT ()

2. Полиномы Лежандра в точках принимают следующие значения:

, .

3. Полином Лежандра имеет на интервале простых корней. В силу свойства 1 корни располагаются симметрично относительно точки .

4. Любой полином степени ортогонален к полиному Лежандра на сегменте :

. 325325\* MERGEFORMAT ()

Докажем перечисленные свойства.

1. Свойство 1 напрямую следует из формулы 322.

2. Представим выражение в виде произведения

и выполним - кратное дифференцирование. В результате получим:

. 326326\* MERGEFORMAT ()

Все члены этой суммы, кроме нулевого, содержат множители :

и при обращаются в ноль, а нулевой член дает нужное равенство: . Второе равенство следует из 324: .

3. Функция обращается на концах отрезка в ноль. Согласно теореме Ролля ее первая производная должна иметь по крайней мере один ноль на интервале . Кроме того, производная обращается в ноль в граничных точках . Применяя таким же образом теорему Ролля ко второй производной , убеждаемся в том, что она имеет два нуля на интервале и обращается в ноль в граничных точках .

Будем продолжать этот процесс, пока не дойдем до -ой производной выражения . Эта производная определяет полином Лежандра с точностью до множителя. Она должна иметь корней на интервале . Поскольку число корней равно степени полинома, все они должны быть простыми. Корни, как мы уже отмечали выше, располагаются на интервале симметрично относительно его средней точки .

4. Подставим в интеграл 325 представление полинома Лежандра 322 и проинтегрируем по частям. В результате получим:

Подстановки на концах отрезка обращаются в ноль, поскольку степень у выражения больше -го порядка производной.

Выполняя процедуру интегрирования по частям раз, получим:

Здесь под знаком интеграла в качестве множителя стоит -ая производная от полинома -ой степени , тождественно равная нулю. Ортогональность доказана.

Сделаем важное замечание. Соотношение ортогональности 325 справедливо, в частности, в случае, когда в качестве полинома взят полином Лежандра :

, при .

Фактически в этом условии ортогональности не важно, какой именно из двух индексов или больше, а какой меньше. Важно лишь, что они не равны. Таким образом, из свойства 4 вытекает следствие.

Следствие 1.

Полиномы Лежандра образуют систему полиномов, ортогональных на отрезке

, при . 327327\* MERGEFORMAT ()

Из линейной алгебры известно, что система полиномов, ортогональных на некотором множестве, определена однозначно с точностью до множителей. Поэтому следствию 1 можно сопоставить обратное утверждение.

Следствие 2

Любая система полиномов, ортогональных на отрезке , совпадает с точностью до множителя с системой полиномов Лежандра.

      1. Узлы и весовые коэффициенты квадратурных формул Гаусса.

Изучив свойства полиномов Лежандра, перейдем к решению основной задачи – определению узлов и весовых коэффициентов квадратурных формул Гаусса. Составим полином -ой степени

, 328328\* MERGEFORMAT ()

где - искомые узлы. Возьмем произвольный полином степени , помножим его на полином и проинтегрируем произведение по отрезку с помощью квадратурной формулы 318. Поскольку это произведение представляет собой полином степени , формула Гаусса должна быть для него точной. В результате согласно 328 получим:

. 329329\* MERGEFORMAT ()

Мы видим, что полином ортогонален к любому полиному степени в том числе и к полиномам Лежандра индекса . Это означает, что он с точностью до множителя совпадает с -ым полиномом Лежандра: . Отсюда следует вывод: узлы квадратурной формулы Гаусса являются корнями полинома Лежандра . Напомним, что корни полиномов Лежандра располагаются на интервале симметрично относительно его средней точки .

Для того, чтобы подсчитать весовые коэффициенты , введем специальные полиномы

. 330330\* MERGEFORMAT ()

Каждый из них является полиномом степени . В числителе у него стоит полином с опущенным множителем , в знаменателе - значение числителя в точке . В результате такой структуры полином в точках удовлетворяет соотношениям:

. 331331\* MERGEFORMAT ()

Для полинома квадратурная формула Гаусса должна быть точной. С учетом 331 это дает

. 332332\* MERGEFORMAT ()

В результате получаем следующее интегральное выражение для весовых коэффициентов квадратурной формулы Гаусса:

. 333333\* MERGEFORMAT ()

      1. Исследование квадратурной формулы.

Нам осталось решить последний вопрос – доказать, что квадратурная формула, у которой в качестве узлов берутся корни полинома Лежандра, а весовые коэффициенты вычисляются по формулам 333, действительно решают задачу Гаусса, являясь точной для любого полинома степени .

Проведем доказательство в два этапа. Сначала докажем, что такая формула является точной для любого полинома степени . Такой полином можно представить в виде суммы специальных полиномов 330

. 334334\* MERGEFORMAT ()

Справедливость данного разложения вытекает из следующих соображений. Здесь левая и правая части равенства совпадают в точках . Но, если два полинома -ой степени совпадают в точках, то они тождественно равны.

Интегрируя равенство 334 по отрезку , получим

. 335335\* MERGEFORMAT ()

Итак, для полиномов -ой степени утверждение доказано.

Теперь рассмотрим произвольный полином степени . Разделим его с остатком на полином Лежандра и представим в виде:

, 336336\* MERGEFORMAT ()

где и полиномы степени . Проинтегрировав равенство 336 по отрезку , будем иметь:

337337\* MERGEFORMAT ()

Поясним выполненные преобразования. Интеграл опущен, поскольку полином Лежандра ортогонален к любому полиному -ой степени. Оставшийся интеграл от полинома вычислен с помощью квадратурной формулы 335. Выше уже доказано, что для полиномов степени она является точной. Последний переход заключается в том, что в сумму добавлены слагаемые . Они не меняют значения суммы, поскольку все равны нулю: ведь узлами квадратурной формулы являются корни полинома Лежандра .

Итак, построенная квадратурная формула действительно является точной для любого полинома степени , т. е. задача Гаусса решена. На оценке погрешности квадратурных формул Гаусса мы останавливаться не будем, однако задачи, к разбору которых переходим, показывают, что эти формулы обеспечивают для гладких функций очень высокую точность.

Задача 5.

Построить квадратурную формулу Гаусса с двумя и тремя узлами.

Выведем сначала квадратурную формулу с двумя узлами. Узлы определяются как корни второго полинома Лежандра, выражение для которого мы выписывали выше 323. В данном случае имеем:

, . 338338\* MERGEFORMAT ()

Узлы расположены симметрично относительно точки .

Весовые коэффициенты рассчитываются по формуле 333:

, 339339\* MERGEFORMAT ()

.

Они равны между собой, а их сумма, в соответствии с общим соотношением 320, равна двум. В результате искомая квадратурная формула принимает вид:

. 340340\* MERGEFORMAT ()

Она является точной для любого полинома третьей степени.

Перейдем теперь к выводу квадратурной формулы Гаусса с тремя узлами. Согласно формуле 323 для третьего полинома Лежандра ее узлами являются числа:

, , . 341341\* MERGEFORMAT ()

Остается подсчитать весовые коэффициенты:

342342\* MERGEFORMAT ()

В результате квадратурная формула Гаусса с тремя узлами запишется в виде:

. 343343\* MERGEFORMAT ()

Она является точной для любого полинома пятой степени.

Задача 6.

Вычислить по формулам Симпсона и Гаусса при интеграл:

.

Сравнить результаты численного интегрирования с точным значением интеграла и между собой.

Формулы Симпсона и Гаусса дают в данном случае следующие результаты:

,

,

,

.

Мы видим, что даже с двумя узлами формула Гаусса дает хороший ответ. Его точность выше точности ответа, полученного по формуле Симпсона.

В заключение сделаем следующее замечание. Несмотря на высокую точность квадратурных формул Гаусса, при компьютерных расчетах ими пользуются сравнительно редко. Дело в том, что для применения метода Гаусса нужно либо ввести в компьютер до начала расчетов корни полинома Лежандра и весовые коэффициенты, либо составить специальную подпрограмму для их вычисления. В результате потери человеческого и машинного времени на подготовку программы к основному расчету, связанному с вычислением интеграла, могут не окупиться точностью метода Гаусса. Вычисление интеграла по более простой схеме метода Симпсона имеет с этой точки зрения преимущество.

    1. Построение первообразной с помощью численного интегрирования.

Формулы Ньютона-Лейбница 239 позволяет выразить значение определенного интеграла от функции через ее первообразную . В математическом анализе устанавливается и прямо противоположная возможность: первообразная функции , непрерывной на отрезке , может быть записана в виде определенного интеграла с переменным верхним пределом:

. 344344\* MERGEFORMAT ()

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
2,72 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее