Антидемидович 5 - ДУ (1113366), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Диффереициальвме уравнения выспшк порядков при любых фиксированных х > хы Тогда, как следует из (2) и (1), общее решение данного уравнения можно представить в виде: Р = С, ппх+ Ст сока+ / 1(к) к(п(х — к)Нк ы С~ Япх+ Стсокх+ п(х)к(па+)У(х)сокх = ы = (С, +а(х))ппх+(С, ч-)5(х))сокх = А(х)сок(х — у(х)), где С, +а(х) С, + )У(х) А(х) = (С,+а(х))'+(Сг+,9(х))', япу(х) = -, созу(х) = А(х) А(х) А(х) у О.
()тсюда следует, что для ограниченности решений у(х) нри х -+ +со достаточно потребовать ограниченности функции А (амплитуды) при х — ~ ч-оо, т. е. ограниченности функций а и !) при х- +ос.п Построить линейныс однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (возможно более низкого порядка), имеющие данные частные решения.
332. р! = я~с*. П Дифференцируя последовательно функцию ры получаем: р~ = я~е* + 2хе* = у, + 2хе*; Р~' — — Р~ + 2е* + 2хе* = р! + 2с* + (у' — р ) = 2р', — р, + 2е*. р~ = 2р",-у, '+ 2с*. Исключив из последних двух соотношений 2е*, окончательно имеем р',ч-)р",ч-Зд',-д, =О. Заметим, что получить дифференциальное уравнение более низкого порядка нельзя, так как частное решение р, = х'е* порождается корнем характеристического уравнения кратности ! = 3, !ь ЗЗЗ.р,=хе*, рг=с ~.
й Частное решение р, порождается двукратным корнем Л~ —— 1 характеристического уравнения, а частное решение рг — корнем Л, = — !. Поскольку корни известны, то легко записать и само авненне: (Л вЂ” П(л+ и=О, л — л — л+! =о, Ясно, что такому характеристическому уравнению соответствует лифференциальное уравнение рм-дл-д'+д=О. > 334. у, = х, уг — — к1пх. м Так как х =- хе *, к(п х = 2((е'* — е ' ), то данные решения порождены корнями некоторого характеристического уравнения: Л~ — — 0 (двукратный корень), Лг = г, Лз — — — ! соответственно.
Следовательно, Л(Л вЂ” г)(Л+г)=Л(Л +1)=0, или Л +Л =0 есть характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному р'"+ р" = О Ь 335. р, = хе*сок2х. и Поскольку хе сок 2х = 2хс! ' + 2хег — ', то данное частное решение порождено дву!ыпм 1 и-гог крагными комплексно-сопряженными корнями Л!д = 1 х 2! некоторого характеристического уравнения. Оно имеет вид (Л вЂ” 1 — 2г) (Л вЂ” 1+ 2г) = О, или Л вЂ” 4Л +!4Л вЂ” 20Л+ 25 = О.
Остается записать требуемое дифференциальное уравнение; у' — 4у"'+ !4р" — 20р'+ 25 = О, )ь й 3. Ливейиме диффереициальвме уравнения с постоянными коэффициентами 147 33б. При каких а н Ь все решения уравнения у" + ау'+ Ьу = 0 ограничены на всей числовой оси -оо < а <+со? м Прежде всего находим корни характеристического уравнения Л'+ аЛ+ Ь = О. Имеем / г Л, г —— -2 ~ )( -г- — Ь.
Далее рассмотрим различные случаи представления всех решений. а а Если а = 4Ь, то общим решением будет у = (Сг+Сгх)е г . Если же а ~ 4Ь, то общее решение принимает вид У = Ссегс*+Сге (2) Из (1) следует, что каким бы нн было число а (действительным или комплексным), все решения у ограниченными быль не могут. Действительно, если Кеа > О, то функция у не ограничена прн х < 0; если Кеа < О, то функция у не ограничена при х > 0; если Кеа = О, то неограниченносгь функции у щкже очевидна. Теперь рассмотрим решения, представленные формулой (2). Пусть КеЛ, < 0 или Ке Л, < О. Тогда решения (2) не все ограничены при х < О. Пусть Ке Л, > 0 или Ке Л, > О.
Тогда не все решения (2) ограничены при х ) О. Наконец, если КеЛ, = Ке Лг = О, т.е. если Лс — — »7,, Л, = г?г ( Ус и Уг), то все решения при всех х Е (-сю, +со) будут ограничены. Действительно, в этом случае все решения предсгавляются в ниде произвольной линейной комбинации ограниченных ФУНКЦИЙ Згп7га, СОК Гса, Згп?га, СОЯ'Угх. Итак, для ограниченности всех решений имеем условия: а l а' а Га' --+1,( — -Ь=;7„---)?---Ь= 7, (7,?ь?г)» 2)с4'2?4 откуда находим а = — г(7» Ч-7г)» Ь = -7г7н где гг н уг — любые отличные друг от друга действительные числа.
В частности, если а— действительный параметр, т. е. 7, = — г,, то все решения будут ограничены при ь > 0 (а = 0). в 337. При каких а и Ь все решения уравнения у" + ау'+ Ьу = О стремящя к нулю при х -»+со? м Восгюльзуемся представлениями (!) и (2) всех решений из предыдущего примера. В случае (1) асе решения стремятся к нулю при х — +со, если Ке а ) О. В случае (2) все решения стремятся к нулю при х — +со, если КеЛг < 0 и Ке Л, < 0 одновременно. В частности, если а и Ь вЂ” действительные параметры, то в случае (1) все решения стремятся аг к нулю при х -» +сю, когда а ) О (Ь = -4- > 0). Эти же условия (а > О, Ь > 0) пригодны и в случае (2). Действительно, если Ь < О, то адин нз корней Л, илн Лг независимо от а будет положительным, т.е.
егм или еям — Ч-оо при х — +оо. Если Ь = О, то уравнение имеет решение у = С?ь О, которое нс стремится к нулю. Таким образом, необходимо, чтобы Ь было положительным. Пусть Ь > 0 и а < О. Тогда действительная часть одного из корней (Л, или Л,) обязательно будет неотрицательной, следовательно, ец* или е"'* не будет стремиться к нулю при аг х — +со. Остается рассмотреть случай, когда а > 0 и Ь > 0 одновременно. Если 0 < Ь < -4-, то оба корня Лг и Л, отрицательны, поэтому у -+ 0 при х — +со. Если Ь > -4-, то корни Лг, Л, комплексно сопряженные и имеют отрицательную действительную часш, поэтому у — 0 при х — » +ос. Э» 338.
Прн каких действительных а и Ь кахшое решение уравнения ух+ ау'+Ьу = 0 обращается в нуль на бесконечном множестве точек х? м Исходим из представления решений (1) и (2) уравнения из примера 336. Ясно, что формула (1) не определяет колеблющихся решений, которые при некотором а обращались бы в нуль на бесконечном множестве точек х. рассмотрим решения (2).
Если Л, и Лг — действительные корни, то, как известно, сумма двух экспоненцнальных срункций может обратиться в нуль только в конечном числе точек х. Пусть !48 Гл. 2. Диффереииивльнме уравиеива высших порядков Л, = — ч + 1~/Ь вЂ” ад-, Л2 = — ~ф — 2)/Ь вЂ” ад-, т.е, 4Ь > ат. Тогда 2 2 22 ( 2 р= С, соз)(Ь вЂ” ~~-х+ Сзйп)~Ь вЂ” -~- х( е 2* = Асов !1)~Ь вЂ” -4- х — (а е 2*.
Как видим, все решения (при произвольных значениях А и х) в атом с22У2ас обращаются в нуль на бесконечном множестве точек (хь), где ~+Ья+ф хь —— (/с Е а.). м а2 ~(ь-- !пп (у(х)е') = О. Если а = 4Ь, то согласно (1) имеем Ош ((С2+С,, )ен' ") =К Ясно, что это соотношение может выполняться лля произвольных С2 и С2 только прн условии Ке (! — Та) < О, или реп > 2. В случае, когда Л, ~ Л,, условие (1) принимает вид: (С 2л,.~-п* ! С 222+12 ) О которое лля произвольных С, и С, зквивалентно соотношениям 1пп е'~си!* = О и !1гп е'2'"и* = О.
(2) а ах Отсюда следует, что последнее возможно лишь в случае, когда одновременно выполняются неравенства Ке(Л! + 1) < О и Ке(Л2+ 1) < О. Если а н Ь вЂ” действителыеые параметры, то последние неравенства можно записать более конкретно. а2 Пусть Ь < -4-. Тогда Л, н Л2 — действительные корни и если Л, < О, то и Л, < О. Следовательно, имеем два условия: а а (аз Ь< —, --+!+)~ — — Ь<О, 4' 2 2(4 (3) при которых выполняются соотношения (2). Решив совместно неравенства (3), получаем следующее условие выполнения соотношения (1): а а>2, а-1<Ь< —.
4 Пусть Ь > -4-. Тогда Л, 2' = -ч х 2)2Ь вЂ” -4- и соотношении (2) будут выполнены, если — у + 1 < О, или а > 2. Таким образом, если а и Ь действительные параметры, то указанное в условии задачи соотношение выполняется при а > 2 и Ь > а — 1, т. е. при 2 < а < Ь+ 1. м 340. Для заданного Ь > О подобрать такое а, при котором решение уравнения на+ар'+Ьр = 0 с начальными условиями р(0) = 1, у'(0) = О возможно быстрее стремится к нулю при х — +сю. а2 а Рассмотрим три случая. Пусть Ь = -4-.
Тогда решение задачи имеет вид: р,=(1+ — )е 2 339. При каких а и Ь все решения уравнения уа+ар'+ Ьу = О удовлетворяют соотношению у = о(е ") при х +со? м Мы должны найти такие значения параметроа а и Ь, чтобы при всех значениях С, и С, (произвольных постоянных в решениях (1) иля (2) уравнения нз примера 336) выполнялось условие: 0 3. Линейные диффереащиальные урааиещщ с пастааииыми ааэфг(апгиентами 149 Ясно, что а должно быть положительным, иначе уг не будет стремиться к нулю при х +со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
