Антидемидович 5 - ДУ (1113366), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Искомое решение Из начальных условий откуда у = Сз~Щ уравнения имеет вид 2+х у= 1,(8 3 — х з 298.. 'уе — з у' = У вЂ” 4у; у(П = 1, у'(П вЂ” 4 .з < Это обобщенно однородное уравнение и ш = 2, поэтому производим замену х = е', у = е'зи(П. Получаем уравнение вл — би' = О. Умножая обе его части на и' и интегрируя, имеем и =4и +Сз.
з (1) Так как у = 1 при х = 1, то из формул замены следует, что и(0) = 1. В силу топз, что у' = = е'(и'+ 2и) и у'(1) = 4, находим и'(0)+ 2и(0) = 4, откуда и'(0) = 2. Полагая в (1) ! = 0 и используя значения и(0), и'(0), определяем С, = О. Осталось проинтегрировать уравнение з и =4и. з з Имеем и'= х2иг, *и з з(и = 2г(1, — =!+С,, или ~си х' ()п* — !)' 299. уесгиу+у' япу= у'; у( — 1) = —, у(-1) = 2.
м Полагая у' = р(у), получаем уравнение р сову+ рялу = 1, общее решение которого имеет виш р = яп у+ Сз соку, или у' = в!и у+ С, сову. (1) Для определения постоянной Сз воспользуемся условием, что у'( — 1) = 2 при у = ~~. Находим С, = з/3. Далее, интегрируя уравнение (!), получаем ! Г г(у -/', =а+С„или -1п~гвЯ+~)~=х+С,. 2,/ сги(у — $) ' 2 Подставив сюда значения х = — 1, у = ~~, находим С, = ! . Требуемое частное решение выражается формулой *= -!+-,)" (188+ $)).
и 1 пввиеч*ззве. зие«1 ° 1 здесь отброшен в силу условия у'(-1) = 2 > о. 1 и= (С+ Сз)' Для определения постоянной Сз воспользуемся условием и(0) = 1, в результате чего находим С, = ~1. Итак, и = — т, однако, в силу условия и (0) = 2, берем только решение и = — т. 1 з 1 (1*1) (1 — 1) Окончательно можем записать Гл, 2. Диффереипналъвые уравиепия высших порвдков 134 3 1 (1 + у' ) ' = й!у" ~(1+ уп) ', или йуе = 1+ у", 1+ у" й' (агс)уу) = —.
й Интегрируя последнее уравнение, находим агсгду'= — +Сп или у'=гйЯ+С~). й Проинтегрировав еще раз, окончательно получим у= -й)п(сокЯ+С))+ Сз. М 301. Доказать, что уравнение движения маятника у" +яп у = О имеет частное решение у(х), стремящееся к а при х +со. < Умножив обе части уравнения на у' и проинтегрировав полученное, будем иметь у' = 2С1+ 2соку. (1) Выберем частное решение так, чтобы у'(х) — О при х — +оо. В силу того, что у(х) — я при х — +со, из (1) следует, что С, = 1. Интегрируя теперь уравнение = 2(сок у + 1), получаем ду = х+ Сз. з(!~~с Очевидно, что соотношение 1 п( = х+ 1пС, (О ( у ( к) (2) 2 сок 2 также есть частное решение данного уравнения.
Выполнив интегрирование в левой части (2), находим 1п (1$ '4 (3 + у)) — х + !и С21 или у = асс(О(Сзс*) — зг, где Сз > О. Очевидно, что у(х) — а при х — +со. М (3) замечение. Решение (3) описыееет физический процесс веокоисчмо долгого пскъеме мешметическош маятника е аюе наивысшее положение (лри этом перемеииаа х игРает роль времени, а переменная у— роль угла поворота). 301.
Определить форму равновесия нерасгюкимой нити с закрепленными концами, на ко- торую действует нагрузка так, что на кюкдую единицу длины горизонтальной проекции нагрузка одинакова (цепи цепного моста). Весом самой нити пренебречь. < рассмотрим равновесие произвольного элемента нити длиной ззЯ (рис. 25). Проектируя силы, действующие иа выделенный элемент, на оси Ох, Оу, получаем уравнения -Т(х) сока(х)+ Т(х+ 1зх)соко(х+ тьх) = О, — Т(х) 5)п а(х) + Т(х + (ах) яп а(х + Ьх) — 1ХР = О, где Т(х) — величина натяжения нити в сечении х, а(х) — угол между касательной к нити и осью Ох, ЬР— вес элемента тзЯ (или величина какой-либо распределенной нагрузки).
300. Найти кривые, у которых радиус кривизны обратно пропорционален косинусу угла между касательной и осью абсцисс. м Согласно условию задачи имеем уравнение В = —,, где 51 — ралиус кривизны крий аой, а — указанный в задаче угол, й — коэффициент йропорциональносуи. Посколысу )2 = т 1 (14 ' )з Ь! = — 5г —, а = агсгйу', то написанное выше уравнение можно записать в виде б 3. Линейные дифференциальные ураввевиа с паенмввыми козффощиевтами 135 Из первого уравнения слелует, что Т(х)соо а(х) = То = сапог, т.е. гориюнтальная составляющая натяжения нити всегда имеет постоянную величину.
Из второго уравнения находим, что д(Т(х) з(п а(х)) = дР(х), или То д(гаа(х)) = дР(х), То «(у' = дР(х). (1) В данной задаче «!Р(х) = 1«дх, где й — коэффициент пропорциональности. Тогда из (1) следует уравнение То ду' = й дх, дважды интегрируя которое, получаем форму нити й у= — х +Се+С.ы 2То 303. Найти форму равновесия однородной нерастяжимой нити (с закрепленными концами) под действием се веса. < Пользуясь уравнением (1) из предыдущей зздачи н принимая ео внимание соотношение дР(х) = Рдда, где рд — вес единицы длины нити, дд = у 1+у' дх, получаем дифференциальное уравнение Г г формы этой нити: ° Г 2 У 2 2 Рд Тоу =Ругу)ту', или =а, а ч«1+ у" Так как у + у~1+у« = е откуда 1 2 ' о «о+С«г -а «*ос«2) 2 2 Проинтегрировав еще раз, получим (ео «о+с«г 1 е-о «о+с«21 + С нли у с)2(агх 1 С ) 1 С 2аг ' а2 5 3.
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1. Линейное диффереввиагоьвое уравнение ть-го порядка с востоавиымВ коэффнщбеигаьщ. Хараигериспоческое уравнение. Общее решеиве. Дифференциальное уравнение вида аоу + а«у" + ... + а„«у + а„у = у(х), (1) где аг = сапог (о = О, и), у — известная функция, называется линейным дифференциальным уравнением и-оа нарядна с «нктаянннми коэффициентами. Если у(х) м О, то уравнение (1) называется аднараднмн, в противном случае — неедниридньи«. Гл. 2. Дифференциальные уравнении высших порядюв 136 3.2.
Попок частного решения лпвейвого уравнения п-го порядка с востояпяымв коэффвщйевтами методом псопределепиых коэффициентов. Если правая часть уравнения (!) имеет вид 7(х) = Р„,(х)ет*, где Р (х) — многочлен степени ат, то час!мое решение уравнения (1) будет у = х'13 (х)е', (4) где й = О, если число 7 не совпадает ни с одним из корней характеристической о уравнения (2), и а равно кратности 1 корня уравнения (2), если число 7 с ним совпадает, йб (х) — многочлеп степени т. Дли определения коэффициентов многочлеиа 9„,(х) следует (4) подставить в (1) и приравнять вырахгения при одинаковых функциях.
если 7(х) = з !(х) + уз(х) + ... + 3р(х), то частное решение уравнения (1) состоит из суммы частных решений у, неоднородных уравнений аьу" + а, у'" '!+ ... + а„!у'+ а„у = У (х) (! = 1, р). 3.3. Метод вариация произвольных постоянных. Если 7 — непрерывная на сегменте функция, то чаем!ос решение уравнения (1) можно найти, применив метод вариации произаольных ногтоннньп, заключающийся в следующем. Пусть построено общее решение однородного уравнения (1), т.е. имеется вырюкение (3). Тогда для отыскания частного решения неоднородного уравнения (1) поступают следующим образом: а) предполагают, что С„= Сй(х) — дифференцируемые функции; б) частное решение ищут в виде у(х) = 2 С (х)у„; й=! в) функции Сй(х) определяют из системы алгебраических уравнений ~,Сй(х)уй —— бал и ! = О, и — 1, о! У(х) й=! ай где б„! ! — символ Кронекера; г) получив решения системы (6) С,'(х) = (ой(х), интегрируют эти уравнения: Сй(х) = / (о(х) дх + ай, (5) (6) (7) где ай — постоянные; д) поде!валяют (7) в (5): п у(х) = ~, уй ( ~ уйй(х) Их + айт!).
й=! (8) Заметим, что формула (8) определяет также общее решение неоднородного уравнения (П. Если 7 — непрерывная на сегменте функция, то общее решение уравнении (1) состоит из суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения (!). Авгебраическое уравнение аьЛ" + а,Л" ' + ... + а„ ,Л + а„ = О (2) пазываетсн характеристическим, соответствующим однородному уравнению (1). Пусзь Л!, Лз, ..., ˄— корни уравнения (2). Каждому простому корню Л„соответствует частное решение однородного уравнения (1), имеющее вид у„= е!'*, а каждому корню Л, кратности ! (1 Ъ 2) — решения у, = е ', у„! = хе '*, ...,у,м, = х е "'. Произвольная линейная комбинация всех часпйых й-! й„) решений являеюи общим решением однородного уравнения (1), т. е.
п у(х) = ~, С!уй. (3) й=! в 3. Лииейиые дифференциальные уравнения с постояивыми козффипиевтами 137 3.4. Метод Коши нахождеввн частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения я-го порядка с постоянными коэффициентами. Пусть К(х, з) есть решение однородного уравнения (1), удовлетворяющее начальньли условиям: К(х, з)/., = К,'(х, з)~., = ... = К.'" п(х, з)~., = О, Х.'" п(х, з)|.=.
= 1. (9) Тогда, если функция 7 непрерывна на сегменте [а, Ь) и хо Е (а, Ь1, х Е (а, Ь), то у(х) = / К(х, з)7(з) дз (РО) *о будет частным решением неоднородного уравнения (1) „удовлетворяющим начальным условиям у(хо) = у (хо) = ." = у (хо) = О ( -о Решение К(х, з) называется функцией вливиия для задачи Коши Найти общие решения однородных уравнений, а также частные решения там, где указаны начальные условия.
364. уз+ у' — 2у = О. и Составляем характеристическое уравнение Л +Л вЂ 2. 305. у" — 2у' = О, у(0) = О> у'(0) = 2. и Характеристическое уравнение Лг-2Л = О, соответствующее данномудифференциальному, имеет корни Л, = 0 и Л, = 2, поэтому общее решение исходного уравнения записывается в виде у=С,+С,е зз Для нахождения частного решения, удовлетворяющего данным начальным условиям, продифференцируем общее решение.
Получим у' = 2С,е". Затем в выражения для общего решения н его производной вместо х, у, у' подставим их значения О, О, 2 соответственно. Имеем С( + Сз = О, 2Сз = 2, откуда С, = -1, Сз — — 1. Искомое частное решение имев~ вид у = е * — 1. В Зфб. уз' — Оу = О. и Из характеристического уравнения Л вЂ” 8 = 0 находим его корни Л, = 2, Лз = -1+ гз(З, Лз = -1 — (игЗ.
Следовательно, общее решение есп произвольная линейная комбинация частных решений: у=С(е +(Сзе( +Сзе ' )е *. (1) Посколы(у коэффициенты данного дифференциального уравнения действительны, то решение (! ) можно представить в действительной форме, воспользовавшись формулами Эйлера (з -~гх . 1 (' (з -(о'( сову = — (е +е ), япу = — (е — е ). 2( л' 2з Подставляя значения ем~* = сов зг'Зх х з яп т('Зх в (1), получаем у = С(е + г((Со+ Со)с(из/Эх+ з(Сз — Сз)яп в73х) е™. (2) Его корни — Л, = 1, Л, = — 2. Корню Л, соответствует час(нее решение у, = е*, а корню Л, — решение уз = е '*. Произвольная линейная комбинация этих решений есть общее решение данного уравнения: у = С(е* + Сзе ™. (ь 1ЗВ Гл. 2. Диффереиниальиме ураввеиив высших порядков Пусть С> = С> + >С>, С> = С> — зС>, где С>, С> — действительные произвольные постоянные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
