Антидемидович 5 - ДУ (1113366), страница 32
Текст из файла (страница 32)
(1) Для построения частных решений у,, у, воспользуемся примечанием к примеру 316. В случае пеРвого нзУРавненнй (1) имеем != 1, Д= О, Р (х) Рд 1, у= 0. Так как У+)ут Ф Л,, Т+)31 ~ Лт, то л = О. Следовательно, согласно формуле (2) указанного примечания, уг = Сее . В случае второго уравнения (1) у = О, )3 = 1, Р (х) ш х, О„(х) ш О, р = !. Поскольку Т+)Я ~ Л,, у + )ут' ~ Лт, то л = О. Таким образом, согласно формуле (2) из примечания после примера 316, ут = (аех + а1) соя я: + (Ьез + ЬП яп х. Итак, частное решение исходного днфференшшльного уравнения следует искать в виде у = Сее*+(аех+аз)сшх+(Ьех+ Ь1) яшх. > 142 Гл.
2. Дхффереинвалввме уравиезвш высших поридюш 31»х». у" +бр'+ 10у = Зхе 㻠— 2е сова. М ПРежде всего находим коРни хаРактеРистического УРавнениЯ Л'+6Л+10 = 0: Лш ы-ЗЫ, Далее, пользуясь примечанием к примеру 316, строим частные решения, соответствующие уравнениям у» + бу' + 10у = Зхе ~, у" + бу' + 10у = -2е"созх.
(1) В слУчае пеРвого из УРавнений (1) имеем У = -3, )3 = О, Р„(х) ш Зх, Р = 1. Так как У+)3! Ф Льм то в = О. В случае второго уравнения (1) у = 3, !3 = 1, Р (х) ш -2, Я„(х) ш О, р = О. Далее, поскольку у+131=3+з Н'Л, „то о =О. Для первого иэ уравнений (1) частное решение имеет внд у~ = (аох+ а,)е -3» а дяя второго— уз = (Ьо сова+ Ь, в!па)е *, Сумма этих частных решений и есть искомое частное решение данного уравнения: у = (аох+а~)е '+(Ьосовх+Ь1в!пх)е . я 320. ух — 2у»+ 48' — 8у = емз!пгх+ гх'. < Находим корни характеристического уравнения Л' — 2Л'+ 4Л вЂ” 8 = 0: Л, = 2, Лод = хг!.
По аналогии с проделанным в прельшущнх примерах устанавливаем, по для кюклого из двух уравнений у' — 2у«+48' — 8У = е з!п2х, у — 2у +48' — 8у = гхз имеем о = О. Кроме того, лля первого иэ этих уравнений у = 2, Д = 2, (2„(х) ш 1, Р (а) и О, р = О, а для второго — у = О, !) = О, Р„(х! = 2а, р = 2. Следовательно, у! = (ао яо 2х + Ьо сов гх)е~, ув = Сох + С1х + Сз, у = у, +ув ы (аоз!п2х+Ьосзмгх)е +Сох +С,х+Сп Ы з» 2 321 ° у" — 4у' + 5у = ез» з!п~ х. < Определив корми характеристического уравнения Льз = 2 ф в н записав правую часть уравнения в виде з« ° в 1 2» ! 2» е в!и'х = — еы — - е сов2х, 2 2 аналогично проделанному выше получим у~ -- аое~', )п = (Ьо сов 2х+ Ь1 яп 2х)ез*.
Таким образом, у = (ао + Ьо сов 2х+ Ь| в!и 2х)е 322. ум+ 58»+4у = з1пхсоз2в. м Так как яп хсоз 2х = 2 Яп Зх — 2 з!их и Льд —— хг(, Лз о — — х(, то, согласно примечанию ! ° 1 х примеру 316, имеем у, = ао яп Зх+ а| соз Зх, ув = х(Ьо яп *+ Ь | соз х), где у, — частное решение уравнения у'"+ 5у" + 4у = —,' з!и Зх, а у, — частное решение уравнения угт + 5у»+ 4у = -2 зш х, причем в этом последнем случае в = 1 в силу того, что Т+ Дз = Лз. Слсаовательно, у = аз яп Зх + а, сов Зх + х(Ь» вт х + Ь, соз х). > 323. у" — Зу +2у=2 . м Поскольку 2» = е™ и Л, = 1»В 1п 2, Лв = 2 и' 1п 2, то, согласно п.3.2, «вв » у=аое =ао2.
Ы 324. у'" -4у" + 5у" = х'сов2х+ хе*в!п2х+е~з!пх. я Частное решение у ищем в виде суммы трех частных решений уп ув, уз, соотаетствуюпшх дифференциальным уравнениям, левая часть которых совпадает с левой частью дифференциального уравнения в условии примера, а правые части — соопытственно функции у,(х) = хв сов 2х, из. лвиейнме дифференциальные увавиеявг с вктоявимми козффиивштами 143 уз(х) = хе* ип2х, уз(х) = е'*а(их. Поскольку характеристическое уравнение имеет корни Л, з —— О, Лз г — — 2 х г, то, согласно примечанию к примеру 316, имеем у~ — — (аох' + а1х+ аз) сея 2х+ (Ьех + Ь, х + Ьз) яп 2х, уз = ((сея+ с,)ил2х+ (пах+ я1)соа2х)е*, уз = х(помпа+ а, сов х)е *. Заметим, что только в последнем случае у + )уг = Лз, т.
е. в = ! . > Применяя метод вариации произвольнык постоянных, решить уравнения. е* 325. уь — 2уУ+ у = —. М Сначала находим общее решение соответствующего однородного уравнения; у = С,е*+Сзхе . Затем, предполоииа, что С~ — — С,(х), С, = Сз(х), подбираем функции С,(х) и Сз(х) так, чтобы функция у = С,(х)е* + Сз(х)хе* (!) была решением неолнородного уравнения. Эффективно такой подбор функций осуществляется с помощью системы уравнений (6), п.3.3: С1(х)е*+ Сз(х)хе = О, С,(х)е + Сз(х)ех(х+ !) = —.
Отсюда находим С((х) = -1, Сз(х) = —. Интегрируя полученные уравнения, имеем С1(х) = = — *+ Сп Сз(х) = 1п(х)+ Сз, где С1, Сз — новые произвольные постоянные. Подставив найденные функции С~(х), Сз(а) в (1), окончательно получаем: у = С1е*+С,хе' — хе*+хе*!п(х!. > 326. х'(уь — у) = х' — 2. ч Легко находим общее решение соответствующего олнородного уравнения: у=Се +Се Согласно и.
3.3, общее решение неоднородного уравнения записывается в виде у = С,(х)е* + + Сз(х)е ', а производные функций С~ и С, определяюгся из системы уравнений С1(х)е + Сз(х)е = О, С|(х)е — Сз(х)е ~ = — — —. х хз' Решив эзу алгебраическую систему, получим; С((х) = — (- — + -) е *, Сз(х) = — 1- — + — ) е*. 2г, хз х) 21, х хз) Интегрируя последние соотношения, находим С~(х) = — ) (- — + — ) е™г(х+Сп Сг(х) = — ) (- — + — ) е*ах+ Сз, 2) г, где С,, Сз — новые произвольные постоянные. Дважды интегрируя по частям, получим 1,г' 1 1г ! ..l 1 1т С,(а) = — е * 1 -- + †) + Сп Сз(х) = — е* ~- — — †) + Сз. 2 г, хз) ' 2 ~ * хз) Подсгавив значения С,(х) и Сз(х) в формулу для общего решения неоднородного уравнения, имеем: 1 у = С1е" + Сзе " — —.
> х Гл. 2. Дифференциальные уравнения амсших порядков Применяя различные методы, решить уравнения. 327. у" + 2у'+ у = соззх. м Общее решенно однородного уравнении имеет вид у = Сзе *+ С!хе Поскольку созга = уе + у~е и корень характеристического уравнения Л = -1 двукратный, ! то, согласно п. 32, частное решение неоднородного уравнения ищем в виде у = ае*+ух е *. Подставив у в данное уравнение, получаем тождество относительно х, иэ которого следует, что а = у, Ь = 4.
Следовательно, 1 ! 1, хз у = — е* + — е *+С е *+ С!хе * 8 4 есть общее решение исходного уравнения. ° 328. у" 42!у = 8е*япх. ° Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения Л +21 = 0 имеет корни т е. лэ — — тг2 (соз (- ~т) + з яп (-Ц) = 1 — з, л, = ъг2 (соз 4 я+ з з!и Тя) = -1+ з. следователь- но, общее решение однородного уравнения описывается формулой у = Сзе!з и*+ Сзез '~'1*. Д)и получения частного решения воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.
Поскольку 8е* яп х = хе' зо* — -ец '*, то, согласно и. 3.2, частное решение ищем в виде з Т у = ае' '*+ Ьхец "о (1) (заметим, что множитель х во втором слазаемом в (! ) появился в связи с тем, что корень Лз совзш- дает с числом 1 — з). Подставляя (!) в исходное уравнение, получаем тождество относительно х, из которого определяем а = — 1, Ь = — 1+ 1, Таким образом, У = (Сз + (з — 1)х)ец ™+ Сзеа ~~ — е~ — общее решение неоднородного уравнения. > 329.
у" +2зу' — у = 8 сб(х. ц Общее решение однородного уравнения есп функция у = С,е з*+ С,хе '*, Так как 8 ей(х .= 4е'* + 4е '*, то для нахождения частного решения неоднородного уравнения удобно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов. В силу того, что Л = -з— двукратный корень характеристического уравнения, согласно п. 3.2 частное решение ищем в виде: у=ае +Ьхе Подставив у в данное уравнение и приравняв коэффициенты при ез* и е '*, получаем а = -1, Ь = 2. Следовательно, у = (Сз+ С,х+ 2хз)е '* — ез* есть общее решение исходного уравнения. > 330. у" + 'у= —; у(1) =2, у'(П=-з. х+1 < Решив известным способом соответствующее однородное уравнение, имеем у = С, яп ых+ + Сз сотых.
Для получения частного решения неоднородного уравнении воспользуемся методом Коши. Согласно п. 3.4 можем записатзк К(х, а) = Сз(э)а)пьзх+ Сз(э)собьзх, в 3. линейные диффереивиальиые ууавиееи с постояинымн иоэффювзевтами 145 ПРИЧЕМ К(х, 8)(,, = О, К,'(х, 8)~,=, = 1 (в данном случае и = 2). Следовательно, ! С1(8) Вш ХВ + СВ(8) соз ыа = О, С1(8) соз Х — Ст(8) мп ыз = — (ы ю 0). Из наследник двух уравнений находим С,(8) = ~ш~~, Сз(8) = — — "" ~~ . Тогда 1 К(х, 8) = — 51пы(х — 8). МР Функция Г'(х) = — +-1- непрерывна при х и' -1, поэтому спршхллива формула (10), п.
Зтй 1 1 Г 5!Пю(х — 8) у(х) = — ( аз, Ы 8+1 где хе Е (а, Ь), х Е (а, Ь) и — ! Я (а, Ь); а, Ь вЂ” произвольные числа. Приняв во внимание частное решение (1), записываем общее решение: 1 Г ып81(х — 8) у = С, мпхх+ С, селюх+в аз. М 8+1 ВВ (2) Теперь, исходя из общего решения, построим частное решение, удовлетворяющее заданным начальном условиям. Дифференцируя (2), получаем Г созы(х — 8) у'(х) = ы(С1 соз 81х — Сз 51п ых) + ГГ аз. 8+1 (3) Полащя в (2) и (3) х = хе = ! и принимая во внимание начальные условия, имеем 2 = С1 5(пы+ Сз созы, — 3 = х(С1 созх — Ст 5(пы), откуда С, = 25)пх — — созьВ, Сз — — 2созы+ — йПЫ. Подставив значения С1 И С, в (2) и взяв 3 хе = 1, окончательно находим 3 ! Г 51пх(х — 8) у = 2 со581(х — 1) — — 5!пы(х — 1) + — / аз.
Ь ы ВВ 8+1 у = С,з)пи+С,созх, получим систему С (х) 5!и х + Сз(х) созе = О, С1(х) соз х — Ст(х) 51п х = Г (х), из которой следует, что с',(х) = Г(х) созе, сз(х) = -Г(х) пни, интегрируя, будем иметь С1(х) = ~ Ях) воз х1(х+ С!1 Сз(х) = — ~ Ях) 5)па ах+ СВ. Предположим, что имеют смысл выражения В О(х) = /,Г(8) соз В 1(8 Гу(х) — ( Г(8) Яп 8 В(8 (2) 331. у" +у = Г(х). Какие условия достаточно наложить на функцию Г', чтобы все решения этого уравнения оставались ограниченными при х — +со! и применив метод вариации произвольных настоянных с,(х) и с,(х), входящих в общее решение соответствующего однородного уравнения 146 Гл. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
