Д.П. Костомаров, А.П. Фаворский - Вводные лекции по численным методам (doc) (1113731), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

.

Ее решение имеет вид: , , так что искомая квадратурная формула запишется следующим образом:

. 321321\* MERGEFORMAT ()

Выбор в качестве единственного узла средней точки отрезка выглядит по соображениям симметрии вполне естественно. Требование, чтобы сумма весовых коэффициентов равнялась двум 320, определяет в данном случае единственный весовой коэффициент . Квадратурная формула 321 является точной для любой линейной функции .

1. Полиномы Лежандра

Мы решили систему уравнений 319 при . Однако решить ее «в лоб» в общем случае при произвольном сложно. Поэтому мы будем вынуждены воспользоваться обходным путем. Для этой цели нам понадобятся полиномы Лежандра, с которыми Вы уже встречались в курсе линейной алгебры. Они определяются формулами

. 322322\* MERGEFORMAT ()

Выпишем, используя эту формулу, несколько первых полиномов Лежандра

, , , . 323323\* MERGEFORMAT ()

Полиномы Лежандра обладают следующими свойствами:

1. Полином Лежандра номера является полиномом -ой степени, обладающим той же четностью, что и :

. 324324\* MERGEFORMAT ()

2. Полиномы Лежандра в точках принимают следующие значения:

, .

3. Полином Лежандра имеет на интервале простых корней. В силу свойства 1 корни располагаются симметрично относительно точки .

4. Любой полином степени ортогонален к полиному Лежандра на сегменте :

. 325325\* MERGEFORMAT ()

Докажем перечисленные свойства.

1. Свойство 1 напрямую следует из формулы 322.

2. Представим выражение в виде произведения

и выполним - кратное дифференцирование. В результате получим:

. 326326\* MERGEFORMAT ()

Все члены этой суммы, кроме нулевого, содержат множители :

и при обращаются в ноль, а нулевой член дает нужное равенство: . Второе равенство следует из 324: .

3. Функция обращается на концах отрезка в ноль. Согласно теореме Ролля ее первая производная должна иметь по крайней мере один ноль на интервале . Кроме того, производная обращается в ноль в граничных точках . Применяя таким же образом теорему Ролля ко второй производной , убеждаемся в том, что она имеет два нуля на интервале и обращается в ноль в граничных точках .

Будем продолжать этот процесс, пока не дойдем до -ой производной выражения . Эта производная определяет полином Лежандра с точностью до множителя. Она должна иметь корней на интервале . Поскольку число корней равно степени полинома, все они должны быть простыми. Корни, как мы уже отмечали выше, располагаются на интервале симметрично относительно его средней точки .

4. Подставим в интеграл 325 представление полинома Лежандра 322 и проинтегрируем по частям. В результате получим:

Подстановки на концах отрезка обращаются в ноль, поскольку степень у выражения больше -го порядка производной.

Выполняя процедуру интегрирования по частям раз, получим:

Здесь под знаком интеграла в качестве множителя стоит -ая производная от полинома -ой степени , тождественно равная нулю. Ортогональность доказана.

Сделаем важное замечание. Соотношение ортогональности 325 справедливо, в частности, в случае, когда в качестве полинома взят полином Лежандра :

, при .

Фактически в этом условии ортогональности не важно, какой именно из двух индексов или больше, а какой меньше. Важно лишь, что они не равны. Таким образом, из свойства 4 вытекает следствие.

Следствие 1.

Полиномы Лежандра образуют систему полиномов, ортогональных на отрезке

, при . 327327\* MERGEFORMAT ()

Из линейной алгебры известно, что система полиномов, ортогональных на некотором множестве, определена однозначно с точностью до множителей. Поэтому следствию 1 можно сопоставить обратное утверждение.

Следствие 2

Любая система полиномов, ортогональных на отрезке , совпадает с точностью до множителя с системой полиномов Лежандра.

1. Узлы и весовые коэффициенты квадратурных формул Гаусса.

Изучив свойства полиномов Лежандра, перейдем к решению основной задачи – определению узлов и весовых коэффициентов квадратурных формул Гаусса. Составим полином -ой степени

, 328328\* MERGEFORMAT ()

где - искомые узлы. Возьмем произвольный полином степени , помножим его на полином и проинтегрируем произведение по отрезку с помощью квадратурной формулы 318. Поскольку это произведение представляет собой полином степени , формула Гаусса должна быть для него точной. В результате согласно 328 получим:

. 329329\* MERGEFORMAT ()

Мы видим, что полином ортогонален к любому полиному степени в том числе и к полиномам Лежандра индекса . Это означает, что он с точностью до множителя совпадает с -ым полиномом Лежандра: . Отсюда следует вывод: узлы квадратурной формулы Гаусса являются корнями полинома Лежандра . Напомним, что корни полиномов Лежандра располагаются на интервале симметрично относительно его средней точки .

Для того, чтобы подсчитать весовые коэффициенты , введем специальные полиномы

. 330330\* MERGEFORMAT ()

Каждый из них является полиномом степени . В числителе у него стоит полином с опущенным множителем , в знаменателе - значение числителя в точке . В результате такой структуры полином в точках удовлетворяет соотношениям:

. 331331\* MERGEFORMAT ()

Для полинома квадратурная формула Гаусса должна быть точной. С учетом 331 это дает

. 332332\* MERGEFORMAT ()

В результате получаем следующее интегральное выражение для весовых коэффициентов квадратурной формулы Гаусса:

. 333333\* MERGEFORMAT ()

1. Исследование квадратурной формулы.

Нам осталось решить последний вопрос – доказать, что квадратурная формула, у которой в качестве узлов берутся корни полинома Лежандра, а весовые коэффициенты вычисляются по формулам 333, действительно решают задачу Гаусса, являясь точной для любого полинома степени .

Проведем доказательство в два этапа. Сначала докажем, что такая формула является точной для любого полинома степени . Такой полином можно представить в виде суммы специальных полиномов 330

. 334334\* MERGEFORMAT ()

Справедливость данного разложения вытекает из следующих соображений. Здесь левая и правая части равенства совпадают в точках . Но, если два полинома -ой степени совпадают в точках, то они тождественно равны.

Интегрируя равенство 334 по отрезку , получим

. 335335\* MERGEFORMAT ()

Итак, для полиномов -ой степени утверждение доказано.

Теперь рассмотрим произвольный полином степени . Разделим его с остатком на полином Лежандра и представим в виде:

, 336336\* MERGEFORMAT ()

где и полиномы степени . Проинтегрировав равенство 336 по отрезку , будем иметь:

337337\* MERGEFORMAT ()

Поясним выполненные преобразования. Интеграл опущен, поскольку полином Лежандра ортогонален к любому полиному -ой степени. Оставшийся интеграл от полинома вычислен с помощью квадратурной формулы 335. Выше уже доказано, что для полиномов степени она является точной. Последний переход заключается в том, что в сумму добавлены слагаемые . Они не меняют значения суммы, поскольку все равны нулю: ведь узлами квадратурной формулы являются корни полинома Лежандра .

Итак, построенная квадратурная формула действительно является точной для любого полинома степени , т. е. задача Гаусса решена. На оценке погрешности квадратурных формул Гаусса мы останавливаться не будем, однако задачи, к разбору которых переходим, показывают, что эти формулы обеспечивают для гладких функций очень высокую точность.

Задача 5.

Построить квадратурную формулу Гаусса с двумя и тремя узлами.

Выведем сначала квадратурную формулу с двумя узлами. Узлы определяются как корни второго полинома Лежандра, выражение для которого мы выписывали выше 323. В данном случае имеем:

, . 338338\* MERGEFORMAT ()

Узлы расположены симметрично относительно точки .

Весовые коэффициенты рассчитываются по формуле 333:

, 339339\* MERGEFORMAT ()

.

Они равны между собой, а их сумма, в соответствии с общим соотношением 320, равна двум. В результате искомая квадратурная формула принимает вид:

. 340340\* MERGEFORMAT ()

Она является точной для любого полинома третьей степени.

Перейдем теперь к выводу квадратурной формулы Гаусса с тремя узлами. Согласно формуле 323 для третьего полинома Лежандра ее узлами являются числа:

, , . 341341\* MERGEFORMAT ()

Остается подсчитать весовые коэффициенты:

342342\* MERGEFORMAT ()

В результате квадратурная формула Гаусса с тремя узлами запишется в виде:

. 343343\* MERGEFORMAT ()

Она является точной для любого полинома пятой степени.

Задача 6.

Вычислить по формулам Симпсона и Гаусса при интеграл:

.

Сравнить результаты численного интегрирования с точным значением интеграла и между собой.

Формулы Симпсона и Гаусса дают в данном случае следующие результаты:

,

,

,

.

Мы видим, что даже с двумя узлами формула Гаусса дает хороший ответ. Его точность выше точности ответа, полученного по формуле Симпсона.

В заключение сделаем следующее замечание. Несмотря на высокую точность квадратурных формул Гаусса, при компьютерных расчетах ими пользуются сравнительно редко. Дело в том, что для применения метода Гаусса нужно либо ввести в компьютер до начала расчетов корни полинома Лежандра и весовые коэффициенты, либо составить специальную подпрограмму для их вычисления. В результате потери человеческого и машинного времени на подготовку программы к основному расчету, связанному с вычислением интеграла, могут не окупиться точностью метода Гаусса. Вычисление интеграла по более простой схеме метода Симпсона имеет с этой точки зрения преимущество.

1. Построение первообразной с помощью численного интегрирования.

Формулы Ньютона-Лейбница 239 позволяет выразить значение определенного интеграла от функции через ее первообразную . В математическом анализе устанавливается и прямо противоположная возможность: первообразная функции , непрерывной на отрезке , может быть записана в виде определенного интеграла с переменным верхним пределом:

. 344344\* MERGEFORMAT ()

Характеристики

Список файлов лекций