Д.П. Костомаров, А.П. Фаворский - Вводные лекции по численным методам (doc) (1113731), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

. 299299\* MERGEFORMAT ()

Данная оценка позволяет определить, с каким нужно проводить вычисления, чтобы погрешность не превышала заданной точности . Кроме того, если четвертая производная функции является знакоопределенной, то формула 298 дает знак погрешности, что также может оказаться полезным при организации вычислений.

Метод Симпсона является методом более высокого порядка точности – четвертого. В этом его преимущество перед методами прямоугольников и трапеций, Правда, приведенные выше оценки остаточного члена, требуют большей гладкости подынтегральной функции – она должна быть четыре раза непрерывно дифференцируема.

Задача 2.

Вычислить интеграл 284 по формуле Симпсона при .

В данном случае

, 300300\* MERGEFORMAT ()

. 301301\* MERGEFORMAT ()

Четвертая производная функции на отрезке положительна и не превосходит единицы, так что знак погрешности согласуется с формулой 298, а ее величина – с оценкой 299:

1. Апостериорные оценки погрешности при численном интегрировании.

В латинском языке существуют два термина – антонима: априори (a priori) и апостериори (a posteriori). Первый означает изначально, независимо от опыта, второй – на основании опыта. Оба они часто используются в вычислительной математике, подразделяя информацию на ту, которая известна до начала вычислений, и ту, которая получается в процессе вычислений.

Оценки погрешности квадратурных формул прямоугольников 281, трапеций 282, Симпсона 299 называют априорными. Они справедливы изначально и предсказывают точность вычисления интеграла независимо от того, будем мы фактически проводить вычисления или нет. Эти результаты позволяют понять структуру остаточных членов, определить скорость их убывания при возрастании .

Однако недаром говорят, что недостатки являются продолжением достоинств. Постановка задачи численного интегрирования предполагает, что известен алгоритм вычисления подынтегральной функции при любом значении аргумента на отрезке и все. В оценки же 281, 282, 299 входят константы и , мажерирующие вторую и четвертую производные функции в асимптотические формулы 276 и 297 – значения первой и третьей производных в граничных точках отрезка . Такая информация выходит за рамки первоначальной постановки задач. Чтобы ее получить и использовать в процессе вычислений, нужно провести дополнительное исследование функции . В случае, когда функция задана сравнительно простой формулой, такое исследование возможно, хотя требует определенных усилий и времени. В случае же, когда она задается графиком, таблицей, определяется как сложная неявная функция и т. д., на этом пути возникают большие или даже непреодолимые трудности. В связи с этим перейдем к обсуждению методов оценки погрешности численного интегрирования, которые не требуют предварительного анализа производных подынтегральной функции. Они используют сопоставление результатов вычислений с разным числом точек и называются апостериорными (буквально, основанными на опыте, что в данном случае означает основанными на результатах вычислений).

Начнем обсуждение идеи апостериорных оценок погрешности с методов второго порядка – прямоугольников и трапеций. Предположим, что мы провели расчеты по методу прямоугольников с числом точек ( - четное число), а потом с числом точек и в результате получили два числа - и . Согласно формулам 247 и 270 это позволяет написать соотношения

302302\* MERGEFORMAT ()

Вычитая теперь второе равенство из первого, получим

или

. 303303\* MERGEFORMAT ()

Первый член в правой части этого представления остаточного члена нам известен из результатов вычислений. Он является главным. Второй член неизвестен, но он, по сравнению с первым, представляет собой бесконечно малую более высокого порядка. Если им пренебречь, то для погрешности получится простая асимптотическая формула:

. 304304\* MERGEFORMAT ()

Ее относительная точность возрастает при увеличении .

Аналогичные формулы имеют место для погрешности метода трапеций

. 305305\* MERGEFORMAT ()

Для метода Симпсона, который является методом четвертого порядка, формулы немного изменяются. Теперь соотношения, аналогичные 302, будут иметь вид:

306306\* MERGEFORMAT ()

(Здесь число предполагается кратным четырем, так что четное число.) Проводя в 306 вычитание второй строки из первой, получим

. 307307\* MERGEFORMAT ()

Здесь опять первый член в правой части равенства известен из вычислений. Он является главным. Второй член неизвестен, но он представляет собой бесконечно малую более высокого порядка по сравнению с первым. Если им пренебречь, то получим асимптотическую формулу для приближенного вычисления погрешности по результатам двух вычислений

. 308308\* MERGEFORMAT ()

Ее относительная точность возрастает с увеличением .

Обычно апостериорные оценки погрешности с помощью асимптотических формул 304, 305, 308 включают в компьютерные программы численного интегрирования. Они служат критерием для завершения вычислений после того, как нужная точность достигнута.

В заключение отметим следующее. Можно подставить полученные выражения для остаточных членов 303, 305, 307 в исходные квадратурные формулы 247, 252 и 256. В результате они примут вид:

, 309309\* MERGEFORMAT ()

, 310310\* MERGEFORMAT ()

, 311311\* MERGEFORMAT ()

где , , - остаточные члены этих модифицированных формул

, 312312\* MERGEFORMAT ()

, 313313\* MERGEFORMAT ()

. 314314\* MERGEFORMAT ()

Формулы 309, 310, 311, написанные по результатам двух расчетов с числом точек и , являются асимптотически более точными, чем исходные. В исходных формулах погрешности убывают, соответственно, как , , , в модифицированных формулах погрешности, согласно 312, 313, 314 являются бесконечно малыми более высокого порядка. Однако для исходных формул известны оценки погрешностей 281, 282. 299. Для модифицированных формул в нашем распоряжении оценок нет. Если мы хотим ими пользоваться, то нужно провести соответствующее исследование. Исключение составляет формула 310. Согласно формуле 259 ее можно переписать в виде

, 315315\* MERGEFORMAT ()

т. е. модифицированная формула трапеций оказалась просто формулой Симпсона с уже известным остаточным членом .

Задача 3.

Вычислить по формуле Симпсона интеграл 284 с . Используя результаты задачи 2, найти приближенную апостериорную погрешность 308.

В данном случае

, 316316\* MERGEFORMAT ()

.

Апостериорная оценка погрешности по результатам двух расчетов дает

.

Несмотря на маленькое число точек, она хорошо согласуется с фактической погрешностью 316, сосчитанной «в лоб» по известному значению интеграла 284.

Задача 4.

Используя результаты решения задач 2 и 3, посчитать интеграл 284 по модифицированной формуле Симпсона 311.

В данном случае

, 317317\* MERGEFORMAT ()

.

Модифицированная формула Симпсона 311 без дополнительных вычислений позволила на порядок улучшить результат, полученный по обычной формуле Симпсона. Отметим, что погрешности при расчетах по формулам 316 и 317 имеют противоположные знаки.

1. Квадратурные формулы Гаусса.

   1. Задача построения оптимальных квадратурных формул.

Точность квадратурной формулы определяется выбором узлов и весовых коэффициентов. Например, формулы трапеций и Симпсона имеют одинаковые узлы, но различные веса и, как следствие, их точность оказывается разной. В связи с этим естественно возникает задача поиска наилучшей квадратурной формулы с заданным числом узлов . Обсудим постановку и решение такой задачи в формулировке Гаусса: построить квадратурную формулу с числом узлов , которая является точной для любого полинома степени или ниже. Такая постановка задачи вполне оправдана: квадратурная формула, точная для полиномов, будет хорошо работать для гладких функций.

Переходя к решению задачи, поставленной Гауссом, будем считать, что интеграл предварительно приведен к стандартной форме, когда областью интегрирования является отрезок . С учетом этого замечания запишем искомую квадратурную формулу в виде:

, 318318\* MERGEFORMAT ()

где узлы, , весовые коэффициенты, остаточный член. Для любого полинома степени остаточный член в формуле 318 должен быть равен нулю. На протяжении этого параграфа каждый раз, когда мы будем говорить о произвольных полиномах какой-нибудь степени, всегда будем включать в их число полиномы более низких степеней, не оговаривая это особо.

Полагая последовательно и принимая во внимание, что для этих функций, согласно требованию Гаусса, остаточный член должен равняться нулю, получим:

, . 319319\* MERGEFORMAT ()

Соотношения 319 представляют собой систему нелинейных уравнений с неизвестными, в качестве которых выступают узлы и веса .

Уравнение 319, соответствующее индексу , дает

. 320320\* MERGEFORMAT ()

Таким образом, сумма весовых коэффициентов в квадратурной формуле Гаусса при любом равна двум.

Задача 5.

Составить и решить систему уравнений 319 для квадратурной формулы Гаусса с одним узлом.

В этом случае в задаче подлежат определению два параметра: узел и весовой коэффициент . Система уравнений для их определения получается из 319 при и :

Характеристики

Список файлов лекций