Антидемидович 5 - ДУ (1113366), страница 28
Текст из файла (страница 28)
4 Гл. 2. Диффереиииальвме уравнения вмеших порядков 122 $2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2.1. Дифференциальное уравнение вида Р(х, у( ), у("+'),..., у(")) = О. Если дифференциальное уравнение имеет внд Р(х, у~~~, уо~~~,...,у~ ~) = О, то его порядок можно понизить с помошью замены у' ' = »(х).
Действительно, тогда получим уравнение Р(х»» ... »~ )=О порядок которого на Л единиц меньше исходного. 2.2. Дифференциальное уравнение вида Р(у, у', ..., у(")) = О. Порядок дифференциального уравнения Р(у, у', ..., ум') = О можно понизить с помошью замены у' = р(у), где р = р(у) — новая неизвестная функция, а переменная у является аргументом. Имеем бу' бу гр и т, д., т. е. порядок дифференциаяьного уравнения понижается на единицу. 2.3. Однородное дифференциальное уравнение вида Р(х, у, у', у",..., у(")) = О. Если дифференциальное уравнение Р(х, у, у', у",...,уы1) = О однородное относительно функции и ее производных, т. е. справедливо тохшесгво Р(х, 1у, гу, ту~, ...,Гуно) = РР(х, у, у', у'~, ...,у("~), то порядок уравнения можно понизить на единицу, положив у' = у»(х), где» = »(х) — новая неизвестная функция.
Действительно, последовательно дифференцируя соотношение у' = у»(х), имеем; у = (у»(х)) = у»+у» =. у(» +» ), у ' = (у(» +» )) = у (» +»') е у(2»»' +»' ) = у(» + 3»»' +»' ) и т.д., уоо = угР(», »', ..., »'" н), где Р— известная функция. Подставив значения производных в дифференциальное уравнение Р(х, у, у',,у'"') = О и используя однородность функции Р, получаем: р (х, у, у», у(» +» ), ..., ур (», », ..., »м ~)) = — у Р (х, 1, », » -Ь»,..., р (», »', ..., »~" Л)) = О. 2.4.
Обобшенво однородное дифференцнальвое уравнение вида Р(х, у, у, ун, ...,у( )) = О. Дифференциальное уравнение Р(х, у, у', у", ...,уо~) = О называется обобщенно однородныи, если функция Р уловлетворяет тождеству Р (тх т у т у 1 у 1 у )) — 1ОР( (Ю) где из — некоторое дейстз)ительное число. 123 !) 2. Уравнения, довускюощие веввжевие ворвдка можно привести к виду (Р(х, д, д',..., у'" ")) = О, то интегрированием его порядок можно понизить на единицу: Р(х, д, д', ..., д'"-н) = С„ где уг — известная функция. Решить уравнения. 271.
х'у" = д". и В зто уравнение второго порядка явно не входит неизвестная функция. Следовательно, согласно п.2.1, полагая у' = г(х), получим дифференциальное уравнение первого порядка г г хг =х. Разделяя переменные и интегрируя, имеем Инте>рируя еще раз, окончательно получаем или з= =у. ! — С,х — — х — -г 1п « сг с| г г +Сгг „= ~- "* +С,= г 1 — С,х !С<х — Ц+Сг, если С, и'О, С, йоо; С< =0; С, =ос. Ь если если ~~.
Уж = „-'. и Полагая уп = х(х), понижаем порядок уравнения на две единицы: г г =з Разделяя переменные и интегрируя, получаем г(х 1 —,=х — С„или л= —, х,-<О. х' С< — х' Остается двюкды проинтегрировать уравнение у" = (С, — «) '. Имеем у' = — 1п !С< — х! + Сг, у = (Сг — «) йг !С> — х! + Сгх + Сг. Кроме того, при разделении'переменных мы потеряли решение л = у" = О, или у = Сх+ 2>.
м Если уравнение л (х, у, у', ...,у" ) = 0 обобщенно однородное, то замена переменных <.>г х = е', у = е 'з(1) приводит к уравнению, явно не содержащему независимую переменную 1. Следовательно, порядок такого уравнения можно понизить. Действительно, имеем г((е х) -г <1 па -г+,я у = =е — (е з)=е (тз+х), ггх <(1 l г 1 у = — = е — = е — ~е (тл + г )) = е ((т — 1)тг + (2т — 1)х + г ) и ~д -< "У -г г <. -Ог < -гл< пт г(х гй <И г и т.д., уо' = е'"' "Ху>(з, х', ..., х<"'), где у> — известная функция. Подставляя значения производных в рассматриваемое уравнение и поль~ясь обобщенной однородностью, получаем; Г(е' с™х е« д(тг+х) е< л((т — 1)пы+(2пг — 1)з +ль), ...,е< "><г(г, з', ...,я<">)) = = е 'Г (1, х, (тг Е г'), ((т — 1)тя Е (2пг — 1)з' + з"), ..., У> (л, х', ..., г " )) = О.
2.5. Уравнение, приводимое и волу (у>(ж, у, у', ..., у<" >)) = О. Если пущм алгебраических преобразований дифференциальное уравнение «(х, у, у, ..., У< >) = 0 Гл. 2. Дифференциальные уравненив высших порядков 124 273. хум я у" — ху". м По аналогии с изложенным выше, имеем у' = г(х), хг'(х) = (1 — х)г(х).
Разделяя переменные и интегрируя, находим — = (~ — 1) й~, !л !г( = (п (х( — х + (п Сп откуда г = С|хе *, или ун = С~хе™. Применяя двукратное интегрирование к последнел1у уравнению, получаем у = С,е *(х + 2) + Сгх + Сз и' 274. ху" = у' 1п У . и Так как уравнение не содержит янно функцию у, то, применив замену у' .=.
г(х), порядок уравнения можно понизить на единицу. Имеем аи ах и(1п и — 1) х Интегрирун, находим !и ! 1п и — 1! = (п ф Ч- 1п С„откуда и = е'+с'*. Следоватетьно, требуется проинте|рировать уравнение хамсы Имеем глс,* 1 у — (х- — )+Сг. Кролле того, разделяя переменные, мы потеряли решение и = е, или у = + Ч-С, которое, однако, может быть получено из общего решения предельным переходом при С, — 0 и С, = С+ — г. е с, Действительно, пользуясь формулой Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, можем написать: е е у = — !лх — — ) ~1+ С,х+ — х + о(С,)~ + С+ — = — х +С+ о(1) прн С~ О. > ') С,' 2 275.
ху'у" + у' + 1 = ау")11! + у". м Произведя замену у' = г(х), получаем дифференциатьное уравнение первого порядка хгг'+ г + 1 = аг'Л+ г'. Положим г = гйт (!1) < Тя), Тогда Нг йг 1 1 ах а( ' а х'солт( и и последнее уравнение примет вид х созе+вял!=а, откуда легко находим х х = С, соз1+ а япб (1) Принимая во внимание (1), из уравнения г = Гйт = -л получаем ав ах У = / тат г(х+ сг = / гй 1 д(с сон(+ а Яп 1) + сг — — -с 1п )!й Я + Я ) ( + с Яп1 — а сон( ч с,, (2) хг =г1п-. Полученное уравнение является однородным, позтому воспользуемся заменой г = хи(х), где и— новая неизвестная функция. При этолг получим уравнение (и+ хи') = и!ли, в котором перелленные раздезиются: у 2. Урашеиия, допускающие иоишкевие иориюса 125 Итак, уравнения (1) и (2) представляют общее решение исходного днфференциалыюго урав- нения в параметрической форме.
М 276. х у'" + 2хзу" — 1 = О. < Замена у" = з(х) приводит к линейному уравнению первого порядка х з'+2х а — 1=0, 4 3 обшее решение которого имеет внд з = -т + — у. Следовательно, ! х х С, откуда двукратным интегрированием находим 1 у = — — С, 1п!х!+ С х+Сз. м 2х 277. у" +2уу" = О. М Уравнение не содержит явно переменную х, ноэтому в соответствии с п.2.2 полагаем у'=р(у). Тогда у" = р~ и уравнение запишется в виде йа Рв р +2ур — =О. "р г(у Отсюда находим р = О и р+ 2уйй = О. Из первого из двух последних уравнений получаем у = С, и у ,3 С а из второго имеем р = г, или у = — г, откуда у' = ~~( —, или хс! — д ~ — ) = з(х (Сз й О). Гс, ( у г' у 'з ')/С, (,С,) Интегрируя, находим 2С! Ру!з у Зх ЗСз'г 9 3 ~ — 1 — ) =я+С„или у =С!( — + — ) = — (х+С,) . З (СУ' з, 2Сз 2Сз,) 4С! Окончательно имеем у = С,(х + С,), у = С, з 2 где Сз — новая произвольная постоянная.
м 278. уу" = у" — у". м Как и в предыдущем примере, полагаем у' = р(у). Тогда у" = РЯ и у пр з з УР =Р Р йу Полученное уравнение распадается на два: '(Р Р=О и у — =р — р. Из первого уравнения следует, что у=С, и из второго — что у С!+ у Интегрируя последнее уравнение, имеем х = С, 1п ~у(+ у+ С . ° Гл. 2. Ди$$ерелиивививе уравнения высших порядков 126 279. ув+у~ = 2е ". М Согласно п. 2.2, после замены у' = р(у) получаем 1 бз р — + р = 2е ", или — — + з = 2е ", бу ' 2 ау где з = р'. Последнее уравнение линейное и его общее решение имеет вид в=Се "+4е ".
Подставив сюда з = у, получаем уравнение у =Сге "+4е ", или у =х Сзе 2" +4е ", интегрируя которое, находим бу * =х+Сг, 1 или ж — ззгСз + 4ет = х+ Сг, 2 у =!п(С, +(х+ Сг) ), где С, — новая постоянная. 2ЗО. у'-М-'1=0. М Уравнение не содержит х, поэтому полагаем у' = р(у). Тогда ув=р —, у'в=р(р' +ррв) и р'р' — 2р'(р' -1-ррв)+1=0. бу' Отсюда следует, что г(и 1 р =и —, и +2рии' — — =О, или гзр р2 где и = иг. Общее решение последнего уравнения имеет вид: с, ,2 Сз 1 г Р Р Р Р 1 ю+РФ р2 откуда /с, Р = х р Интегрируя уравнение (!), получаем Р г(Р 2 г —— =у+С„или х —,згСр — ЦС,Р+2) = у+Сг. / ГСР-1 зс2(( Воспользовавшись соотношением 2(х = и уравнением (1), имеем Дн Р бр бх = ж ,УС,Р-1' откуда интегрированием находим 2 г —— е = ш — з/Сзр — ! + Сз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
