Д.П. Костомаров, А.П. Фаворский - Вводные лекции по численным методам (doc) (1113731), страница 13
Текст из файла (страница 13)
.
Ее решение имеет вид: ,
, так что искомая квадратурная формула запишется следующим образом:
. 321321\* MERGEFORMAT ()
Выбор в качестве единственного узла средней точки отрезка выглядит по соображениям симметрии вполне естественно. Требование, чтобы сумма весовых коэффициентов равнялась двум 320, определяет в данном случае единственный весовой коэффициент
. Квадратурная формула 321 является точной для любой линейной функции
.
-
Полиномы Лежандра
Мы решили систему уравнений 319 при . Однако решить ее «в лоб» в общем случае при произвольном
сложно. Поэтому мы будем вынуждены воспользоваться обходным путем. Для этой цели нам понадобятся полиномы Лежандра, с которыми Вы уже встречались в курсе линейной алгебры. Они определяются формулами
. 322322\* MERGEFORMAT ()
Выпишем, используя эту формулу, несколько первых полиномов Лежандра
,
,
,
. 323323\* MERGEFORMAT ()
Полиномы Лежандра обладают следующими свойствами:
1. Полином Лежандра номера
является полиномом
-ой степени, обладающим той же четностью, что и
:
. 324324\* MERGEFORMAT ()
2. Полиномы Лежандра в точках
принимают следующие значения:
,
.
3. Полином Лежандра имеет на интервале
простых корней. В силу свойства 1 корни располагаются симметрично относительно точки
.
4. Любой полином степени
ортогонален к полиному Лежандра
на сегменте
:
. 325325\* MERGEFORMAT ()
Докажем перечисленные свойства.
1. Свойство 1 напрямую следует из формулы 322.
2. Представим выражение в виде произведения
и выполним - кратное дифференцирование. В результате получим:
. 326326\* MERGEFORMAT ()
Все члены этой суммы, кроме нулевого, содержат множители :
и при
обращаются в ноль, а нулевой член дает нужное равенство:
. Второе равенство следует из 324:
.
3. Функция обращается на концах отрезка
в ноль. Согласно теореме Ролля ее первая производная должна иметь по крайней мере один ноль на интервале
. Кроме того, производная обращается в ноль в граничных точках
. Применяя таким же образом теорему Ролля ко второй производной
, убеждаемся в том, что она имеет два нуля на интервале
и обращается в ноль в граничных точках
.
Будем продолжать этот процесс, пока не дойдем до -ой производной выражения
. Эта производная определяет полином Лежандра с точностью до множителя. Она должна иметь
корней на интервале
. Поскольку число корней равно степени полинома, все они должны быть простыми. Корни, как мы уже отмечали выше, располагаются на интервале
симметрично относительно его средней точки
.
4. Подставим в интеграл 325 представление полинома Лежандра 322 и проинтегрируем по частям. В результате получим:
Подстановки на концах отрезка обращаются в ноль, поскольку степень
у выражения
больше
-го порядка производной.
Выполняя процедуру интегрирования по частям раз, получим:
Здесь под знаком интеграла в качестве множителя стоит -ая производная от полинома
-ой степени
, тождественно равная нулю. Ортогональность доказана.
Сделаем важное замечание. Соотношение ортогональности 325 справедливо, в частности, в случае, когда в качестве полинома взят полином Лежандра
:
, при
.
Фактически в этом условии ортогональности не важно, какой именно из двух индексов или
больше, а какой меньше. Важно лишь, что они не равны. Таким образом, из свойства 4 вытекает следствие.
Следствие 1.
Полиномы Лежандра образуют систему полиномов, ортогональных на отрезке
, при
. 327327\* MERGEFORMAT ()
Из линейной алгебры известно, что система полиномов, ортогональных на некотором множестве, определена однозначно с точностью до множителей. Поэтому следствию 1 можно сопоставить обратное утверждение.
Следствие 2
Любая система полиномов, ортогональных на отрезке , совпадает с точностью до множителя с системой полиномов Лежандра.
-
Узлы и весовые коэффициенты квадратурных формул Гаусса.
Изучив свойства полиномов Лежандра, перейдем к решению основной задачи – определению узлов и весовых коэффициентов квадратурных формул Гаусса. Составим полином -ой степени
, 328328\* MERGEFORMAT ()
где - искомые узлы. Возьмем произвольный полином
степени
, помножим его на полином
и проинтегрируем произведение по отрезку
с помощью квадратурной формулы 318. Поскольку это произведение представляет собой полином степени
, формула Гаусса должна быть для него точной. В результате согласно 328 получим:
. 329329\* MERGEFORMAT ()
Мы видим, что полином ортогонален к любому полиному степени
в том числе и к полиномам Лежандра индекса
. Это означает, что он с точностью до множителя совпадает с
-ым полиномом Лежандра:
. Отсюда следует вывод: узлы квадратурной формулы Гаусса являются корнями полинома Лежандра
. Напомним, что корни полиномов Лежандра располагаются на интервале
симметрично относительно его средней точки
.
Для того, чтобы подсчитать весовые коэффициенты , введем специальные полиномы
. 330330\* MERGEFORMAT ()
Каждый из них является полиномом степени . В числителе у него стоит полином
с опущенным множителем
, в знаменателе - значение числителя в точке
. В результате такой структуры полином
в точках
удовлетворяет соотношениям:
. 331331\* MERGEFORMAT ()
Для полинома квадратурная формула Гаусса должна быть точной. С учетом 331 это дает
. 332332\* MERGEFORMAT ()
В результате получаем следующее интегральное выражение для весовых коэффициентов квадратурной формулы Гаусса:
. 333333\* MERGEFORMAT ()
-
Исследование квадратурной формулы.
Нам осталось решить последний вопрос – доказать, что квадратурная формула, у которой в качестве узлов берутся корни полинома Лежандра, а весовые коэффициенты
вычисляются по формулам 333, действительно решают задачу Гаусса, являясь точной для любого полинома степени
.
Проведем доказательство в два этапа. Сначала докажем, что такая формула является точной для любого полинома степени
. Такой полином можно представить в виде суммы специальных полиномов 330
. 334334\* MERGEFORMAT ()
Справедливость данного разложения вытекает из следующих соображений. Здесь левая и правая части равенства совпадают в точках
. Но, если два полинома
-ой степени совпадают в
точках, то они тождественно равны.
Интегрируя равенство 334 по отрезку , получим
. 335335\* MERGEFORMAT ()
Итак, для полиномов -ой степени утверждение доказано.
Теперь рассмотрим произвольный полином степени
. Разделим его с остатком на полином Лежандра
и представим в виде:
, 336336\* MERGEFORMAT ()
где и
полиномы степени
. Проинтегрировав равенство 336 по отрезку
, будем иметь:
337337\* MERGEFORMAT ()
Поясним выполненные преобразования. Интеграл опущен, поскольку полином Лежандра
ортогонален к любому полиному
-ой степени. Оставшийся интеграл от полинома
вычислен с помощью квадратурной формулы 335. Выше уже доказано, что для полиномов степени
она является точной. Последний переход заключается в том, что в сумму
добавлены слагаемые
. Они не меняют значения суммы, поскольку все равны нулю: ведь узлами квадратурной формулы являются корни полинома Лежандра
.
Итак, построенная квадратурная формула действительно является точной для любого полинома степени , т. е. задача Гаусса решена. На оценке погрешности квадратурных формул Гаусса мы останавливаться не будем, однако задачи, к разбору которых переходим, показывают, что эти формулы обеспечивают для гладких функций очень высокую точность.
Задача 5.
Построить квадратурную формулу Гаусса с двумя и тремя узлами.
Выведем сначала квадратурную формулу с двумя узлами. Узлы определяются как корни второго полинома Лежандра, выражение для которого мы выписывали выше 323. В данном случае имеем:
,
. 338338\* MERGEFORMAT ()
Узлы расположены симметрично относительно точки .
Весовые коэффициенты рассчитываются по формуле 333:
, 339339\* MERGEFORMAT ()
.
Они равны между собой, а их сумма, в соответствии с общим соотношением 320, равна двум. В результате искомая квадратурная формула принимает вид:
. 340340\* MERGEFORMAT ()
Она является точной для любого полинома третьей степени.
Перейдем теперь к выводу квадратурной формулы Гаусса с тремя узлами. Согласно формуле 323 для третьего полинома Лежандра ее узлами являются числа:
,
,
. 341341\* MERGEFORMAT ()
Остается подсчитать весовые коэффициенты:
342342\* MERGEFORMAT ()
В результате квадратурная формула Гаусса с тремя узлами запишется в виде:
. 343343\* MERGEFORMAT ()
Она является точной для любого полинома пятой степени.
Задача 6.
Вычислить по формулам Симпсона и Гаусса при интеграл:
.
Сравнить результаты численного интегрирования с точным значением интеграла и между собой.
Формулы Симпсона и Гаусса дают в данном случае следующие результаты:
,
,
,
.
Мы видим, что даже с двумя узлами формула Гаусса дает хороший ответ. Его точность выше точности ответа, полученного по формуле Симпсона.
В заключение сделаем следующее замечание. Несмотря на высокую точность квадратурных формул Гаусса, при компьютерных расчетах ими пользуются сравнительно редко. Дело в том, что для применения метода Гаусса нужно либо ввести в компьютер до начала расчетов корни полинома Лежандра и весовые коэффициенты, либо составить специальную подпрограмму для их вычисления. В результате потери человеческого и машинного времени на подготовку программы к основному расчету, связанному с вычислением интеграла, могут не окупиться точностью метода Гаусса. Вычисление интеграла по более простой схеме метода Симпсона имеет с этой точки зрения преимущество.
-
Построение первообразной с помощью численного интегрирования.
Формулы Ньютона-Лейбница 239 позволяет выразить значение определенного интеграла от функции через ее первообразную
. В математическом анализе устанавливается и прямо противоположная возможность: первообразная функции
, непрерывной на отрезке
, может быть записана в виде определенного интеграла с переменным верхним пределом:
. 344344\* MERGEFORMAT ()